Calcul de l'intérêt dans la formule de la mensualité constante

Bonjour,
Je fais appel à votre aide car je ne sais plus où chercher.
je dois trouver la valeur du taux d'interêt de la formule:

Citation:

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Mensualité = Emprûnt*(Tx_période/(1-(1+Tx_période)^-NbEchéances))

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En développant la fonction, on tombe sur une equation polynomiale d'ordre NbEchéances.
J'ai donc appliqué la méthode Bairstow pour la résolution. Malheureusement :( mon algorithme ne fonctionne que pour des NbEcheances comprises entre 1 et 15, au dela le nombre d'opérations est tellement grand que le calcul prend un temps fou.
Hors couramment on a des échéances sur 36 mois.

J'ai vu que la fonction existait sous openoffice ou excell et elle parvient à faire des calculs , jusqu'à 1000 ou 2000 échéances selon les coefficients.....en moins d'une seconde. 8O
Donc ils doivent utiliser un autre algorithme.

Quelqu'un le connaitrait-il???
Aurais-je commis une erreur en voulant résoudre une equation d'ordre N?

Bonjour,

montre nous l'équation polynomiale que tu souhaites résoudre et de quelle manière tu t'y prends.

le développement de la fonction me donne les équations suivantes:
#pour simplifier l'écriture:
x = Tx_période
n = Nbechance

etape 1 avec diverses transfos on trouve l'eq (1)

etape 2 si on développe (1+x)^n, on peut éliminer l'entier -1 et ramener l'equation à un ordre n l'eq (2)
Pièce jointe 24436

et pour la méthode bairstow, cela consiste à "factoriser" l'equation (2) par une fonction d'ordre 2, et de chercher les coefficient de cette equation qui annule les membres restants ( voir le jpg en pièce jointe ).
Et ensuite on applique une technique récursive jusqu'à factoriser entièrement la fonction polynomiale.
Pièce jointe 24437

et donc pour info je vous met la fonction que j'ai implémenté en PHP:

Code:

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65

function polynFact($a){ // tableau des coefficients de l'equation polynomiale dans de N à 0 //initialisation $b = array(); //coeff de l'equation d'ordre N-2 $c = array(); $b[0] = $c[0] = 1;   //degres de la fonction $n = count($a)-1;   while ($n > 2) { $r = $s = 0; // coeff de l'equation d'ordre 2: x^2 + $s * x + $r $dr = 1.0;//variation des coefficients de r $ds = 0;//variation des coefficients de s $eps = 0.0000000001; //erreur toleree $iter = 1; //nombre d'iterations   //tant que l'erreur toleree n'est pas atteinte relancer le calcul while ((abs($dr)+abs($ds)) > $eps) { if (($iter % 200) == 0) {//changer le point de départ $r = rand()/16000; } if (($iter % 500) == 0) {//degrader la précision du resultat $eps*=10.0; } //calcul des differents coeff $b[1] = $a[1] - $r; $c[1] = $b[1] - $r;   for ($i=2;$i<=$n;$i++){ $b[$i] = $a[$i] - $r * $b[$i-1] - $s * $b[$i-2]; $c[$i] = $b[$i] - $r * $c[$i-1] - $s * $c[$i-2]; } $dn = $c[$n-1] * $c[$n-3] - $c[$n-2] * $c[$n-2]; $drn= $b[$n] * $c[$n-3] - $b[$n-1] * $c[$n-2]; $dsn= $b[$n-1] * $c[$n-1] - $b[$n] * $c[$n-2];   if (abs($dn) < 0.0000000001) { $dn = 1; $drn = 1; $dsn = 1; } $dr = $drn / $dn; $ds = $dsn / $dn;   $r += $dr; $s += $ds; $iter++; } //creation de la nouvelle fonction a d'ordre n-2 for ($i=0;$i<$n-1;$i++) $a[$i] = $b[$i]; $a[$n] = $s; $a[$n-1] = $r;   //reduction degres polynome $n -=2; } //quel est l'ordre du dernier polynome (0 ou 1) $a["n"] = $n;   return $a; }

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Une fois que cette fonction a terminé, elle renvoie un tableau avec l'ensemble des coefficients s et r qui permettront de factoriser le polynome d'ordre N avec les polynome d'ordre2.
Ainsi il ne reste plus qu'à résoudre les equations du second ordre ce qui est très simple.

Donc c'est la fonction ci-dessus qui met un temps fou avec un nombre d'itérations qui augmente considérablement avec N.

A mon avis ce n'est donc pas la bonne méthode. Car ici on calcule toutes solutions réelles et imaginaire. Hors dans l'équation du taux, il n'y a qu'un seul résultat...
et comme je l'ai déjà dit les fonctions excel et openoffice sont d'une rapidité fulgurante comparée à cette méthode...:?

Bonjour,

en regardant l'équation 2 de ton étape 2, on remarque qu'il y a un joli quotient avec des factoriels !!!
Si tu le calcules, ton erreur vient de là. 13! > 1 000 000 000. Donc l'odinateur va rapidement être dépassé par le calcul.
Donc si tu le calcules, il faut simplifier cette expression.

Je ne suis pas convaincu que le problème viennent du calcul des coefficients du polynome d'ordre N.
Certes si on calcule le membre à l'ordre 36 et pour i = 18 ( valeur qui risque de faire le coefficient le plus grand), on obtient pour le produit de factorielle:
163352435401 qui reste un résultat énorme mais facilement calculable. car dans les calculs suivant il sera au maximum mis au carré.

D'ailleurs l'ordinateur parvient à calculer chacun des membres facilement:
voici les coefficients pour un ordre 36 un emprunt de 100 000 et une mensualite de 3000.
On a de gros chiffres mais l'ordinateur fait le calcul en 1,5s. Ce qui reste correct.

Citation:

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1
36.03
631.08
7158.9
59119.2
378759.15
1959101.76
8406113.76
30510770.4
95051090.2
257011154.4
608430901.68
1269701858.88
2348339931
3865620888
5681791476
7474909186.8
8816732763.3
9333060198
8869750659
7565797008
5787138723.3
3963334276.8
2424678516
1321001388
638355627
272211014.88
101768885.68
33084638.4
9255490.2
2198222.4
435425.76
70214.76
8907.15
844.2
54.9
2.08

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Certes ça alourdi le calcul suivant et cela a une influence.
Mais même quand je cherche sur le net des algorithme sur bairstow, ils sont tous limité au degrés 20. Car une approche "dichotomique" peut être utile mais elle peut vite devenir très lourde en itérations.

C'est pour ça que je pense qu'il doit y avoir un autre moyen de résoudre cette équation.

Citation:

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Envoyé par valenedian

Certes ça alourdi le calcul suivant et cela a une influence.
Mais même quand je cherche sur le net des algorithme sur bairstow, ils sont tous limité au degrés 20. Car une approche "dichotomique" peut être utile mais elle peut vite devenir très lourde en itérations.

C'est pour ça que je pense qu'il doit y avoir un autre moyen de résoudre cette équation.

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Si j'ai bien compris, tu veux des algos de recherche des racines d'une equation polynomiale, c'est ca ?

pour résumé brièvement :
oui :lol:
dans l'aide de excel sur la fonction TAUX, voici la description:

Citation:

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Calcule le taux d'intérêt par période d'un investissement donné. La fonction TAUX est calculée par itération et peut n'avoir aucune solution ou en avoir plusieurs. La fonction renvoie la valeur d'erreur #NOMBRE! si, après 20 itérations, les résultats ne convergent pas à 0,0000001 près.

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Donc en 20 itérations ils arrivent à faire converger la fonction. Avec mon script je dépasse les 20 largement...

Et sur le site de microsoft , ils donnent rapidement les fonctions qui donnent les différents éléments séparément (mensualité, emprunt) mais pour le taux, ils précise sans détails que c'est une fonction itérative mais pas laquelle.
http://support.microsoft.com/kb/123757/en-us

Pour trouver toutes les racines d'une equation polynomiale, je pense qu'il faudrait passer par la matrice companion. Ca implique de coder l'algo QR en php, ce qui a peut-etre deja été fait... :roll:

merci je vais regarder ce que cela donne

un simple calcul de la dérivée locale du taux permet de répondre en 4 ou 5 itérations

Code:

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Function calcultaux(capital As Double, dur As Integer, ech As Double) As Double Dim taux1 As Double Dim taux2 As Double Dim ech1 As Double Dim ech2 As Double Dim delta As Double taux1 = 20 taux2 = 19 delta = 10 Do Until Abs(delta) < (10 ^ -12) taux1 = taux1 - delta taux2 = taux2 - delta ech1 = Pmt(taux1 / 1200, dur, -capital) ech2 = Pmt(taux2 / 1200, dur, -capital) delta = (ech1 - ech) / (ech1 - ech2) Loop calcultaux = taux1 End Function

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Bonjour,

Je te remercie de ta réponse et c'est marrant car en faisant des recherches hier encore, je suis tombé sur une réponse équivalente à la tienne. Et je vais essayer ça de suite... Ce sera plus simple que de passer par une décomposition matricielle.:mrgreen:
Par contre j'avais une question, Pmt correspond bien à la formule:

Citation:

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capital*(Taux/(1-(1+Taux)^-dur))

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car je ne comprends pas pourquoi tu divises le taux tpar 1200???:roll:
A première vue ce serait pour transformer le taux annuel en taux mensuel (/12) et pour transformer le pourcentage en un nombre à virgule (/100). C'est bien ça?

Car j'avoue que je ne suis pas du tout financier... mais bon tu me diras que c'est quand même des maths. :lol:

ça y est j'ai fait des essais et ça marche mais en divisant par 100, et par 1200.

Merci beaucoup à tous pour votre aide.

Cela correspond à la fonction taux() de excel à 6 chiffres après la virgule. C'est vraiment super !!!!
:king:

AAAaaarrrggghhh... il ne fallait trouver qu'une seule des racines du polynome ? :aie:

Dans ce cas, c'est clair que la réponse de "random" est parfaite :king:.

Pardon, j'avais mal exposé le problème.
Mon calcul de départ est une fonction financière. Donc c'est vrai que je n'avais pas besoin des solutions complexes.
Et je suis parti un peu comme un Bourin :mouarf: sur la résolution d'équation polynomiale sans voir les autres solutions possibles..... :oops:

Ca m'apprendra pour la prochaine fois. Merci encore !!!!! :bravo::merci:

Citation:

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Envoyé par pseudocode

AAAaaarrrggghhh... il ne fallait trouver qu'une seule des racines du polynome ? :aie:

Dans ce cas, c'est clair que la réponse de "random" est parfaite :king:.

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ben pour un pret sur 216 mois il y a une racine réelle et 215 imaginaires

le problème c'est que les banquiers ne veulent pas d'interêts imaginaires

ceci étant en matière de taux de rendement interne on peut tomber sur plusieurs racines réelles

ps pourquoi diviser par 100 ou 1200 ? c'est que le taux ici trouvé est le taux période de la méthode équivalente

Citation:

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Envoyé par random

le problème c'est que les banquiers ne veulent pas d'interêts imaginaires

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On se demande bien pourquoi.

A noter que puisque la formule est un polynome, on peut calculer explicitement sa derivée et utiliser la methode de Newton pour affiner le résultat :

Code:

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

public static double pmt(double x, double n, double c) { return c*x/(1-Math.pow(1+x, -n)); }   public static double dpmt(double x, double n, double c) { // pmt(x) = c*x / (1-(1+x)^-n) // with f = cx and g = 1-(1+x)^-n -> dmpt(x)/dx = (f'g-f.g')/g² double f = c*x; double df = c; double g = 1-Math.pow(1+x,-n); double dg = n*Math.pow(1+x,-n-1); return (df*g - f*dg)/(g*g); }   public static void main(String[] args) {   double dur=36; double capital=100000; double ech=3000;   double taux=20; double delta=10; while( delta > 0.1) { // formula double f = pmt(taux, dur, capital);   // derivation double df = dpmt(taux, dur, capital);   // tangent: y = a.taux + b double a = df; double b = f - a*taux;   // solve with y = ech taux = (ech-b) / a;   // until convergence delta = Math.abs( f - ech ); } System.out.println("taux:"+taux); }

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Citation:

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dur=36, capital=100000, ech=3000

---> taux:0.004220667545383463

en 5 iterations

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