0,9999 = 1 ?

Citation:

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Il ne faut effectivement pas oublier qu'en informatique l'ensemble des nombres utilisés en virgule flottante est discret.

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Ca tu fais bien de le rappeler et me permet de dire que l'on ne peut pas conclure quand au déroulement de l'exécution de ton code source, dans la mesure où tu effectues une opération qui n'a pas un comportement défini et dont le résultat n'est absolument pas déterminable sur un système discret.

Code:

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WHILE ((A + 1.0) - A) - 1.0 = 0.0 DO

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C'était juste une petite précision, et je préfère la faire tout de suite avant que d'autre la fassent et apportent des informations, des arguments qui ferraient partir la discussion dans des sujets trop lointains du sujet initial.

Citation:

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Envoyé par Kevinas

...Ensuite, même pour ceux qui en doute toujours, la véracité de l'égalité 0,99999...=1 n'est plus à démontrer. Cette vérité est ...

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immuable (acceptée) et non démontrable: postulat.
Par contre, elle est vérifiable/justifiable avec tout ce que tu veux ;)

Citation:

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Envoyé par Kevinas

...Voici un algorithme particulier écrit en Pascal :

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Houlala, mes yeux de prophète :calim2:
(18 ans de programmation en pascal/turbo pascal/object pascal/free pascal)
Et que fais-tu (entre autre) du compiler et des options de compilation qui tronquent/optimisent le code ainsi que des différents types de processeurs qui utilises des registres et des règles de calcul différents et ne permettent absolument aucune (!) conclusion de cet ordre.

petite analogie du même ordre:
(ingénieur + métal + graphite + silice + forge et outils + pétrole) = formule 1 :fessee:

Citation:

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Envoyé par Kevinas

... A = Intégrale sur [1, +Infini[ de l'application g définie par g(x)=2*PI/x = N'EXISTE PAS
On vient donc de construire un entonnoir de volume fini et de surface infinie.

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Je me demande si l'égalité suivante est correcte:
surface calculée N'EXISTE PAS = surface est infinie :question:

;)

Tout d'abord, je voulais dire que la personne qui a fait ressortir ce thread des profondeurs du forum "Maths" a droit à tout mon mépris ;) ! Je viens de perdre deux heures à (presque) tout lire à cause de lui. Ca devrait être interdit ! D'ailleurs, le fil aurait sans doute plus sa place dans la Taverne...

Ensuite, je ne vais pas redémontrer pour la 4269eme fois que 0,999... = 1, ça a déjà été fait 4268 fois. En revanche, je vais quand même apporter mon petit cailloux au gros tas de gravier qu'est ce thread.

Je ne saurais trop conseiller à un certain nombre de personnes de lire Le monde des non-A de Van Vogt. Il y est entre autre dis et répeté : La carte n'est pas le territoire.
Cela aiderait peut être certains à faire la distinction entre la notion mathématique de "1" (défini par exemple comme le successeur de 0 dans N, puis comme toutes les images par les injection canoniques pour Z, Q et R) et l'infinité de notations dont l'interprétation est "1", ce qui limiterait certaines confusions. Entre autre le fait que lorsqu'on applique une fonction (définie de R dans R par exemple, comme "partie entière" (et oui, elle est bien définie de R dans R, mais n'est juste pas surjective vers son codomaine)) à une notation, on l'applique en réalité à la "notion" sous jacente, dans notre cas, au réel. Et donc évidement, E(0,999) = 1, puisque 0,999... = 1, et que (j'espère que tout le monde en conviendra ;-)), E(1) = 1.

Il faudrait aussi savoir que lorsqu'on pose une définition, avant de jouer avec, on vérifie qu'elle a un sens.
Par exemple, quand on écrit S = 1 - 1 + 1 - 1 ... (= \sum_{i=0}^{+\infty} (-1) ^i pour ceux qui chipotent sur le "..."), puis qu'on montre que les maths ne tiennent pas debout en montrant que S = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) ... = 1, S = (1-1) + (1 -1)... = 0, il faudrait juste se demander quelle est la *notion* derière la *notation*. En l'occurence, c'est une série. Et manque de bol, elle ne converge pas. Donc si on pense avoir défini un réel par équivalence implicite avec la limite de la série, on s'est fourvoyé, la définition n'a juste pas de sens.

Je vais éviter de faire le pédant en disant "laissez les mathématiques à ceux qui y comprennent quelque chose", mais disons au moins qu'il serait bon que ceux qui ont des lacunes tentent de comprendre, plutôt que de vouloir absurdement justifier qu'une propriété rigoureusement démontrée est fausse, à coup de "moi je ne suis pas d'accord". Ca permetrait un partage du savoir plutôt qu'un troll inutile de 23 * 15 posts :)

Citation:

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Envoyé par alex_pi

Par exemple, quand on écrit S = 1 - 1 + 1 - 1 ... (= \sum_{i=0}^{+\infty} (-1) ^i pour ceux qui chipotent sur le "..."), puis qu'on montre que les maths ne tiennent pas debout en montrant que S = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) ... = 1, S = (1-1) + (1 -1)... = 0, il faudrait juste se demander quelle est la *notion* derière la *notation*. En l'occurence, c'est une série. Et manque de bol, elle ne converge pas.

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Etant a l'origine de cet exemple, je tiens a préciser que c'etait de l'humour. Comme je l'ai dit après, cela n'a pas de sens car les suites sont non convergentes.

Jamais une évidence n'aura produit autant de posts...

Citation:

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Envoyé par Nemerle

Jamais une évidence n'aura produit autant de posts...

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:mouarf:

il faudrait une petite intervention de PRomu@ld pour réendormir le thread pendant un mois ou 2... ;)

Citation:

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Jamais une évidence n'aura produit autant de posts...

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Evidence, c'est très vite dit, la première fois que tu tombes là dessus (au lycée il me semble), ça surprend toujours, de plus je peux comprendre que ça peut choquer ou poser des problèmes (ça remet en cause pas mal de choses en fait sur la façon dont on perçoit les nombres).

Avoir autant de pages là dessus montre bien qu'il peut y avoir des problèmes ;).

Citation:

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il faudrait une petite intervention de PRomu@ld pour réendormir le thread pendant un mois ou 2...

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Oui, la dernière fois, ça avait endormi le thread, car en fait je trouvais que ça partait dans un peu toutes les directions (mais de plus en plus loin de la question originale).

Force est de constater qu'il y a maintenant 24 pages et il n'est pas facile pour un nouveau de s'immiscer dans la discussion sans en lire toutes les pages et d'y trouver l'information pertinente pour sa méthode de raisonnement.

Ce qui serait bien, c'est qu'on puisse faire un résumé de la discussion en y apportant les diverses méthodes pour arriver au résultat (ou pour le comprendre) et regrouper ça dans un seul thread afin que les nouveaux où ceux qui sont intéressés puissent lire l'essentiel sans y passer énormément de temps.

Allez, je ramasse les copies la semaine prochaine :aie:

il semble que wikipedia ne soit pas d'accord
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_continue

je cite

La dernière phrase signifie que 0.9999999... n'est pas la représentation décimale de 1 (dont la seule représentation décimale est 1.0000...)

Citation:

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Envoyé par random

il semble que wikipedia ne soit pas d'accord
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_continue

je cite

La dernière phrase signifie que 0.9999999... n'est pas la représentation décimale de 1 (dont la seule représentation décimale est 1.0000...)

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Ca c'est sur... Par définition de la représentation n-aire, la suite des valeurs ne doit pas se terminer par une infinité de (n-1). Mais c'est seulement "par définition". Ca n'empeche pas les deux suites (convergente et stationnaire) d'exister, et de représenter le meme nombre réel.

Ce qui est le plus souvent occulté dans ce fil, c'est la définition des réels:
On peut les construire de différentes méthodes
Coupures de Dedekind
Suites de Cauchy
Développements décimaux.
J'en oublie, c'est sûr. On peut certainement parler de complété de Q en topologie etc.. etc...
Aussi selon la méthode utilisée, le thème du débat 1.0000=0.999999
peut être un postulat, un théorème ou bien n'avoir aucun sens.
Et encore, il y a des variantes ...
la méthode de construction des réels avec les développements décimaux illimités, peut être faite en refusant les ddi 'impropres' style 0.99999..., ce qui donne du sens au posts précédents (0.9999 n'a pas de sens), mais elle peut être aussi faite au moyen de classes d'équivalence de ddi auquel cas
0.99999=1.0000 est un postulat.
Donc, les participants ne parlent pas de la même chose; ils ont, dans le meilleur des cas, une 'vision' de R établie sur une construction qu'ils ont adoptée parce qu'à un certain moment ils ont eu un prof de maths persuasif. Ils s'engagent donc en fonction de cette 'unique' et réductrice vision.
Le mérite de ce thread est de montrer la difficulté réelle de la construction et de la conception des réels, et l'impossibilité de les modéliser sur un ordinateur.

Sans utiliser des notions de maths complexes. Je vois un argument qui n'est pas une demonstration rigoureuse mais qui peut aider à comprendre.

Si 0.9999999... n'était pas égal à 1, alors on devrait pouvoir trouver un autre nombre X tel que : 0.9999999.... < X < 1. Or, ce n'est pas possible.

Déjà donné !

Citation:

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Envoyé par page 9 PRomu@ld

pour montrer que deux nombres sont différents, il suffit d'en trouver un qui est entre les deux.

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pour cela il faudrait que 0.999.. soit un nombre

Citation:

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Envoyé par random

pour cela il faudrait que 0.999.. soit un nombre

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Et c'est quoi, une grenouille à grande bouche ?

On défini la notation 0,9999... comme étant un racourci, un alias, une notation pour la limite de la série
S = \Sum_{i=1}^{+\infty} 9 * 10 ^{-k} (pour ceux non habitué à la notation, c'est la somme de i égal 1 à l'infini de 9* (1/(10 ^k)) )

On montre trivialement que cette série est absolument sommable puisque tous les termes sont positifs et que les sommes partielles sont majorées par 1. Donc la définition est valable

On montre facilement que la limite (qui est définie, par théorème ) est exactement 1, par exemple en constatant que la différence 1 - S_n où S_n est la n-ième somme partielle vaut 10 ^{-n}, et que donc pour tout p > n, |1 - S_p| < 10 ^{-n}. Donc la limite des S_n, qui est par théorème la somme de la série S, vaut 1. Donc 0,999... = 1.

Et puis bah... fin du débat hein :-)

Je voudrais répondre à Mixermode.

Lorsque j'ai dit "la véracité de l'égalité 0,99999...=1 n'est plus à démontrer. Cette vérité est immuable et non discutable.", j'ai juste voulu faire comprendre que je ne voyais pas ce qu'il y avait à démontrer de plus... En effet, l'utilisation d'une suite géométrique suffit (niveau lycée je te ferai remarquer et relis le poste de alex_pi). On peut aussi utiliser la construction des nombres réels (voir le remarque de Tesla ... essaie de trouver un réel intermédiaire, à moins que tu crois R discret !).

Et que l'on définisse R par l'ensemble des coupures de Dedekind (intuition géométrique du continu) ou par l'unique corps totalement ordonné archimédien (définition axiomatique des réels) ou même la construction de Von Neumann/Conway (définition ensembliste de R), cela n'y changera rien. Et encore heureusement voyons ! La rigueur est reine en Mathématiques. On se croirait revenu à l'époque de Pythagore...

Si tu n'as pas les bases mathématiques pour comprendre, arrêtes de vouloir faire croire qu'il s'agit d'un postulat. Là tu essaies de remettre en cause toute l'analyse mathématique.

Quant à mon algorithme je n'ai jamais dit le contraire... il dépend évidemment bien de tout ce que tu cites.

Si tu ne sais pas non plus calculer une simple intégrale impropre classique (celle que j'ai donné diverge), arrête les maths toute suite.

C'est effarant de voir ça de la part d'un informaticien. Laissez les maths à ceux qui savent en faire.

Si 1 = 0,9999 ... alors quand j'achète mon pain à 1 euro je me fais avoir ! Elle doit me rendre 0,00000....1 € de monnaie...

Citation:

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Envoyé par fnnyaert

Si 1 = 0,9999 ... alors quand j'achète mon pain à 1 euro je me fais avoir ! Elle doit me rendre 0,00000....1 € de monnaie...

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Cette erreur a déjà été montrée du doigt. Le problème avec la notation 0.00...1 c'est qu'elle a une fin (...1 (et rien après)) ! Ce qui n'est pas le cas de 0.999...

Citation:

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Envoyé par fnnyaert

... Arrête les fautes ;)

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Citation:

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Envoyé par fnnyaert

Si 1 = 0,9999 ... alors quand j'achète mon pain à 1 euro je me fais avoir ! Elle doit me rendre 0,00000....1 € de monnaie...

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Arrête les erreurs grossières de raisonement déjà explicitées 15 000 fois dans ce thread.

Citation:

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Envoyé par alex_pi

Tout d'abord, je voulais dire que la personne qui a fait ressortir ce thread des profondeurs du forum "Maths" a droit à tout mon mépris ;) ! Je viens de perdre deux heures à (presque) tout lire à cause de lui. Ca devrait être interdit ! D'ailleurs, le fil aurait sans doute plus sa place dans la Taverne...

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Merci :)
Coupable votre Honneur (avec une grande Hache, comme dirait G.Perec)
Mais cela fait longtemps que j'ai été "converti de force" (vers le msg 160) :mouarf:

J'avais juste une vérif. subsidiaire...

Si les nombres A et B sont objets/élements de R, alors ils sont distincts à priori.
A et B ne peuvent être non-distincts que si on décide de poser en corollaire que "A" et "B" sont deux écritures représentant le même nombre, c.a.d. "A"="B".

Par inférence, "0,999..." est une autre écriture de "1".

Citation:

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Envoyé par Kevinas

..j'ai juste voulu faire comprendre que je ne voyais pas ce qu'il y avait à démontrer de plus...

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Rien à démontrer puisque c'est à priori une question de définition, comme déjà plusieurs fois énoncé par mes Maîtres ;)

D'après le "bidule" en haut, il n'y a rien à "calculer". Ni avec Neumann, ni avec Goldbach ni en utilisant des quenines.
Par contre, on peut vérifier que l'"égalité à priori" n'est pas en opposition avec le reste de toutes les maths que tu souhaites... :)

Mais bon, je l'avoue, je joue avec les "mots" (non-distincts, calcule, vérification, à priori ...) et les maths n'ont pas besoin de mots ni de philosophie, pas vrai ? :bug:

-- edit --
j'ai corrigé l'énoncé qui était trop imprécis.
ref: http://cui.unige.ch/db-research/Ense...4/cours_8.html

Citation:

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Envoyé par Mixermode

J'avais juste une vérif. subsidiaire...

Si A et B, identifiants, sont éléments de R, alors ils sont distincts par principe.
A et B ne peuvent être non-distincts que si de plus on décide de poser en corollaire immédiat que "A" et "B" sont deux formes représentant la même chose, c.a.d. "A=B"

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Ca sort d'ou cette définition des "identifiants" de R qui sont "distincts par principe" ?

Perso, je ne connais que 2 methodes pour contruire R:
- les coupures de Dedekind
- les suites de Cauchy

Les coupures de Dedekind de sont pas tres pratique pour faire des demonstrations algebriques, donc je me contente des suites de Cauchy :P

Le "développement décimal" n'est que l'ecriture d'une (et une seule) suite de cauchy. Pour comparer deux "développement décimaux" {U} et {V} , il faut donc comparer les deux suites de cauchy Un et Vn. On pose la relation d'equivalence (entre 2 suites) suivante:

Si lim(n->oo) Un-Vn = 0, alors les deux suites sont equivalentes (cf. lien wikipedia pour le demonstration de la relation d'equivalence)

Et si deux suites sont equivalentes, elles contruisent le meme element de R.

C'est exactement les cas pour les deux "développement décimaux" U={1.0000...} et V={0.9999...}. Les deux suites Un et Vn sont des suites de cauchy (trivial). Leur difference tend vers 0 quand n tend vers l'infini (trivial). Donc par définition, elles sont equivalentes et contruisent le meme element de R. Maintenant, vous pouvez appeler cet element comme vous voulez, vous pouvez le représenter comme vous voulez: c'est toujours le meme.

source: http://fr.wikipedia.org/wiki/Constru..._nombres_réels