0,9999 = 1 ?

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07/04/2007, 23h55
_LVEB_

0,9999 = 1 ?
Bonjour,

j'ai vu un truc bizarre :
Code:

1 2 3 4 5 6 n = 0,999999... 10n = 9,999999... 10n = 9 + n 9n = 9 n = 9/9 n = 1
8O

Ou est l'erreur ?!?
08/04/2007, 00h24
jobherzt
il n'y en a pas. 0.999.... (les ... suppose qu'on va a l'infini) s'appelle le developpement decimal impropre de 1.. dis toi, même si ca n'est pas une "vraie" preuve, que ca n'est pas plus bizzare que
Code:

1 2 0.333.... = 1/3
08/04/2007, 05h17
lastrecrue

tous simplement car l'écriture 0.9999... c'est pas des math:D
08/04/2007, 09h56
Pierre Levy

Je pense qu'il s'agit bien de maths.
Le nombre 1 peut s'écrire soit 1.000..., soit 0.999... avec une infinité de 0 ou de 9 après la virgule.
On parle alors de développement décimal illimité.
Si le développement décimal est périodique (14.127127127...) alors le nombre correspondant est un nombre rationnel (peut être écrit sous forme d'une fraction), sinon c'est un nombre réel pur (par exemple le nombre e ou la racine carrée de 2 ou le nombre pi).
08/04/2007, 13h02
rostomus

Bonjour,

Est-ce que 0.999.... est un nombre rationnel?

et aussi 3*0.3333... egale à 0.9999... ou bien à 1?
08/04/2007, 13h47
Pierre Levy

Oui, 0.999... est un nombre rationnel puisqu'il est périodique de période 9.

Les nombres entiers sont aussi des rationnels qu'on les considère sous la forme 7,par exemple, ou sous la forme 6.999... et ce, selon le cas, parce que 7 est une fraction de dénominateur 1 ou bien 6.999... est un développement décimal périodique illimité de période 9.

En fait l'ensemble des entiers est inclus (au sens de la théorie des ensembles) dans l'ensemble des rationnels, lui-même inclus dans l'ensemble des réels, lui-même inclus des l'ensemble des nombres complexes.
08/04/2007, 13h54
jobherzt

en fait, on a surtout que 0.9999... est rationnel parce qu'il est egal a 1 :) qui est bien evidemment rationnel. ce qui repond aussi a ta ée question : les 2 !! puisqu'on vient de dire que 0.999... =1, alors 0.3333... *3 est a la fois egal a 1 et a 0.999....
08/04/2007, 16h15
rostomus

Donc 1=0.999..., je le savais pas :pleure:

Merci :king:
08/04/2007, 16h20
millie

Tu peux facilement le démontrer en utilisant la somme :

Somme(9 * 10^(-k), k = 1 à l'infini), qui vaut bien 1.
08/04/2007, 16h27
jobherzt

"moralement", tu peux aussi te convaincre que 1-0.999.... = 0.
08/04/2007, 16h32
rostomus

Citation:

Envoyé par millie

Tu peux facilement le démontrer en utilisant la somme :

Somme(9 * 10^(-k), k = 1 à l'infini), qui vaut bien 1.

Oui, effectivement

quelle honte :oops:
08/04/2007, 18h16
davcha

Citation:

Envoyé par millie

Tu peux facilement le démontrer en utilisant la somme :

Somme(9 * 10^(-k), k = 1 à l'infini), qui vaut bien 1.

Qui tend vers 1, nuance.
08/04/2007, 18h23
jobherzt

non, qui vaut 1. on parle bien de la somme de 1 a l'infini, qui est par definition la limite de la somme de 1 a n quand n tend vers l'infini. et cette limite est bien egale a 1.
08/04/2007, 18h58
Pierre Levy

Je suis d'accord avec jobhertz.
08/04/2007, 19h02
jobherzt

Citation:

Envoyé par Pierre Levy

Je suis d'accord avec jobhertz.

evidemment puisque j'ai raison :) plus serieusement, c'est une question qui est piegeante, et je connais pas mal de matheux qui se font avor au premer abord. on est tellement habitué a manipuler des limites que des qu'on parle d'infini on imagine quelque chose "en mouvement", alors qu'ici on parle bien d'un nombre qui a effectivement une infinité de chiffre.
08/04/2007, 19h21
Zavonen
Deux façons de voir que :
0.99999999......
est bien EGAL à 1
Première méthode:
Tout nombre commençant par n chiffres 9 diffère de 1 de moins de 1/10 puissance n.
Ainsi si un nombre ne comporte que des neuf il diffère de 1 de moins de 1/10 puissance n POUR TOUT n !!!
Le seul nombre inférieur à toutes les puissances inverses de 10 est 0 cqfd.
Seconde méthode:
Le nombre en question peut être vu comme la somme d'ne série dont le terme général est: 9/10^k.
Or on sait calculer les sommes partielles de cette série. Il suffit de voir que le nombre est la limite d'une suite qui tend vers 1.

De fait, du point de vue théorique, pour revenir à la source, il faut établir que l'écriture d'un réel comme suite infinie de décimales a un sens.
Les réels se construisent de plusieurs manières, les plus connues étant:
- les coupures de Dedekind
- les suites de Cauchy
Le nombre 0.a0a1a2a3.....an.........
peut donc être défini comme la limite de la suite de rationnels (décimaux)
xn=0.a0a1a2a3.....an
qui converge forcément parce qu'elle est croissante et bornée. Ce théorème de convergence se démontre sur la définition des réels, mais je crois me souvenir qu'il faut ajouter l'axiome que R est archimédien ( qqs x >0 et qqs y réels il existe n entier tel que y<=nx), ainsi que l'axiome dit des intervalles emboîtés (toute suite décroissante d'intervalles non vides est non vide).
Je ne sais pas (plus) si ces deux axiomes peuvent devenir des théorèmes avec des constructions différentes.
08/04/2007, 20h46
lastrecrue

apres la relecture j'avoue que 0.99999... ça a un sens au mathématique quand on le vois comme la somme infini de 9*10^k k={-1, -2 ... } mais dans ce cas on peut dire que c'est a l'infinie que cette somme tend vers 1 mais la je me pose la question est ce que légalité dans le sens des limite a le même sens que pour les entier est ce que le 1=0.99999... suppose qu'on parle plutôt de la suite constate 1, je pense que considère 1 comme un nombre dans ce cas est un abus du langage.
08/04/2007, 20h56
jobherzt

disons que pour que cette ecriture aie un sens, il faut au moins qu'on "connaisse" l'ensemble des rationnels. mais sans chipoter sur les constructions des reels, cette ecriture est bien une egalité entre nombre, et 0.999... appartient a l'ensemble des entiers.

en chipotant, dans ce cas 1 n'est pas une suite constante, mais un reel, cad une classe d'equivalence de suite de cauchy de rationnel... dans ce cas, dire que 0.999... = 1 est une egalité entre classe. il n'y a toutefois aucun abus de langage.

et effectivement, c'est a l'infini que cette somme est egale a 1, mais justement, on suppose qu'elle y va, meme qu'elle y est deja a l'infini !!! donc 0.999. est egal a 1, il n'y a pas d'histoire de "tend vers" dans cette ecriture.
09/04/2007, 01h37
souviron34

et d'ailleurs, en informatique, cette équivalence est traitée par IEEE 754 :

http://www.cs.utah.edu/dept/old/texi...ibrary_28.html

Citation:

Here is an example showing how the floating type measurements come out for the most common floating point representation, specified by the IEEE Standard for Binary Floating Point Arithmetic (ANSI/IEEE Std 754-1985). Nearly all computers designed since the 1980s use this format.

The IEEE single-precision float representation uses a base of 2. There is a sign bit, a mantissa with 23 bits plus one hidden bit (so the total precision is 24 base-2 digits), and an 8-bit exponent that can represent values in the range -125 to 128, inclusive.

So, for an implementation that uses this representation for the float data type, appropriate values for the corresponding parameters are:

.....
smallest number x such that 1.0 + x != 1.0

FLT_EPSILON 1.19209290E-07F
DBL_EPSILON 2.2204460492503131E-016
....

Donc ici 1.00000000000000022204459250312 égal 1.0

:D

Evidemment pas valable sur toutes les architectures , mais une indication pratique de la discussion mathématique ci-dessus..
09/04/2007, 13h07
davcha

Citation:

Envoyé par jobherzt

non, qui vaut 1. on parle bien de la somme de 1 a l'infini, qui est par definition la limite de la somme de 1 a n quand n tend vers l'infini. et cette limite est bien egale a 1.

La limite est bien égale à 1, je suis d'accord.

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