Comprendre les matrices 3D

Salut a tous...

Voila... après quelques jours de recherches sur internet, j'ai trouvé beaucoup de sites qui montrent comment utiliser les matrices 3D de rotation, de translation ou de zoom (un bon site pour ceux que ca interresse : http://lab.erasme.org/3d/base.html ). Perso, c'est a peine si j'ai réussit a les utiliser (j'ai pas trop essayé non plus).

Ce que j'aimerai bien, c'est savoir pourquoi ces matrices sont comme ca... et j'ai pas réussit a trouver de sites qui m'explique.... alors si quelqu'un avait une petite adresse ou un petit tuto, ce serait sympas de partager :wink: .


PS : quelqu'un peut m'expliquer a quoi sert l'opérateur >> au passage ? (Ils s'en servent dans la page donc j'ai donné l'adresse)

Citation:

---

Envoyé par tavman

Ce que j'aimerai bien, c'est savoir pourquoi ces matrices sont comme ca...

---

comment "comme ça" ? carrées ? 4x4 ?

Non : ca j'ai très bien compris qu'on avait besoin d'une matrice 4x4 pour obtenir le scale (enfin déduire la taille).

Ce que j'aimerai comprendre, c'est d'ou sortent les sinus et cosinus dans les matrices de rotations et ensuite, comment je fait pour utiliser les matrices 4x4 pour obtenir les positions et la taille sur l'écran...

salut,

Citation:

---

Envoyé par tavman

Ce que j'aimerai comprendre, c'est d'ou sortent les sinus et cosinus dans les matrices de rotations et ensuite, comment je fait pour utiliser les matrices 4x4 pour obtenir les positions et la taille sur l'écran...

---

Pour faire simple, ces matrices sont des matrices de passage d'un repère de ton espace initial vers le repère de l'espace après transformation (ou inversement, ça dépend quelle matrice tu prends). En gros, les coefficients que tu y trouves sont les coordonnées des vecteurs qui définissent le repère d'un des espace, exprimé dans le repère de l'autre espace. Et c'est vecteurs "transformés" s'expriment souvent avec toute une combinaison de cosinus, de sinus, avec les angles des rotations, ...

Exemple en 2D:

rotation d'angle alpha, repère initial (x,y), transformé (x',y')
tu as:
x'=x cos(alpha)+y sin(alpha)
y'=-x sin(alpha)+y cos(alpha)

en matriciel ça te donne:

Code:

---

1 2 3

|x'|=|cos(alpha) sin(alpha)|.|x| |y'| |-sin(alpha) cos(alpha)| |y|

---

y'a plus qu'à adapter pour la 3D, et rajouter le coef pour le "scale".

Pour leur utilisation, il te suffit de faire des produits matriciels avec les coordonnées de tes points, vecteurs... pour avoir les nouvelles coordonnées après transformation.

Pour plus d'infos, voir les sites de math.

Si on veut vraiment comprendre pourquoi on utilise des matrices 4x4, je crois indispensable d'avoir quelques rudiments de géométrie projective. En fait, l'espace dans lequel on modèlise la 3D n'est pas l'espace euclidien R^3, mais l'espace projectif RP^3. La géométrie projective remonte à Desargues (17eme siècle). Elle a été inspirée aux mathématiciens par l'observation des peintres qui à partir de la Renaissance se sont mis à faire de la perspective. La 3D est bien effectivement essentiellement un problème de perspective.

La raison pour laquelle on utilise RP^3 plutôt que R^3 est que les matrices 3x3 ne permettent de représenter que les transformations vectorielles de R^3. De nombreuses transformations géométriques naturelles ne sont pas vectorielles, comme les translations par exemple. Par contre, R^3 pouvant s'identifier à une partie de RP^3, les transformations homographiques de RP^3 qui laissent R^3 globalement invariant, couvrent non seulement les transformations vectorielles de R^3, mais aussi d'autres transformations, dont les translations. Le fait d'utiliser RP^3 permet donc d'unifier dans une représentation unique toutes ces transformations.

Dans l'espace projectif RP^3 (qui n'est pas un espace vectoriel), les points sont repérés par 4 coordonées homogènes: (x,y,z,t), où homogène veut dire que x, y, z et t ne sont pas tous nuls, et que si a est un réel non nul, le quadruplet (ax,ay,az,at) représente le même point de RP^3. Il y a donc exactement un point de RP^3 pour chaque droite vectorielle de R^4. D'ailleurs la définition de RP^3 consiste tout simplement à dire que c'est l'ensemble des droites vectorielles de R^4.

On plonge R^3 dans RP^3 en envoyant (x,y,z) sur (x,y,z,1). Les points de RP^3 qui sont de la forme (x,y,z,0) sont précisément ceux qui ne sont pas dans R^3. On les appelle des points à l'infini. RP^3 n'est donc rien d'autre que R^3 auquel on a jouté ces points à l'infini. Remarquer que dans le quadruplet (x,y,z,0) x, y et z ne peuvent pas être simultanément nuls, ce qui implique que le triplet (x,y,z) définit une direction dans R^3. Il y a donc exactement un point à l'infini par direction de R^3. Remarquer aussi que si un point (x,y,z,t) de RP^3 n'est pas à l'infini (c'est à dire si t n'est pas nul), le point correspondant de R^3 est (x/t,y/t,z/t).

Le fait que les matrices qui sont données en exemple dans http://lab.erasme.org/3d/base.html aient toutes une dernière ligne de la forme (0 0 0 1) signifie que ces transformations laissent à l'infini les points qui y sont déjà, autrement-dit qu'elles représentent des transformations de R^3. Si on met quelquechose de non nul à la place des trois zéros, on échange des points à l'infini avec des points à distance finie (effet visuel garanti).

Je pense que comprendre cette notion de point à l'infini est la base pour la compréhension des mécanismes de la 3D et du rôle particulier que joue la quatrième coordonnée.

wow... Eh beh on peut dire que vous me donnez matière a réfléchir... Je sent que mes neuronnes vont griller.

En tout cas, je vous remercis pour le coup de main... maintenant, je comprend mieux l'obligation d'utiliser des matrices 4x4 et non 3x3, et ensuite, je pensait pas que les matrices étaient tout simplement tiré de la rotation en 2D, mais c'est plutot logique en fait... car si je fait une rotation de l'axe des X en 3D, ce seront les Y et les Z qui prendront...

Et sinon bahh gros merci pour l'utilisation... jvais quand meme regarder mes cours de math de l'an dernier (c'est déjà loin) pour voir comment je peut matérialiser le produit matriciel mais ca devrait aller...

Problème résolu grace a vous :wink: