Fonction conditionnellement définie positive, sur un arbre!
Salut,
Mon frère n'arrive pas à résoudre la question suivante, et moi non plus.
Citation:
Soit X un ensemble.
Une fonction k : X * X -> R est dite conditionnellement définie positive ssi elle est symétrique et vérifie :
Somme i,j = 1 à n ( ai.aj k(xi, xj) ) est supérieur ou égal à 0
pour tout entier n, x1, ... xn dans X et a1 ... an des réels quelconques tels que leur somme soit nulle.
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Montrée que la fonction "plus courte distance" dans un arbre est conditionnellement définie positive sur l'ensemble de ses noeuds.
On définit la plus courte distance entre 2 noeuds d'un arbre comme le nombre d'arêtes qui composent l'unique chemin qui les relie.
J'ai essayé en raisonnant par induction structurelle en raisonnant d'abord sur un arbre binaire, mais bon, j'ai pas réussi à faire des bonnes majorations, je les trouve super grossières, et au final j'ai rien.
Vous avez une idée ?
Merci d'avance.