Approximation de fonction z=f(x,y) d'après un tableau de point

Bonjour à tous,

Je suis tombé sur un problème dont je n'arrive pas à me sortir, donc je fais appel à toute personne capable de m'aider.


Imaginons un tableau de point x,y,z (pris au hasard)

Code:

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1 2 3 4 5 6

x y z 3 20 4 4 20 4,5 5 33 7 6 40 9 7 40 10

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par exemple.


J'aimerais alors pouvoir construire une fonction z=f(x,y) de manière à pouvoir calculer (par interpolation ou extrapolation, donc) le z correspondant à toutes les combinaisons de x,y voulues.

Cette fonction z=f(x,y) ne doit pas nécessairement passé par la série de point connu, elle peut être une approximation de la fonction passant par ces points.

Je pense enfin que la fonction ne dépasserait pas le second degré (mais j'imagine que ça ne change pas grand chose que ce soit degré 2 ou 3). La fonction peut être représentée par une surface 3D

J'espère avoir été clair et je vous remercie déjà pour votre aide.

A+

Tu peux procéder par triangulation.
Une interpolation simple est possible pour tout point à l'intérieur d'un triangle dont les trois sommets sont des points du tableau.
Supposons donc que M(x,y)
se trouve dans le triangle
M1(x1,y1)
M2(x2,y2)
M3(x3,y3)
Alors M possède des coordonnées barycentiques
c'est à dire qu'il existe a,b,c tels que
a+b+c=1
et M est la barycentre du système (M1,a) (M2,b) (M3,c)
Cela dit
On a z1=f(M1)
z2=f(M2)
z3=f(M3)
On peut alors proposer
az1+bz2+cz3
pour valeur extrapollée de f(M)

Citation:

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Envoyé par Zavonen

Tu peux procéder par triangulation.

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Si tu décides de faire comme ça, regarde du coté de la triangulation de Delaunay. Elle a plein de "bonnes propriétés" qui font qu'elle est utilisable dans ce contexte.

En moins linéaire, tu as les polynomes d'interpolation de Lagrange, mais vu que ta grille n'est pas carrée, c'est un peu plus chiant à mettre en oeuvre.

Si tu veux quelque chose qui ne passe pas nécessairement par les points, tu as des interpolation comme "spleen plaque mince" et ce genre de chose qui peuvent t'aider.

Bref, y a plein de choses qui existent :-)

Salut,


Merci pour vos réponses,

Pour la triangularisation je ne sais pas si c'est le bon choix, car ça va créer des plans et le tableau ne contiendra probablement pas beaucoup de donnée (les données sont entrées par les utilisateurs du programme et ne possèderont pas forcément beaucoup de 'points tests')

Les plans risquent donc d'être trop grand, c'est pourquoi je chercherais plutôt une courbure de second degré.
Je vais néanmoins regarder à la triangularisation avant de me décider. Je vais aussi aller faire un tour du coté des splines plaques minces comme évoqués par Alex (le spleen c'est plutôt chez Baudelaire ;))


Ha aussi petite info, si on reprend le tableau donné dans le premier post:

Code:

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1 2 3 4 5 6

x y z 3 20 4 4 20 4,5 5 33 7 6 40 9 7 40 10

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les données qui seront extrapolée devraient s'étaler sur une plage de -15 à 15 pour les x, sur une plage de 20 à 50 sur celle des y. (et par pas de 1 pour les 2)

Je veux dire donc par là qu'il risque d'y avoir peu de point par rapport à ceux demandé, c'est pourquoi il faudrait que la forme de la surface soit la plus fidèle possible à ce que ce devrait être. donc par connaissance pratique, z serait un polynôme de degré 2 par rapport à x et par rapport à y, ça serait degré 1 (ptet 2 mais 1 sera ok)

Bonjour,

tu peux utiliser l'interpolation polynômiale de LAGRANGE définie par :

Code:

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1 2 3

li(xi) = Pi(j = 0, ..., n avec j != i) (x - xj) / (xi - xj) Pi : Produit

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Le polynôme d'interpolation de LAGRANGE s'écrit donc :

Code:

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1 2 3

Pn(x) = Sigma(i = 0, ..., n) fi * li(x) Sigma : somme

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Ce polynôme interpole une fonction f connue en (n + 1) points : (x0, f0), ..., (xn, fn).

Bon courage.

Salut!

Pour ce genre de problèmes, les splines bicubiques donnent généralement de bons résultats. Si par hasard tu as accès à la librairie IMSL, essaie les routines IBCEVU, IBCICU et IBCIEU.

Bonne chance.
Jean-Marc Blanc