loui, donc 0.9999.... est égal à 1.
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loui, donc 0.9999.... est égal à 1.
N'empêche un truc marrant que t'as dit entre deux posts :
Oui, je sais, je suis chiant.Citation:
Envoyé par jobherzt
:yaisse2:
Tiens à propos. Ca marche dans une autre base que la base 10 ?
Genre en base 2, par exemple... 0,111111111.... = 1 ?
non, je maintiens ce que j'ai dit, 0.999.. ne tend pas vers 1, c'est exactement egal a 1. donc il n'y a pas d'histoire de "tend vers" dans l'ecriture 0.999....
Pourtant quand tu écris 0.999... tu n'es pas exactement égal à 1, mais égal à zéro virgule neuf neuf neuf trois petits points. Et ces trois petits points me disent que ton 0.999 est une approximation....
Tu vois où je veux en venir ? à moins de l'écrire sous forme de limite d'une somme de 1 à n quand n "tend vers l'infini", ton 0.999... ne sera pas égal à 1.
oui, je vois tres bien ou tu veux en venir, et c'est bien pour ca que j'ai essayé d'insister. je persiste : les 3 petits points disent qu'il y a exactement une infinité de 9 ! c'est ce que je disais plus haut, des qu'on parle d'infinion imaine naturellement un truc en "mouvement" qui se rapproche de l'infini sans jamais l'atteindre. or, le nombre 0.999.... n'est pas une suite, ni une approximation, c'est un reel qui est fixe, figé, invariable et égal à 1 !!! pour la demonstration de cette egalité on fait intervenir une limite, mais c'est tout. je sais que ca n'est pas intuitif, et c'est bien pour ca que je disais dans un precedent post que ca pose un probleme a pas mal de monde, mais c'est comme ca.
J'adore le exactement une infinité 8O
et bien oui, si tu n'acceptes pas la possibilité d'atteindre l'infini, alors tous les nombres irrationnels n'existent pas. c'est ce qu'on appelle la difference entre un infini potentiel (on peut aller aussi loin qu'on veut), et un infini actuel (on peut atteindre effectivement l'infini, et en particulier, un irrationnel a exactement une infinité de decimales). on ne peut pas construire les maths simplement en utilisant l'infini potentiel... et c'est bien de cela qu'il s'agit dans cette question, et c'est bien pour ca que cette question apparemment innocente est en fait beaucoup plus subtile et profonde qu'elle en a l'air. je viens de trouver cet article :
http://en.wikipedia.org/wiki/0.999.....m_in_education
et en particulier ces passages :
qui illustre bien ce que je disais.... oui, c'est etrange, mais c'est "necessaire", c'est un "dommage colateral" de la construction des reels.Citation:
# Some students interpret "0.999…" (or similar notation) as a large but finite string of 9s, possibly with a variable, unspecified length. If they accept an infinite string of nines, they may still expect a last 9 "at infinity".[13]
# Intuition and ambiguous teaching lead students to think of the limit of a sequence as a kind of infinite process rather than a fixed value, since a sequence need not reach its limit. Where students accept the difference between a sequence of numbers and its limit, they might read "0.999…" as meaning the sequence rather than its limit.[14]
# Some students regard 0.999... as having a fixed value which is less than 1 but by an infinitely small amount.
# Some students believe that the value of a convergent series is an approximation, not the actual value.
Le "exactement une infinité" me pose problème aussi ;)
Si 0.999... n'est ni une suite, ni une approximation, que c'est bien un réel qui est fixe, figé et invariable, et égal à 1, alors je te défie d'écrire 1 sous sa forme décimale impropre, sans utiliser de somme, de limite ou quoique ce soit d'autre que :Citation:
Envoyé par jobherzt
- un zéro
- une virgule
- le chiffre neuf, répété autant de fois que tu le souhaites
et ce, sans faire exploser internet, bien sûr. :aie:
je te met aussi au defi d'ecrire racine de 2 sous sa forme decimale, sous les memes conditions, et pourtant racine de 2 "existe", c'est un nombre, fixe et figé !! c'est exactement la meme chose. ce n'est pas parce qu'un nombre est fixe qu'on peut l'ecrire avec un nombre fini de symbole. en fait, l'ecrasante majorité des reels ne peuvent pas etre decrit avec une formule, un texte, un algorithme.. ou n'importe quoi d'autre.
vu que nos messages ont ete envoyé a des heures proches, je ne sais pas si tu a pu lire mon message precedent qui detaille un peu.
Infini potentiel/actuel
Je crois que je suis pas un artiste en fait... :pleure:
Il y a une façon très simple de s'en convaincre :
1/3 = 0,333...
Donc 1/3 + 1/3 + 1/3 = 0,999...
Mais on a aussi 1/3 + 1/3 + 1/3 = 3/3 = 1
(Les "..." signifient que les 3 et 9 continuent infiniment)
j'acquiese la réponse de Souviron ;c'est un problème de représentation interne et d'arrondi
??? on parlait plutot de la question mathematique.Citation:
Envoyé par Mat.M
Comme quoi la notion d'infini n'est pas évidente ... :-)
non, pas du tout en effet.
J'admets sans aucun problème le fait que 0,9999... est égal à 1. C'est le rapprochement des deux mots exactement et infinité qui m'a amusé.
disons que j'ai employé "exactement" par opposition a "tendant vers".
Oui. Les propriétés des nombres réels sont valables dans toutes les bases. Et donc, en particulier, la convergence de la suite du développement décimal infini.Citation:
Envoyé par davcha
Donc en base 2: 0,11111111111... = 0,1+0,01+0,001+,... = 1
ce qu'on peut traduire en base 10 par 1/2+1/4+1/8+1/16+... = 1
Pour ajouter mon grain de sel.
Dans une base b+1 (b>0), alors 0,bbbbb... est définie par :
Somme(b * (b+1)^-k, k= 1 à l'infini) = limite(n->infini, b * (-1 + (1-1/(b+1)^n) / (1- 1/(b+1))) = b (-1 + (b+1 / b)) = 1
Suis désolé millie, mais je te demanderais un éclaircissement... :aie:
Voilà, je peine sur la seconde opération, comprise entre les parenthèses se rapportant à "limite".
Si je réduis le calcul:
Malheureusement, cela ne me donne pas 1... de loin pas...Citation:
-b (b+1)^(-n)/(1-(1/(b+1)),
d'où
-(b+1)^(-n+1)
J'ai dû me gourer quelque part!
A++