Pi n'existerait il donc pas ?Citation:
Envoyé par davcha
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Pi n'existerait il donc pas ?Citation:
Envoyé par davcha
Bien sûr que si, la preuve tu viens de l'écrire : pi.
Par contre, si tu veux écrire pi sous sa forme décimale, ben ça ne sera qu'une approximation.
C'est con ce que je dis ou bien c'est tellement évident que je suis en train de boxer de l'air ?
c'est marrant, parce qu'on a eu exactement cette conversation 3 pages plus haut.. au passage, ca montre bien que contrairement a ce que certain ont affirmé cette question n'est pas evidente...
desolé de te decevoir, davcha, mais si, on peut.
en maths, on fait la distinction entre l'infini potentiel (ca ne se termine jamais) et l'infini actuel (l'infini "existe").
dans ta tete, l'infini est un processus, quelque chose "en mouvement" qui ne s'arrete pas. tu considere que 0.999.. correspond a une construction qui consiste a ajouter des 9 sans jamais s'arreter. c'est bien ce que tu dis :
dire que c'est un programme, c'est dire que c'est une suite. or il s'agit bien d'un nombre, d'une limite. donc tu confonds bien la suite et sa limite, mais pas pour les raisons "habituelle" : tu les confonds parce que tu n'acceptes pas qu'en mathematique, on peut parler d'infini "achevé", cad que 0.999... n'est pas un processus, c'est un nombre qui a reellement une infinité de chiffre, aussi etrange que ca puisse te paraitre.Citation:
0,999.... c'est un programme qui ne termine jamais, si vous voulez.
cette citation extraite de l'article de wikiedia resume bien la chose :
et pourtant.... 0.999... represente bien un nombre..Citation:
The lower primate in us still resists, saying: .999~ doesn't really represent a number, then, but a process. To find a number we have to halt the process, at which point the .999~ = 1 thing falls apart.
en fait, c'est un peu faux, mais ca n'est pas con.. c'est une notion plus difficile et plus technique qu'elle n'en a l'air. cf mon message precedent.Citation:
Envoyé par davcha
Oué, tu me l'avais balancé aussi il y a quelques mois ton infini actuel, et j'avais à l'époque répondu que je devais pas être un artiste ou quelque chose de ce genre...
Le problème dans ce truc c'est que ton infini actuel, c'est un truc qui n'est même pas accepté par tous les mathématiciens, alors...
Sinon, amusons-nous : écris pi avec toutes ses décimales. Je reviens dans 350 000 ans, ok ? Histoire de te laisser le temps de le trouver ton infini actuel.
tiens donc... tu sors ca d'ou ? on n'est pas allé le chercher juste pour le plaisir. si tu t'arrete a l'infini potentiel, meme la notion de nombre reel part en breche.Citation:
Envoyé par davcha
aucun rapport. dire qu'un objet matematique existe ne veut pas dire qu'on peut l'ecrire. il ne faut pas melanger les symboles et les objets désignés par ces symboles.Citation:
Sinon, amusons-nous : écris pi avec toutes ses décimales. Je reviens dans 350 000 ans, ok ? Histoire de te laisser le temps de le trouver ton infini actuel.
En fait, le développement de Pi, sera bien une approximation, et effectuer la comparaison avec 0,999... n'est pas forcément la même, l'un a une partie décimale périodique et l'autre pas, l'un est un rationnel l'autre ne l'est pas.Citation:
Par contre, si tu veux écrire pi sous sa forme décimale, ben ça ne sera qu'une approximation.
Ecrire 0,999... parait logique puisque l'on sait que quelque soit la décimale, on va trouver la même ou bien le même motif, sa compréhension devient triviale.
Si par exemple je donne 3,1414141414... tout le monde va comprendre que le développement implique qu'on a le motif 14 répété infiniment.
Si par contre je te donne Pi=3,1415926535... ça n'a pas de sens puisque le développement de Pi n'est pas périodique. Par conséquent, la notation ... implique une période, si ça n'est pas le cas, ça n'est pas une égalité qu'il faut écrire mais un environ.
Et c'est pas ce que tu fais quand tu dis que 0.999.... est égal à 1, peut-être ?...Citation:
Envoyé par jobherzt
absolument pas.
Quand tu dis qu'on ne peut pas répéter une infinité de fois, alors c'est comme si tu disais que je ne peux pas sommer une infinité de fois, ce que pourtant tu acceptais avec le signe "somme".Citation:
Envoyé par davcha
Et pourtant en pratique, on ne sait pas sommer une infinité de fois.
Le problème justement c'est ton analogie avec une boucle infinie.Citation:
Envoyé par davcha
En maths, dès qu'on parle d'une itération à l'infini, il y a forcément une notion de limite qui intervient, donc ici ça implique un nombre (ou une divergence).
Ok. Donc tu es constructiviste et tu n'acceptes pas le tiers exclus?Citation:
Envoyé par davcha
Y'a un peu de ça oui.Citation:
Envoyé par Jean-Marc.Bourguet
Il y a la notion de programme derrière ça. Tu parles de mon analogie avec une boucle infinie par exemple.Citation:
Envoyé par HanLee
Tu dis aussi que j'acceptais cette idée avec le signe "somme", or on ne sait pas sommer à l'infini et obtenir un résultat fortement normalisé (c'est à dire une forme qui se termine).
J'accepte la notation sous forme de somme, parce qu'elle représente un programme. Le programme ne se termine jamais, mais la borne sup du résultat est égale à 1. Donc, quand on parle de la limite de cette somme, ça me pose aucun problème de dire que c'est effectivement égal à 1.
Ca n'empêche pas que le programme en question ne termine jamais, et que par conséquent, 0.999... ne vaut pas 1.
Sinon, si vous me dites que 0.99999-plein-de-9-à-l'infini non seulement existe, mais en plus vaut 1, alors je sais pas... Ptet que je vais dire que 1+1 = 11. ou encore que 2 = 32. Je veux dire, si c'est juste une histoire de symboles, on peut inventer n'importe quoi.
A mon avis, il est là le problème.Citation:
J'accepte la notation sous forme de somme, parce qu'elle représente un programme.
Non, tu le vois comme un programme fini, par conséquent, ça n'est pasCitation:
0.999... ne vaut pas 1
0,999... que tu cherches à calculer mais dans ce cas 0,999...9 et donc avec un nombre fini de 9 ce qui n'est donc pas 1 mais ça n'est plus le problème.
On invente pas n'importe quoi, tout est régit par un contexte bien particulier, par exemple on a 1 + 1 = 10 en base 2 mais ça ne reste qu'en base 2, ici notre problème se situe dans un contexte bien défini et on ne raconte pas non plus n'importe quoi.Citation:
Ptet que je vais dire que 1+1 = 11. ou encore que 2 = 32. Je veux dire, si c'est juste une histoire de symboles, on peut inventer n'importe quoi.
Si tu prends le cas d'un corps Z/3Z, tu auras 2+1 = 0. Et ce n'est pas n'importe quoi, c'est défini dans la théorie des groupes/anneaux/corps.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_groupes
D'ailleurs, on définit la notion de limite pour une suite que dans des espace métriques (bien que des extensions doivent exister)
Si, le programme se termine: au bout d'un temps infini.Citation:
Envoyé par davcha
A mon avis c'est pas la notion de limite de suite qui te perturbe: c'est la notion d'infini.
L'infini en mathématique ce n'est pas une "boucle qui ne s'arrete pas". C'est la représentation de la plus grande valeur possible. C'est donc une valeur, suivant ta définition, car c'est la "borne sup" du corps de réels.
non, on ne peut pas inventer n'importe quoi. ou plutot si, mais ca a rarement un interet, on n'invente pas ca juste comme ca, pour rien.
et la limite n'est pas une borne sup en general. m'enfin bref. en gros, ce que tu refuses, c'est que 0.999.... soit une maniere d'ecrire la limite de la suite considérée. ce n'est pas le prgramme, c'est la limite. et puisque tu admet toi meme que ca a un sens de parler de la limite, que cette limite vaut 1, alors 0.9999... c'est 1. et le fait que ni toi ni moi avec nos petits doigts nous ne sommes capable decrire tous ces 9 n'a aucune importance. tu ne peux pas ecrire Pi ou racone de 2, et le fait qu'on ai imaginé des symboles pratiques pour les designer ne change rien au fait qu'ils existent en math. qu'on peut parler de la suite de leur decimale, qu'on peut considerer d'un seu coup toutes leurs decimales comme une totalité achevé...
il n'y a pas de notion de programme, ou de temps. est ce que tu imagines que pi a commencé a se construire a l'epoque des grecs, et qu'il continue febrilement a accumuler des decimales dans un coin de notre univers ? non, Pi est intemporel, figé, c'est un nombre reel, qui a une valeur fixe de definitive, ca n'est pas un programme. il en va de meme pour 0.999.... dis toi que c'est une sorte d'effet indesirable qui apparait quand on construit les nombres reels, il faut eliminer les doublons.
de la meme maniere quand on construit les rationnels, on construit 21/15 et 7/5, et on les identifie, ca a un sens de dire que leur valeur coincide. et ben la on a des suites qui tendent vers 1, d'autre qui tendent vers 0.999.... et on est bien forcé de se rendre compte que ces limites coincident.
C'est bien ça le souci. Pour avoir un nombre, il faut bien que le programme finisse par s'arrêter.Citation:
Envoyé par PRomu@ld
Or dans votre cas, le programme ne s'arrête jamais, donc au mieux, ce que vous obtenez, c'est un programme.
En gros, vous avez un programme de ce genre :
P(k) = 0.9 * 1/(10^k) + P(k+1)
Et votre 0.999999.... c'est P(0)
Le problème, c'est que quand vous calculez P(0), vous devez calculer P(1) et pour avoir P(1) vous devez calculer P(2), et ainsi de suite, indéfiniement.
Donc "au final", tout ce que vous obtenez, au mieux, c'est une somme entre un nombre et le résultat d'un programme, du genre : 0.9999...m-9-au-total....9 + P(m)
Et ça, c'est pas égal à 1. Ca le sera jamais.
En revanche (ça fait plein de fois que je le répète), on est d'accord sur le fait que la borne sup de cette somme (ou de ce programme) est égale à 1.
Petite parenthèse, quand tu parles de définir 0.99..., tu parles de programme. Un programme ou un algorithme peut être formalisé en utilisant la notion de machine de turing.
Or, on a démontré qu'il existe des problèmes non décidable par une machine de Turing, mais dont on peut déterminer nous, dans un cas particulier, avec un raisonnement mathématique, la solution.
Donc, les problèmes décidables par une machine de turing (ou algorithme) ne sont pas les mêmes que les problèmes décidables par un raisonnement mathématiques !!
et pourquoi donc ???? c'est ce que te souffle ton intuition, mais l'intuition est trompeuse, as tu lu mon dernier message ou se sont il croisés ? en forcant un peu le trait, tu es en train de montrer que les irrationnels n'existent pas. sais tu qu'on peut meme prouver que l'ecrasante majorité, la quasi totalité des reels ne sont pas calculables, cad qu'il n'existe meme pas de formule, de suite, ou de programme qui tendent vers eux. pourtant ces reels aussi sont indispensables aux mathematiques.Citation:
Envoyé par davcha
et ca fait 2 fois qu'on te repete que : 1) ca n'a rien a voir avec des bornes sup, on parle de limite 2) 0.999... est la limite. ton prgramme ne s'arrete jamais, soit. il n'atteindra jamais 1 en un temps fini, soit. pourtant 1 existe bel et bien !! de meme que tous les autres reels, et en particulier les irrationnels qui ne sont pourtant "atteint" par aucune suite !!!! donc ce n'est pas parce que ton programme ne l'atteint pas en un temps fini que 0.999... n'existe pas.Citation:
En revanche (ça fait plein de fois que je le répète), on est d'accord sur le fait que la borne sup de cette somme (ou de ce programme) est égale à 1.
non, pas indéfiniement: jusqu'a P(infini).Citation:
Envoyé par davcha