Excellent !!!Citation:
Envoyé par pseudocode
:mouarf3:
Le problême, c'est que A n'est pas un nombre puisqu'il tend vers +infini, et infini-2*infini=ce que tu veux...
Mais c'est sympa ce genre de ...je ne sais quoi :king:
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Excellent !!!Citation:
Envoyé par pseudocode
:mouarf3:
Le problême, c'est que A n'est pas un nombre puisqu'il tend vers +infini, et infini-2*infini=ce que tu veux...
Mais c'est sympa ce genre de ...je ne sais quoi :king:
[jetons de l'huile sur le feu]:evilred:
ce n’est pas de l’huile que tu as jeté c’est de l’eau +(l’infinie )-(l’infinie ) c’est une forme indéterminé:D
hé hé... Sauf que le probleme ne vient pas de "l'infini". le VRAI probleme c'est que la suite ne converge pas.
Exemple avec une suite bornée:
S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +...
regroupement 1: S = (1-1) + (1-1) + (1-1) + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0
regroupement 2: S = 1 - (1-1) - (1-1) - (1-1) - ... = 1 - 0 - 0 - ... = 1
Avec les suites convergentes et les regroupements il y a aussi des trucs marrants:
Une suite convergente et non absolument convergente (par exemple harmonique alternée) peut être réarrangée pour converger vers n'importe quelle limite donnée à l'avance ou tendre vers un infini.
Je ne suis absolument pas un expert, mais pour pouvoir réanger, ne faut t'il pas prendre certaines précautions ?
De plus, travailler sur la notation ... ne me semble pas judicieux, et le problème vient peut-être de là.
Non. Le probleme vient que, dans un ensemble infini, le cardinal et l'ordinal ne sont pas des grandeurs equivalentes (dixit cantor) alors qu'elles le sont dans un ensemble fini.
On peut avoir une petite explication siouplait ?Citation:
Envoyé par pseudocode
Ouffff... comme ca en quelques mots ? arg !!Citation:
Envoyé par Zavonen
Heu, et bien disons que l'ordinal c'est l'indice d'un element dans une liste, alors que le cardinal c'est le nombre total d'elements dans la liste.
D'ou une difference pour les suites infinies:
Suite: N = 1,2,3,4,5,...
Cardinal: Aleph0
Ordinal du dernier element: Omega
Suite: N' = 1,1,2,2,3,3,4,4,...
Cardinal: Aleph0
Ordinal du dernier element: 2*Omega
OK, compris.
Mais le cardinal est défini (en très gros) comme une classe d'équivalence d'ensembles en bijection, comment est défini l'ordinal ?
Je m'explique, prenons l'énumération diagonale qui permet de démontrer que NxN est dénombrable, nous associons à tout couple un ordinal (son rang dans la suite) dans le cas l'ordinal du dernier élément est Nu (le dénombrable)
Il est clair qu'il existe d'autres manières de les lister, alors l'ordinal de NxN c'est quoi en définitive ?
Car enfin la citation de Cantor fait référence au cardinal et à l'ordinal d'un ensemble(enfin il semble d'après le texte) - (By the way je ne connais pas cet ennoncé)Citation:
dans un ensemble infini, le cardinal et l'ordinal ne sont pas
"l'ordinal d'un ensemble" (tout seul), ca ne veut pas dire grand chose. Mais on considere que ca signifie "l'ordinal du dernier element d'un ensemble". Pour NxN c'est omega².Citation:
Envoyé par Zavonen
Il me semblait que ca depend de la maniere dont tu enumeres l'ensemble. Ca peut donc aussi etre omega.Citation:
Envoyé par pseudocode
Oui, tout a fait. L'ordinal est lié à l'ordre d'enumeration. Je me suis un peu embalé en donnant omega² comme unique valeur. :oops:Citation:
Envoyé par Jean-Marc.Bourguet
C'est d'ailleur de la que vient "l'erreur" dans le calcul de S=1-1+1-1+...
Comme quoi on peut se faire prendre a son propre piege ! :aie:
Mesdames, messieurs,
J'ai l'impression que tout le sujet commence à partir un petit peu dans tous les sens, j'aimerai qu'on évite de polluer ce thread.
Quand bien même l'information serait intéressante et passionnante, si elle ne rentre pas directement en rapport avec le sujet principal, elle n'a rien à faire ici.
De plus, bon nombre de démonstrations ont été données pour répondre à la problématique. Si vous avez une démonstration différente de celles qui ont été donné alors elle est la bienvenue, sinon elle n'a pas lui d'être.
Si vous voulez parler de tous ces sujets, ouvrez d'autres threads.
Merci de votre compréhension.
Bein alors il faut fermer ce thread, ça serait plus simple.
Non, si quelqu'un a une solution qui n'a pas été proposée, ça ne pose pas de problème, tout le monde à le droit d'apporter sa contribution, si tant est que la contribution est nouvelle. (et éviter les 10X - X = ... )
Bon: 0,999...=1 !
Alors ... :)
Jai une petite problème de détail.
Je m'explique:
- on sait que 0,999... est un nombre faisant parti de l'ensemble des nombres rationnels.
- on sait que 1 est un nombre faisant parti de l'ensemble des nombres rationnels.
- on sait qu'un ensemble est une collection d'objets distincts, non ordonnés. Les objets qui forment un ensemble sont appelés ses éléments. Étant donné un objet quelconque, il est soit élément de l'ensemble soit non élément.
- on sait que la définition d' "ensemble" est prémisse à la définition de "R".
Développement de l'idée:
soit l'égalité plus haut, alors on peut dire que 0,999... est 1 c.à.d. que 0,999... est simplement une autre écriture (une sorte d'étiquette) de 1 et l'égalité est un postulat "inattaquable". On aurait pu aussi prendre (hypothétiquement) une autre étiquette (bien que pas très pratique pour le calcul) telle que par ex. "®" et on aurait alors "®=1", ce qui serait le même postulat.
Si ce "0,999... est 1, écrit autrement" n'était pas correct c.à.d. si "0,999... n'est pas 1 " (mais reste égal à 1) et comme tous deux sont éléments de R, alors 0,999... serait distinct de 1 (du fait de la définition des ensembles) ce qui ne collerait pas avec l'équation de départ.
si je ne me suis pas planté jusque-là, alors
n'a absolument aucun sens, ainsi que tous les calculs de démonstration précédents: on ne démontre pas un postulat, on l'admet, le prend comme tel !Code:
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Ce qui n'empêche pas que 0,999...=1 :)
p.s.:
si 0,999...=1 n'est pas un postulat mais est qqd même vrai, alors on a comme base de départ de toute la démonstration 2 nombres=symbols distincts en relation l'un avec l'autre: 0,999... "?" 1 avec "?" à établir/définir/vérifier.
Ils sont distincts puisqu'ils sont 2 nombres différents (au minimum en ce qui concerne leur écriture, et c'est la raison de la démonstration) appartenant au même ensemble.
Mais si ils sont ditincts alors il ne peuvent être égaux () et étant inégaux, l'équation serait à jeter ... cercle vicieux assuré.
Donc 0,999...=1 est un postulat et ne se démontre pas ;)
Non il ne s'agit pas ici d'étiquettes, il s'agit de représentation par une opération à faire (ici somme d'une série convergente)Citation:
Développement de l'idée:
soit l'égalité plus haut, alors on peut dire que 0,999... est 1 c.à.d. que 0,999... est simplement une autre écriture (une sorte d'étiquette) de 1 et l'égalité est un postulat "inattaquable". On aurait pu aussi prendre (hypothétiquement) une autre étiquette (bien que pas très pratique pour le calcul) telle que par ex. "®" et on aurait alors "®=1", ce qui serait le même postulat.
l'écriture:
1 = 0.99999999
est à ranger dans le même sac que
1 = 1/2 + 1/2
il s'agit dans le premier cas d'une somme infinie série
dans le second d'une somme finie
hum... je ne sais pas.Citation:
Envoyé par Zavonen
Je pense qu'on melange ici deux approches mathématiques:
L'approche "ensembliste", dans laquelle l'element ® est unique et admet plusieurs ecritures (ou etiquettes).
L'approche "analytique", dans laquelle 0.9999... et 1 sont deux séries differentes, l'une convergente et l'autre stationnaire.
C'est bien là que je voulais en venir :)Citation:
Envoyé par pseudocode
=> Suivant cette approche "ensembliste", l'équation de départ ne peut être autre chose qu'un postulat.
Une question:
est-ce que ce "postulat" pour un "ensembliste", peut être autre chose qu'un postulat pour un "analyste"?
Et pour d'autres postulats?
J'ai été étudiant en Mathématiques et je me permets d'intervenir pour corriger ou apporter ma contribution sur quelques points que j'ai pu lire sur ce forum.
Tout d'abord j'ai lu que pour définir la notion de limite il fallait se situer dans un espace métrique. Ceci n'est pas correct. En effet, la notion de limite est définie dés lors que l'on travaille dans un espace topologique. La notion de voisinage permet de donner une définition générale à la limite d'une application. Un espace métrique n'est qu'un cas particulier d'espace topologique. Dans ce cas, sa métrique (distance) permet de définir la notion de voisinage.
Ensuite, même pour ceux qui en doute toujours, la véracité de l'égalité 0,99999...=1 n'est plus à démontrer. Cette vérité est immuable et non discutable. Au lycée, cette égalité se montre effectivement à l'aide d'une suite géométrique. Autant dire qu'il ne faut pas de gros outils mathématiques pour le justifer ! Elle a permis de constater deux confusions fréquentes :
- suite et limite : Une limite est un élément d'un espace topologique alors que la suite est une famille (finie ou infinie) d'éléments de ce même espace topologique. Une suite est définie en général par une relation de récurrence permettant de déterminer les termes la constituant.
- représentation d'un nombre : la notation "..." peut être sujet à discussion mais dans ce contexte précis elle a bien été définie. Elle est de plus utilisée fréquemment même si on peut lui préférer la notation où l'on souligne la partie répétitive du développement décimal.
Sans passer par l'abstraction, il est difficile pour l'esprit d'appréhender l'infini. Et c'est ce qui est intéressant en mathématiques. A l'aide d'outils abstraits, on aboutit à des résultats concrets et même parfois sans ces outils abstraits on ne pourrait obtenir le résultat escompté.
Je donne, pour le plaisir, deux exemples surprenants. Un pour les informaticiens et un pour les matheux...
- Voici un algorithme particulier écrit en Pascal :
Function Spy : INTEGER;
VAR A, B : REAL;
BEGIN
A := 1.0;
B := 1.0;
WHILE ((A + 1.0) - A) - 1.0 = 0.0 DO
A := 2.0*A;
WHILE ((A + B) - A) - B <> 0.0 DO
B := B + 1.0;
Spy := Round(B)
END;
Il est composé de deux boucles aux propriétes surprenantes : théoriquement, on ne sort jamais de la première, et on entre jamais dans la seconde... et pourtant il tourne ! Il calcule la base de numération utilisée de façon interne pour effectuer les calculs en virgule flottante. Il ne faut effectivement pas oublier qu'en informatique l'ensemble des nombres utilisés en virgule flottante est discret. On les appelles d'ailleurs flottants ... tout nombre réel par exemple compris entre 0 et 1 n'est pas représentable, on ne fait que manipuler des arrondis appartenant à cet espace discret.
- Maintenant un exemple simple sorti du livre "A la poursuite de PI" de J. Arndt et C. Guénard. On prend une courbe simple, l'hyperbole d'équation y=1/x. On considère la portion de cette courbe correspondant à x dans [1, +Infini[. Si l'on fait "tourner" cette partie de l'hyperbole autour de l'axe des abscisses, on obtient une surface en forme d'entonnoir infini. On note, s'ils sont définis, V le volume et A l'aire de cet entonnoir.
V = Intégrale sur [1, +Infini[ de l'application f définie par f(x)=PI/(x*x) = PI
A = Intégrale sur [1, +Infini[ de l'application g définie par g(x)=2*PI/x = N'EXISTE PAS
On vient donc de construire un entonnoir de volume fini et de surface infinie.
Autrement dit, on peut le remplir, mais pas le peindre !
J'espère ne pas avoir été trop long et avoir apporté un peu de matière à réflexion ...