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Tu as raison, c'était pas très clair.Citation:
Envoyé par pseudocode
j'ai corrigé l'énoncé (voir 3 msg plus haut) en me servant de la notion d'ensemble citée en ref.
D'après les conditions requises pour respecter cette notion, pas besoin de "développer" ;)
N'oublions pas non plus la simple définition axiomatique de R:
Soit un corps commutatif (C,+,*) vérifiant
1. C est totalement ordonné
2. (C,+) est un groupe ordonné archimédien (x>0, y>0 => il existe n entier naturel tq n*x>y)
3. Il n'existe pas de sur-corps contenant C et vérifiant 1 & 2.
Cette définition, purement algébrique, ne fait pas intervenir de notion topologique ou métrique. C'est "magique" je trouve ;)
Définition de M'sieur Hilbert, mais avec un prérequi d'espaces métrique: R est "le" corps commutatif totalement ordonné,archimédien et complet --> remarquez que "complet" correspond à notre 3, soit la "clôture" algébrique des axiomes 1&2...
Autre définition: R est "le" corps commutatif de Banach n'ayant que l'identité comme automorphisme.
Quand à 0.999...= 1, je m'en fou complêtement maintenant, l'égalité de "bon sens" est établi depuis longtemps.
Au fait, je propose l'abandon de la notation décimale pour la notation en "fraction continue":
X=a%bcbde.... ssi X= a+ 1/(b+1/(c+1/(d+1/(e+1/...)
On dira que les chiffres après % sont les décimales de X :mouarf:
--> X a un nombre fini de décimales ssi X est rationnel
--> Si X est irrationnel son écriture décimale est unique
--> Si X est rationnel il existe exactement deux écritures décimales de X: l'une terminant par x, l'autre par x+1.
Merci d'être honnête ;)Citation:
Quand à 0.999...= 1, je m'en fou complêtement maintenant
D'ailleurs puisque tu t'en fiches et que tu n'es peut-être pas le seul, j'aimerai (une fois de plus) qu'on évite que chacun apporte son grain de sel sur la construction d'un espace, sur une définition , ... Puisque tu viens d'en apporter la preuve ça ne sert (à 90% du temps) à rien au sujet initial.
La discussion fait maintenant une longueur très largement supérieure à la normale, on a pu le constater c'est une raison pour ne pas en lire l'intégralité et donc passer à coté des vraies démonstrations, on en arrive à des démos (ou des remarques) qui ont déjà été données.
Si vous voulez débattre de la construction de R (ce qui est passionnant, j'en conviens) ouvrez une nouvelle discussion.
:merci:
Bon, j'ai pas eu le courage de lire tous les posts précédents (donc désolé si ce que je vais dire l'a déjà été).
J'avais posé la question à un de mes profs de math (pensant le coller ^^) et il m'a tout simplement dit que ce raisonnement n'est pas possible puisqu'il est fait dans R or l'infini n'appartient pas à R.
CQFD (rapide et efficace :P).
Bah peut être que tu aurais du lire quelques posts.Citation:
Envoyé par le y@m's
En l'occurence, si ton prof de maths t'as vraiment dit ça, il serait temps qu'il parte à la retraite. Parcequ'au dernière nouvelles, pi a bien un nombre infini de décimale, qui ne sont pas periodiques, et pi est bien dans R. Bref, la réponse n'a rien à voir avec la question...
Et l'infini ne veut pas dire grand chose dans ce cas :?
A moins qu'il parlait de l'infini comme dans la droite réelle achevée... Mais bon, c'est plus une astuce de notation qu'autre chose pour simplifier quelques résultats.
EDIT : Je me disais bien, je voyais pas le rapport, je pensais que j'étais dans la discussion : Construction de R :mur:
Je ne suis pas tout à fait d'accord. PI a un nombre infini de décimales mais c'est un nombre fini puisque défini et borné.Citation:
Envoyé par alex_pi
Rien à voir avec "l'infini" qui est un concept mathématique et non un nombre.
Citation:
Envoyé par le y@m's
Qu'est ce que ton prof entendait par l'infini ?
Le symbole +OO que l'on voit dans les limites n'est qu'un symbole, il y a des définitions plus profondes derrières.
Par exemple dire qu'une suite u_n (à valeur dans R) tend vers un réel l en l'infini, cela signifie que :
Pour tout epsilon>0, il existe n_0 tel que pour tout n>n_0, |u_n-l|< epsilon (définition plus simple qu'avec les ouverts et les filtres :mouarf: )
Quel est le rapport avec la notation 0,999... dans ce cas ?
En fait le "problème" (ou plutôt l'astuce ^^) vient du passage de
x = 0.9999...
à
10x = 9.9999...
où l'on considère (dans la démonstration) que les décimales de 10x (0.9999...) sont égales à x alors que c'est x / 10. Instinctivement on néglige cette différence car elle vaut 1 / +OO et donc 0. Sauf qu'on ne peut pas écrire cela dans R (puisque +OO n'appartient pas à R).
PS : mon avis personnel est plutôt le même que le votre et j'ai toujours eu du mal à saisir ce que voulait dire mon prof mais comme pour comprendre un point de vue il n'y a pas mieux que d'argumenter (ou tout du moins essayer) en sa faveur ...
PS du PS : et c'est vraiment pas facile :?.
Il faut utiliser la définition :
http://www.developpez.net/forums/sho...25&postcount=9
Qui a même été redétaillé 50 fois dans les 50 pages :mouarf:
Tu te places dans quel contexte pour dire ça ? Etant donné que l'on ne sait pas trop ce que vaut l'infini, ce que tu dis n'as (à mon avis) pas trop de sens, si tu passes au limites, il n'y a aucun soucis ça tend bien vers 0 mais la division comme ça, je suis pas sur que ça soit bien défini.Citation:
1 / +OO et donc 0.
Tu aurais dû, j'ai passé au moins 3 messages dans lesquels je demandais de relire le sujet en entier afin de ne pas répéter ce qui avait été dis, sinon on va finir avec une discussion qui fait 150 pages mais dont seulement une petite dizaine (et encore je suis large) sont intéressantes, le reste n'est soit pas intéressant soit seulement une répétition de ce qui a été dit.Citation:
Bon, j'ai pas eu le courage de lire tous les posts précédents (donc désolé si ce que je vais dire l'a déjà été).
Le problème c'est que k n'atteind jamais l'infini.Citation:
Envoyé par millie
On n'atteind pas l'infini, on ne peut que tendre vers lui.
D'où on peut dire que 0.9999... tend vers 1 mais pas que c'est égal.
C'est exactement ce que j'ai dit. Ca n'a pas de sens alors que c'est ce que fait, implicitement, la démonstration. D'où la démonstration n'a pas de sens donc elle est fausse.Citation:
Envoyé par PRomu@ld
:oops: encore désolé :oops:, mais me taper 369 posts de débat sur l'infini à 4h du mat c'est plus du courage mais du sado-masochisme :aie:.Citation:
Envoyé par PRomu@ld
C'est simplement : s = lim(Somme(k=0,n, ...), n->infini) que l'on obtient avec la définition de la limite que j'ai donné au dessus avec les epsilon.Citation:
Envoyé par le y@m's
s est donc un nombre réel fixe ! Ce n'est pas quelque chose qui tend vers autres choses.
C'est une notation classique de limite de série : http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9...%A9matiques%29
Oui, je me souvient encore à quoi ressemble une série ^^.Citation:
Envoyé par millie
Mais
source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Limite_...%A9matiques%29Citation:
rechercher la limite d'une suite ou d'une fonction, c'est déterminer si cette suite ou cette fonction s'approche d'une valeur particulière
Donc effectivement 0.9999... s'approche de 1, mais ce n'est toujours pas égal.
Très bien, prenons le problème à l'envers, disons que c'est une conjecture, le résultat est donc vrai jusqu'à preuve du contraire. Montres nous alors que 0.999... est différent de 1 !Citation:
Donc effectivement 0.9999... s'approche de 1, mais ce n'est toujours pas égal.
Prendre le problème dans ce sens ne me paraît pas judicieux (et honnêtement je ne saurais même pas par où commencer ^^).Citation:
Envoyé par PRomu@ld
Cependant je reconnais mon erreur, j'aurais du être plus précis en mentionnant que ce que tu as cité ne se référère qu'au raisonnement utilisant la série.
Utiliser une série pour démontrer que 0.999... = 1 est faux puisque on utilise une limite qui est une approche.
Je me corrige donc en disant : Donc, d'après la série, effectivement 0.9999... s'approche de 1, mais ce n'est pas égal.
Prenons une autre approche (qui pourrait démontrer que 0.999... = 1) :
0.9 n'est pas égal à 1, ni 0.99, ni 0.999. En fait, à chaque fois que l'on "ajoute" un 9, l'erreur par rapport à 1 diminue (divisée par 10).
Donc soit n le nombre de 9 dans la décimal de 0.999... on peut écrire :
1 = 0.999... + erreur /(10 * n)
Pour retrouver notre égalité il suffit donc de poser n = infini et on a effectivement : 1 = 0.999... + erreur / (10 * infini) = 0.999...
Le problème est que n=infini ne peut-être posé dans R (comme tu l'as dit ça n'a pas de sens puisque l'infini n'est pas un nombre) donc cette égalité ne peut être écrite.
Vraiment ce sujet tourne en rond... Une limite n'est pas une "approche" (terme extrèmement vague n'ayant pas de sens mathématique mais utilisé pour décrire "avec les mains" le comportement d'une suite tendant vers une limite) mais un nombre donné, une constante. Une série n'a pas de limite (contrairement à une suite), elle a une somme (qui est la limite de la suite des sommes partielles si elle existe) qui est un nombre réel ou elle diverge, donc ta déclaration n'a pas de sens.Citation:
Envoyé par le y@m's
Si l'on dit que 0,999... représente la série "somme(9/10^n)" comme on l'a admis dans cette discussion, alors 0,999... représente 1 (élément neutre de la multiplication dans R), tout comme la série 1,000... .
Le reste de ton post est à côté de la plaque, puisque jamais dans cette discussion on n'a essayé de dire que l'infini appartenait aux réels, ce n'est pas le sujet et aucune des démonstrations n'utilise cette affirmation (fausse).
Il est vraisemblable que le prof de Maths à qui tu as posé la question n'a pas bien compris de quoi tu parlais (que ce soit ta faute ou la sienne, vu ton explication ici je ne saurais me prononcer... ).
--
Jedaï
Je n'a jamais dit que cette série avait une limite mais, que cette série EST une limite. Une série n'a pas de somme, elle EST une somme.Citation:
Envoyé par Jedai
Notre série EST une somme en l'infini donc elle EST une limite en l'infinie. Or une limite est une approche d'une valeur particulière ce qui ne me paraît pas être un "terme extrèmement vague..." mais bien une façon plutôt simple de dire que l'on se rapproche d'une valeur sans jamais l'atteindre (c'est pourquoi on dit aussi tendre vers).
Donc d'après la série notre 0.999... tend vers 1 ce qui n'est pas pareil que être égal.
La première démonstration utilise pourtant bien cette affirmation bien que cela sois implicite.Citation:
Envoyé par Jedai
Lorsque l'on passe de la ligne
x = 0.999...
à
10x = 9.999...
On considère que le nombre de décimales de 9.999... (deuxieme ligne) est égal au nombre de décimales n de 0.999.. (première ligne). Ce qui reviens à poser n = n / 10 = infini. Or cela n'a pas de sens puisque l'infini n'appartient pas a R.
Je crois que tu te souviens pas bien de ce qu'est une série ;)Citation:
Je n'a jamais dit que cette série avait une limite mais, que cette série EST une limite.
La définition classique est :
Une série est un couple des deux suites (u, s) où u est une suite à valeur dans R (pour faire simple) et s est la suite définie par :
Pour tout n>0, s_n = somme(u_k, k=0, n)
Il n'y a aucune notion de limite dans la notion de série.
La série peut être convergente en revanche.
La série : (u,s) définie par : u_n = 10^-n et s_n = somme(u_k, k=0 à n) est convergente et lim(s_n, n->infini) = 1
Ou l'infini n'est qu'une notation pour dire que :
Pour tout epsilon>0, il existe n_0 tel que pour tout n>n_0, |s_n-1| < epsilon.