e vaut 0.Citation:
Envoyé par jobherzt
Le nombre 0.99999999999999... n'existe pas. C'est 1.
Soit n = 0.99999999999...
10n = 9.99999999999...
10 n - n =9 => n = 1
n à une infinité de décimales!
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e vaut 0.Citation:
Envoyé par jobherzt
Le nombre 0.99999999999999... n'existe pas. C'est 1.
Soit n = 0.99999999999...
10n = 9.99999999999...
10 n - n =9 => n = 1
n à une infinité de décimales!
Les nombres "réels" ont une valeur. Cette valeur peut (parfois) etre représentée sous différentes formes. Par exemple, par la limite de suite convergente, les lettres grecques, les racines, ou le développement décimal infini.Citation:
Envoyé par poukill
Par exemple, le réel "zorglub" a une valeur qui peut se représenter ainsi en développement décimal infini: 1.23475486223587410446...
Les '...' veulent dire qu'il y a une infinité d'autres chiffres.
Cas particulier: "le développement décimal infini se termine par une infinté de 0 ou de 9."
Par exemple, le réel "un_quart" a une valeur qui peut se représenter ainsi: 0.25000000000000000...
Les '...' veulent dire qu'il y a une infinité de zéros.
Ce meme réel "un_quart" a sa meme valeur qui peut se représenter ainsi: 0.24999999999999999...
Les '...' veulent dire qu'il y a une infinité de 9.
Cas particulier, ce réel "un_quart" est un rationnel. C'est a dire qu'on peut ecrire sa valeur sous forme de fraction: 1/4
Cas particulier du cas particulier, ce rationnel a un développement décimal fini. On peut ecrire sa valeur sous la forme: 0.25
Toutes ces représentations sont équivalentes et représentent le meme réel "un_quart"
merci poukill, je suis au courant :) je posais la question a random, pour qu'il explicite son point de vue !
je sais, je ne faisais que te citer pour répondre à random ! :DCitation:
Envoyé par jobherzt
@pseudocode!
0.24999999999999999... = 0.25 avec ma démonstration précédente...
Mais tu as raison dans ton post.
A+
Il me semble que le problème est celui de la représentation d'un nombre.
Or cette représentation dépend à la fois de la nature de ce nombre et de l'usage que je veux en faire.
Donc qu'est-ce qu'un nombre entier? Comment se représente-t-il? Quels types de calculs puis-je faire avec?
Mêmes interrogations pour un rationnel, un réel, un complexe.
Quels sont les liens entre des nombres nature differente? En particulier entre 1 et 0.99999... ?
Pourquoi ne pas accepter qu'il s'agit de 2 représentations d'un même nombre? Que ces 2 représentations permettent de faire le lien entre les entiers et les rationnels?
J'affirme par exemple que 13,327 327 327 ...... est égal à 4438/333 ou si cette formulation est plus acceptable que ce sont 2 représentations d'un même nombre x.
Selon mes besoins j'utiliserais l'une ou l'autre de ces représentations de x.
Si je veux faire de l'analyse la première forme sera peut-être plus adéquate (serie), alors que si je veux calculer dans Q ce sera la deuxième.
Je précise qu'un éléve de seconde est capable en partant de la pemière forme d'aboutir à la deuxième avec bien sur moins de rigueur qu'un éléve de prépa, mais l'essentiel y sera.
Dans cet ordre d'idée le nombre e, selon mes besoins sera pris comme peu different de 2,71828 ou comme le nombre ayant pour logarithme 1 ou comme la limite en l'infini de (1+1/x)^x.
"De l'uniformité naquit un jour l'ennui"... et l'ennui n'est pas compatible avec les maths;) .
Attention au sens de cette phrase : elle ne signifie pas qu'il reste une place tout au bout, mais plutôt qu'il n'y a pas de bout. On peut toujours aller plus loin.Citation:
Envoyé par random
Hé bien, l'encre continue de couler (les pixels plutôt) :)
Vous avez fait tout ce que vous avez pu pour expliquer à random son erreur, mais je ne suis pas sur que le but a été atteint...
"Les abus de notation" 0,999... et 0,123123123... font intervenir le bon sens, et sont là pour éviter l'usage de sommes infinies.
Maintenant, on ne peut pas tout écrire avec ces abus: essayez par exemple avec x= somme[n>1] 10^(-10*n)...
x = somme[n>1] 10^(-10*n) = somme[n>1] 0.0000000001^nCitation:
Envoyé par Nemerle
En base 10^10:
0.11111...
En base 10:
0.00000000010000000001...
Je ne considèrerais pas ça comme un abus, plutôt comme une notation un peu moins rigoureuse
C'est comme si l'on écrivait
pi²/6 = 1 + 1/2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ...
Ou bien la série (S[n]), de terme général S[n] = 1 + 1/2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/n^2
sorry, j'avais mis un * à la place du ^:
x= somme[n>1] 10^(-10^n)...
Tu me l'écris celui-là? ;)
Citation:
Envoyé par oiffrig
Oui, je te l'écris : pi²/6-1/2 8-) Non, non, j'ai pas triché.
Je n'ai pas pu résister.
juste une question dont la réponse pourrait emporter ma conviction.
Comment pourrais je construire un réel, inférieur à 1 (et donc non égal) , aussi grand que possible ?
On ne peut pas. Entre deux réels non égaux il y a une infinité d'autres réels (mes maths étant un brin rouillées j'ai oublié le nom de cette propriété).Citation:
Envoyé par random
Si on appelle a un tel réel, que penser du mileur de [a, 1], c'est à dire (1+a)/2 ?
c'est d'ailleurs un des moyens les plus simple pour repondre a notre question. si 0.999... etait different de 1, on pourrait caser un reel (et meme un rationnel, en fait) entre les 2.. or, on peut pas, donc 0.999...=1.
autre question si j'écris
1>0.9 et 0.10>0
1>0.99 et 0.01>0
1>0.999 et 0.001>0
ou plus simplement en posant x>0 par combien faut il diviser x pour rétablir
l'égalité ?
ATTENTION, quand une suite u_n converge et que l'on a une inégalité :
Pour tout n, u_n < 1, le passage à la limite donne : lim(u_n, n->infini) <= 1 (on perd l'inégalité stricte).
Même pour les rationnels, on dit alors que Q est dense dans R, si c'était le mot que tu cherchaisCitation:
Entre deux réels non égaux il y a une infinité d'autres réels
Encore plus fort, la puissance du continu: tout intervalle de |R (non réduit à un point) a le meme que cardinal que |R lui-meme.Citation:
Envoyé par millie
en meme temps, c'est vrai aussi pour Q :) pas besoin d'aller chercher la puissance du continu !
:oops: Oups !Citation:
Envoyé par jobherzt
C'est vrai que l'equipotence seule est suffisante. Pas besoin d'aller plus loin.
pas tout a fait, ca n'est pas vrai dans N :) ce qu'il faut c'est surtout, en gros, que ca soit un espace non discret, par exemple sauf erreur ca marche pour l'ensemble des (a+b(racine de 2)), ou a et b sont entier non nuls.
La phraseCitation:
Envoyé par jobherzt
"Entre deux elements non égaux il y a une infinité d'autres elements"
est equivalente a
"tous les intervalles non reduits a un point d'un ensemble contiennent une infinité d'élement"
Ce qui peut se réecrire en
"tous les intervalles non reduits a un point d'un ensemble ont une cardinalité au moins egale a Card{N} (aleph 0)"
Ca marche avec Q, car les intervalles non reduits a un point de Q sont equipotents a N (ou Q, ou Z, ...)
Evidemment ca ne marche pas avec N car, par exemple, les intervalles bornés de N sont finis. :aie: