calcul integrale multiple 2D

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16/11/2007, 14h22
GuiYom00

calcul integrale multiple 2D

Bonjour,

Je recherche un algorithme permettant de calculer une integrale 2D. Si je connaissais l'expression de F(x,y) ca serait facile mais la en fait j'ai juste un ensemble de points representant les (Xi,Yj,Fij=F(Xi,Yj)).
Une remarque c'est que je suis à pas constant aussi bien en x qu'en y.
Je pensais partir d'une methode basée sur la methode des rectangles, mais je chercherais une methode quand meme plus precise pour l'estimation du volume hors je ne vois pas trop comment adapter la methode des trapezes par ex.

Bonne journée,
G.
16/11/2007, 17h14
sidahmed

Bonjour,

Je pense que tu calcules d'abord le polynôme d'interpolation puis tu calcules l'intergrale de ce plynôme en se servant des méthodes numériques.

Bon courage !
16/11/2007, 17h19
FR119492

Salut !

Tu trouveras les formules dont tu as besoin dans "Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables" de Abramowitz et Stegun, à la page 892, disponible gratuitement sur
http://www.knovel.com/knovel2/Toc.jsp?BookID=528

Bonne chance
Jean-Marc Blanc
16/11/2007, 20h15
GuiYom00

Merci je vais regarder tout cela.
16/11/2007, 21h04
Zavonen

Si tu veux calquer ta méthode sur celles des trapèzes, tu peux procéder ainsi:
Essayer d'estimer une valeur 'moyenne' de la fonction sur le rectangle
Xi, Yj,Xi+1 , Yj+1
Je suggère:
(f(Xi)+f(Yj)+f(Xi+1)+f(Yj+1))/4 (barycentre)
Par la suite la contribution à l'intégrale sera:
dsi,j=(f(Xi)+f(Yj)+f(Xi+1)+f(Yj+1))/4 *(Xi+1-Xi)*(Yj+1-Yj)
Ensuite il n'y a plus qu'à sommer ces quantités par une double boucle.
Si j'ai le temps je vais poster un exemple.

exemple

Ici on somme la fonction x^2y^2 sur le carré défini par les deux intervalles
[-1,+1], on doit trouver 4/9

Code:

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def filltabs():
    step=2.0/1000
    global x,y
    x=y=[0]*1000
    for i in range(0,1000):
        x[i]=y[i]=-1+i*step
    global F
    F=[0.0]*1000000
    for i in range (0,1000):
        for j in range (0,1000):
            F[1000*i+j]=x[i]*x[i]*y[j]*y[j]
 
 
def integre():
    I=0.0
    for i in range (0,999):
        for j in range (0,999):
            moyenne=(F[1000*i+j]+F[1000*(i+1)+j]+F[1000*i+(j+1)]+F[1000*(i+1)+(j+1)])/4
            ds=abs(x[i+1]-x[i])*abs(y[j+1]-y[j])
            dI=moyenne*ds
            I+=dI
    return I
 
def main():
    filltabs()
    print integre()*9
 
if __name__ == '__main__':
    main()