0,9999 = 1 ?

Citation:

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Envoyé par pseudocode

non, pas indéfiniement: jusqu'a P(infini).

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T'es en train de dire que tu es capable de dire quel est le résultat d'un programme qui ne termine pas ?

Citation:

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Envoyé par jobherzt

en gros, ce que tu refuses, c'est que 0.999.... soit une maniere d'ecrire la limite de la suite considérée. ce n'est pas le prgramme, c'est la limite. et puisque tu admet toi meme que ca a un sens de parler de la limite, que cette limite vaut 1, alors 0.9999... c'est 1.

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Si tu veux une autre façon de voir mon souci, c'est que quand j'écris 0.999... j'ai la sensation de faire une faute d'orthographe, si tu veux.

Assurément, un "lapain" n'est pas égal à un "lapin".
"lapain", ça n'existe pas (il me semble du moins... je vais pas m'amuser à vérifier, c'est juste pour l'analogie de toute façon).

Alors, à côté de ça, 3.141592... n'est pas égal à pi, ça veut pas dire que pi n'existe pas. Simplement, 3.141592... c'est au mieux une "faute d'orthographe", un abus de langage, comme je disais plus haut.

Citation:

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Envoyé par davcha

T'es en train de dire que tu es capable de dire quel est le résultat d'un programme qui ne termine pas ?

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oui. C'est ma grande superiorité sur la machine :mrgreen:

Code:

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1 2 3 4 5 6

n=100 while(true) { n=n/2; } print(n);

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résultat: 0

Citation:

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Envoyé par pseudocode

oui. C'est ma grande superiorité sur la machine :mrgreen:

Code:

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1 2 3 4 5 6

n=100 while(true) { n=n/2; } print(n);

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résultat: 0

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nan, ça compile pas, il manque un point virgule ;)

Citation:

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Envoyé par davcha

nan, ça compile pas, il manque un point virgule ;)

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il manque bien plus que ca. :aie:

Mais l'idée c'etait de dire que l'être humain peut calculer des limites de suite sans pour autant avoir a faire une infinité d'opérations. C'est justement la force des mathématiques par rapport a l'arithmetique.

Citation:

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Envoyé par davcha

Alors, à côté de ça, 3.141592... n'est pas égal à pi, ça veut pas dire que pi n'existe pas. Simplement, 3.141592... c'est au mieux une "faute d'orthographe", un abus de langage, comme je disais plus haut.

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encore une fois, tu focalises sur l'ecriture au sens "avec nos petits doigts sur un papier". or il s'agit de notion plus abstraites.

quand je parle de Pi, c'est pour insister sur le fait qu'il n'est pas "en construction", Pi n'est pas un mouvement ni un programme, c'est un nombre. un nombre qu'on ne peut pas ecrire exactement sur une feuille de papier, mais un nombre malgré tout.

de la meme maniere, 0.999.. est un nombre, cette ecriture ne tiens pas sur une feuille de papier parce que c'est une "mauvaise maniere" d'ecrire le nombre qu'elle represente. pour Pi on n'a pas le choix : on peut tourner le probleme dans tous les sens, on ne peut pas couper a l'infinité de decimales. Pour 1, on a le choix.

si on le voit comme un entier, alors c'est 1, point.

si on le voit comme un reel, alors il "represente" toutes les suite de rationnel qui converge vers lui. et cette definition entraine une ecriture "impropre" de 1, qui decoule de la suite qu'on a moult fois definie . donc evidemment, on ne vas pas s'amuser a prendre cette ecriture affreuse. mais elle n'est pas pure invention, elle surgit de maniere naturelle, et elle correspond a un probleme, un effet parasite, si tu veux.

Le plus marrant dans tout ça, c'est que dans le fond on est d'accord en réalité.

Mais, il y a tout de même un point sur lequel on est pas d'accord, et là je signe et persiste : si on parle de limite, dans ce cas on a bien égalité, si on ne parle plus de limite, il n'y a plus égalité.

Pour reprendre ton exemple pseudocode :

Code:

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1 2 3 4 5

n=100 while(true){ n=n/2 } print(n)

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Là dessus tu dis : "résultat: 0".
Moi, j'affirme : boucle infinie, pas de résultat.

Alors en définitive, on a tous les deux "raison", tout dépend du point de vue.

En ce qui me concerne : "résultat: 0" devient vrai quand on a ce programme-ci :

Code:

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1 2 3 4 5 6 7

n=100 m=indéfini while(n != m){ m=n n=n/2 } print(n)

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Dans ce cas, oui, "résultat: 0", on est d'accord.

De la même manière, vous affirmez que 0.9999... = 1, parce que vous imaginez 0.999... avec une "infinité de 9 derrière", et pour obtenir cette infinité, vous allez même jusqu'à parler d'infini actuel, c'est à dire un infini qu'on peut atteindre. (je me rappelle du "il y a exactement une infinité" aussi :p)

Alors, oui, pourquoi pas, admettons. Mais tant qu'on ne parle pas de limite, ça n'est pas une preuve.

mais le probleme c'est qu'une limite est un nombre, donc oui, on parle de limite, mais ce faisant on parle bien d'un nombre. donc encore et toujours 0.99999.... est la limite.

donc on peut atteindre l'infini, en ce sens qu'on a une suite qui tend vers 1, donc 1 est "infiniment loin", a l'autre bout de cette suite, cette suite ne l'atteindra jamais, et pourtant 1 on peut bien le prendre.

donc le debut et la fin se contredisent : si on s'autorise a parler de limite comme etant un nombre, alors on s'autorise a parler d'un nombre avec une infinité de decimales. c'est toi qui veut qu'on parle de limite, et pourtant tu melange toujours la suite avec sa limite.

au fond, ca n'est qu'une variante du paradoxe de zenon : une fleche doit parcourir 90% de la distance qui la separe de la cible, puis 90% de la distance qui reste, et ainsi de suite. donc si d est la distance jusqu'a la cible, elle parcourt 0.9*d, puis 0.99*d, puis 0.999*d ... donc on a bien la meme suite que nous. et pourtant, la fleche atteint sa cible... a l'infini.

Je pensais ne pas avoir à revenir sur ce roman fleuve où tout a été dit depuis le début, mais il faut bien apporter mon soutien à Jobherzt qui ne dit que des choses censées, parfois seul contre tous.

Citation:

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non, pas indéfiniement: jusqu'a P(infini).

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Désolé Pseudocode (j'apprécie le plus souvent vos interventions) mais là je ne suis pas d'accord.
infini comme achèvement de la suite 1,2, ...., n n'a aucun sens mathématique (disons plutôt analytique). Il n'y a pas de convergence, ce n'est pas une suite de Cauchy
Il est possible de rajouter un élément (ou deux ) infinis à R de plusieurs manières (compactification, doite réelle achevée, droite projective, etc...), mais passer par R est important, il n'existe aucune méthode rationnelle de rajouter un élément 'infini' à un ensemble discret. Où plutôt la seule manière consisterait à prendre l'ensemble des cardinaux finis (N) et d'y adjoindre le plus petit cardinal infini (le dénombrable), mais je ne vois pas en quoi cette construction éclairerai NOTRE problème (bien que cela puisse en éclairer d'AUTRES)
Pour avoir un point de vue sur la question, il faut:
Connaître l'ensemble R et ses propriétés (donc une construction classique...). Ca c'est déjà pas rien. Si vous avez survécu à la méthode des suites de Cauchy vous avez une robuste santé. Moi j'ai eu droit aux coupures de Dedekind. A l'époque j'avais tout à fait l'impression qu'on sodomisait les mouches... Ce n'est que plus tard que j'ai compris l'importance d'une construction.
Connaître également la définition d'une suite convergente, donc la topologie d'espace métrique de R induite par la distance usuelle.
Connaître le définition et les propriétés des 'séries' qui sont des suites particulières convergentes ou non formées par addition de termes d'autres suites.
Quand on connait tout ça, on peut convenir que
0.999999..... a un sens et que c'est la limite d'une série géométrique dont on sait démontrer qu'elle converge et dont on connait la limite (1).
A ce moment là seulement l'égalité 0.9999...=1 prend tout son sens et est une EVIDENCE.
S'il vous manque une étape dans le prérequis, vous aurez toujours l'impression d'une arnaque, d'un subterfuge.
Merci à Jobherzt d'avoir crié haut et fort que l'entité 0.99999... n'a rien à voir avec l'algo, que ce n'est pas un programme, c'est un nombre réel que l'on note plus simplement 1 et c'est tout.
Merci Jobherzt d'avoir dit que pour être incalculables, racine de 2 et pi, n'en sont pas moins des entités existantes dans la construction de R. On doit se contenter, en pratique, d'approximations rationelles, même décimales, bref d'ordres de grandeur et c'est tout! De toutes façons avec des ordinateurs vous ne ferez jamais que des calculs dans des ensembles discrets, des maths finies !!! On ne peut pas approcher la complexité de R avec un computer, mais l'esprit humain a su faire des représentations satisfaitantes et traite des monstres comme pi, comme des objets familiers. cest pourquoi l'algo reste une approche faible, pour ne pas dire ridicule de l'analyse mathématique.

Citation:

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Envoyé par Zavonen

Merci Jobherzt d'avoir dit que pour être incalculables, racine de 2 et pi, n'en sont pas moins des entités existantes dans la construction de R.

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attntion, Pi et racine de 2 sont calculables, justement :) ce qui n'est pas le cas de la constante omega de chaitin, par exemple. a part ca je suis d'accord avec le fait que tu sois d'accord avec moi ;)

Citation:

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Envoyé par jobherzt

attention, Pi et racine de 2 sont calculables, justement :) ce qui n'est pas le cas de la constante omega de chaitin, par exemple. a part ca je suis d'accord avec le fait que tu sois d'accord avec moi ;)

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Bon, moi là je décroche, la constante omega de chaitin, je ne sais pas ce que c'est.
Par incalculable j'ai voulu dire, il n'est pas possible de connaître TOUTES les décimales, d'en donner une description récurrente, on peut simplement connaître autant de décimales qu'on veut pourvu qu'on ait le temps, le mathos et un algo performant. Pi est inatteignable dans sa GLOBALITE.
Je complète, pour moi CONNAITRE pi ca veut dire cela.
Dites moi un nombre aussi grand que vous voulez et je vous donnerai instantanément la décimale correspondante. On ne connait pas pi, un milion, un milliard de décimales chaque fois c'est un nouveau défi, il faut trouver un nouveau CRAY, un nouvel algo et une équipe de programmeurs fous voulant avoir leur nom dans le Guiness.

Citation:

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Dites moi un nombre aussi grand que vous voulez et je vous donnerai instantanément la décimale correspondante. On ne connait pas pi, un milion, un milliard de décimales chaque fois c'est un nouveau défi, il faut trouver un nouveau CRAY, un nouvel algo et une équipe de programmeurs fous voulant avoir leur nom dans le Guiness.

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Si j'en suis ta définition, alors OUI, pi est CONNU :

Simon plouffe a donné une méthode pour calculer la n-ième décimale de Pi :

http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/Simon/articlepi.html

Citation:

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Envoyé par Zavonen

Bon, moi là je décroche, la constante omega de chaitin, je ne sais pas ce que c'est.
Par incalculable j'ai voulu dire, il n'est pas possible de connaître TOUTES les décimales, d'en donner une description récurrente, on peut simplement connaître autant de décimales qu'on veut pourvu qu'on ait le temps, le mathos et un algo performant. Pi est inatteignable dans sa GLOBALITE.
Je complète, pour moi CONNAITRE pi ca veut dire cela.
Dites moi un nombre aussi grand que vous voulez et je vous donnerai instantanément la décimale correspondante. On ne connait pas pi, un milion, un milliard de décimales chaque fois c'est un nouveau défi, il faut trouver un nouveau CRAY, un nouvel algo et une équipe de programmeurs fous voulant avoir leur nom dans le Guiness.

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c'est bien pour ca qu'on dit que pi est calculable.. pour la majorité des reels il n'existe pas d'algorithme qui permet de calculer leurs decimales..

Citation:

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Envoyé par davcha

En gros, vous avez un programme de ce genre :

P(k) = 0.9 * 1/(10^k) + P(k+1)

Et votre 0.999999.... c'est P(0)
Le problème, c'est que quand vous calculez P(0), vous devez calculer P(1) et pour avoir P(1) vous devez calculer P(2), et ainsi de suite, indéfiniement.

Donc "au final", tout ce que vous obtenez, au mieux, c'est une somme entre un nombre et le résultat d'un programme, du genre : 0.9999...m-9-au-total....9 + P(m)

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Bon, je vais essayer de t'amener une vision différente que les autres n'ont pas cités. D'ailleurs, je pensais que Zavonen allait en parler mais il ne l'a pas fait.

On peut utiliser ce qu'on appelle le théorème de point fixe qui est valable pour une application de f:F->F ou F est inclu dans un espace vectoriel normé complet E (E est complète si et seulement si toute suite de Cauchy d'éléments de E converge vers E).

Si la fonction f est contractante, alors f admet un point fixe et un seul pour tout a de F, la suite (un) définie par :
u0 = a,
pour tout entier naturel n, u(n+1) = f(un) converge vers le point fixe de f.

Ce n'est pas parce qu'algorithmiquement il est nécessaire d'avoir un calcul à l'infini que ce problème n'admet pas de solution !

Il est tout à fait possibler d'utiliser ce théorème dans ce cas.

L'informatique est beaucoup plus limité que les mathématiques (voir comme je l'ai dit la formalisation de la notion d'algorithme par les machines de Turing ou le lambda-calcul). Rien qu'utiliser un réel quelconque est impossible car nécessite une infinité de nombre pour le représenter, donc nécessite un temps infini, donc le problème est indécidable à coup sûr).
A part quel que cas connu tel que pi ou racine de 2, la probabilité de choisir un réel (par exemple dans [0,1]) qui soit une combinaison finie de fonction et de réel que l'on connait est nul (donc qui admet une représentation finie pour nous humains). Donc les problèmes où il est nécessaire de prendre un réel quelconque est à coup sûr indécidable.

Personnellement, je vois surtout le problèm de davcha qui persiste à parler informatique, alors qu'on parle de mathématiques. Sur le point de 0.999... = 1, ça ne se résoud pas informatiquement, et c'est tout. Donc pour savoir si c'est vrai, on se place dans un formalisme mathématique et on voit que c'est vrai. Fin de la discussion.

Citation:

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Envoyé par Zavonen

Désolé Pseudocode (j'apprécie le plus souvent vos interventions) mais là je ne suis pas d'accord.
infini comme achèvement de la suite 1,2, ...., n n'a aucun sens mathématique (disons plutôt analytique). Il n'y a pas de convergence, ce n'est pas une suite de Cauchy

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C'est vrai que j'ai un peu louché du coté de "|R barre". Mais le fait de considerer l'infini comme un element de l'ensemble |R permet d'avoir une approche plus arithmetique du calcul infinitesimal.

Ainsi, la limite de NOTRE suite n'est plus "la plus petite valeur qui ne sera jamais atteinte" (borne sup) mais une valeur qui est atteinte quand k vaut "infini".

On peut alors avoir une approche un peu plus algorithmique en considerant une projection de |R vers les "double, float, int". L'infini de |R devient Double.MAX_VALUE.

Dans ce cas, on peut "projeter" le calcul de limite de suite vers un programme:

Code:

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1 2 3

limite Somme[ 0.9 * 1/10^i ] n=+oo i=0...n

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Code:

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1 2 3 4 5 6

double sum=0; for(int n=0;n<Integer.MAX_VALUE;n++) { sum += 0.9/Math.pow(10,n); } double limite=sum;

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Enfin bon. C'est tiré par les cheveux...

Citation:

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Envoyé par millie

L'informatique est beaucoup plus limité que les mathématiques (voir comme je l'ai dit la formalisation de la notion d'algorithme par les machines de Turing ou le lambda-calcul).

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C'est déjà plus intéressant ça je trouve. Je sors un peu du cadre de la discussion, mais bon, comme on parlait d'algorithme qui termine/qui termine pas...

Il n'existe pas d'algorithme qui soit capable de déterminer si un algorithme quelconque termine ou non, on est bien d'accord ?

Est-il possible de le déterminer mathématiquement ?


(je lâche l'affaire sur 0.999... = 1 puisqu'en définitive, on est tous d'accord, mis à part sur le fait que j'accorde une certaine importance au fait de ne pas oublier de parler de limite)

Citation:

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Envoyé par davcha

Il n'existe pas d'algorithme qui soit capable de déterminer si un algorithme quelconque termine ou non, on est bien d'accord ?

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Certains terminaisons peuvent se démontrer. en revanche, pour des algos de type Las Vegas - que millie affectionne particulièrement -, leur temps d'exécution n'est pas assuré.

Citation:

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Envoyé par davcha

(je lâche l'affaire sur 0.999... = 1 puisqu'en définitive, on est tous d'accord, mis à part sur le fait que j'accorde une certaine importance au fait de ne pas oublier de parler de limite)

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0.999... = 1, c'est clair, la notion de limite est dans les '...'. En revanche, tout le monde est d'accord pour dire que 0.999 != 1.

Citation:

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Envoyé par davcha

Il n'existe pas d'algorithme qui soit capable de déterminer si un algorithme quelconque termine ou non, on est bien d'accord ?

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oui

Citation:

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Est-il possible de le déterminer mathématiquement ?

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helas non :) enfin pas dans le cas general. evidemment que pour un algorithme donné, il est souvent possible de decider sil termine.

mais s'il existait une methode systematique qui marchait pour tout algorithme, ca ferait tomber pas mal de theoremes :)

par exemple, tous les enoncés du genre "il existe une infinité d'entier tels que...." serait resolu en un claquement de doigt : il suffirait de regarder si l'algorithme qui parcourt les entiers et enumere ces entiers se termine ou non.

Citation:

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(je lâche l'affaire sur 0.999... = 1 puisqu'en définitive, on est tous d'accord, mis à part sur le fait que j'accorde une certaine importance au fait de ne pas oublier de parler de limite)

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je sais que tu lache l'affaire.... mais on n'a jamais parlé d'autre chose que de limite. Une (derniere ??) fois 0.99... est la limite. toi tu voudrais qu'on ecrive "lim 0.999...=1", et ca ca n'a pas de sens.

Citation:

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Envoyé par Miles

Certains terminaisons peuvent se démontrer. en revanche, pour des algos de type Las Vegas - que millie affectionne particulièrement -, leur temps d'exécution n'est pas assuré.

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Tu peux développer un peu ?

Citation:

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Envoyé par Miles

0.999... = 1, c'est clair, la notion de limite est dans les '...'. En revanche, tout le monde est d'accord pour dire que 0.999 != 1.

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Oué, en fait, si tu veux, comme je le disais plus haut, c'est juste du chipotage.

Une autre façon de dire ce que je racontais c'est que la limite de la suite qui produit ce nombre : 0.999.... n'est pas égal à 0.999... parce qu'en définitive, quand on aboutit à la limite, quand on "atteint l'infini", comme dirait pseudocode, le nombre ne s'écrit pas 0.999... mais s'écrit 1.

Donc dans le fond on est vraiment d'accord, c'est juste que je chipote sur un détail c'est tout.


En revanche, déterminer mathématiquement si un algorithme termine ou non, ça m'intéresse pas mal ça, si c'est faisable... lol

Citation:

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Envoyé par joberzt

par exemple, tous les enoncés du genre "il existe une infinité d'entier tels que...." serait resolu en un claquement de doigt : il suffirait de regarder si l'algorithme qui parcourt les entiers et enumere ces entiers se termine ou non.

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Pas un super bon exemple ça, parce qu'en définitive, "il existe une infinité d'entiers tels que...", on est capable de faire du calcul formel en informatique hein. ;)