Maximisation de fonctions

Bonjour,

Pour les besoins d'un jeu de stratégie, je souhaite modéliser une économie, avec plusieurs secteurs d'activité et plusieurs marchandises. Chaque secteur produira une marchandise, en utilisant un facteur fixe et des marchandises produites par les autres secteurs, selon une fonction de production de la forme :
P = min (a*F, b1*M1, b2*M2,... bn*Mn)
où P est la production du secteur, F est la quantité de facteur fixe, M1, M1,...Mn sont les quantités de marchandises utilisées.
a, b1, b2,... bn sont des coefficients déterminés à l'avance.
La quantité de facteur fixe détermine la capacité de production maximale du secteur. J'aimerais savoir quel algorithme utiliser pour déterminer les quantités M1, M1,...Mn à utiliser par chaque secteur pour maximiser la production, en tenant compte de la capacité de production totale de chaque secteur. Pouvez vous m'aider la dessus ?

Je ne comprends pas bien ton problème : qu'est-ce que signifie exactement :

Citation:

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P = min (a*F, b1*M1, b2*M2,... bn*Mn)

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Est-ce que tu dois calculer la production de chaque secteur en une fois ou tu connais la production disponible de tous les secteurs sauf un dont tu veux maximiser la production ? En fait si tu pouvais ré-expliquer ça serait bien :aie:

[edit] heu... et c'est quoi aussi le "facteur fixe" ?

Je ne suis pas sur d'avoir bien compris ton énoncé, mais j'ai l'impression que ce que tu veux faire, c'est de la programmation linéaire...

Ce n'est pas un problème du sac à dos ?

Citation:

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Envoyé par borisd

Je ne comprends pas bien ton problème : qu'est-ce que signifie exactement :


Est-ce que tu dois calculer la production de chaque secteur en une fois ou tu connais la production disponible de tous les secteurs sauf un dont tu veux maximiser la production ? En fait si tu pouvais ré-expliquer ça serait bien :aie:

[edit] heu... et c'est quoi aussi le "facteur fixe" ?

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Avec la fonction de production que j'utilise, les différentes ressources doivent respecter des proportions précises. Les facteurs fixes seront les bâtiments et la main d'oeuvre. Ils sont fixés par le joueur au début du tour, et permettent de connaître la capacité théorique de production de chaque secteur. Mais la production réelle dépendra des quantités des ressources produites par les autres secteurs, quantités qu'on ne connaît pas. Par exemple, le secteur Automobile utilisera de l'acier produits par le secteur Sidérurgie qui lui même consommera du charbon et du fer produits par les secteurs miniers. Ainsi la production automobile dépendra de la production d'acier, qui elle même dépend de la production de fer et de charbon. Or la capacité de production de ses secteurs ne correspondra pas obligatoirement aux quantités demandées par le secteur Automobile. L'arbre des marchandises et les relations entre secteurs pourront être assez complexes, car des ressources pourront être utilisées par plusieurs secteurs. Connaissant les capacités de production de tous les secteurs et les proportions des différentes ressources nécessaires pour chaque production, comment définir un algorithme qui me donne la production réelle de chaque marchandise ?

Citation:

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Envoyé par MasterOfChakhaL

Je ne suis pas sur d'avoir bien compris ton énoncé, mais j'ai l'impression que ce que tu veux faire, c'est de la programmation linéaire...

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Oui, la programmation linéaire me semble adaptée pour mon problème. Je vais étudier cet article.

Il faut aussi définir les relations de préférence entre marchandises : si on a 500 tonnes d'acier, vaut-il mieux produire le maximum de voitures possibles avec les 500 tonnes et laisser tomber la charpente ?
Est-ce que produire une voiture approrte la même utilité que produire une fourchette ?

Par ailleurs, si tu cherches un moyen de résoudre des programmes linéaires de forme générale, tu peux chercher LPSOLVE sur le net. Mais selon la formulation exacte de ton problème, ce sera peut-être un problème ne nécéssitant pas l'utilisation de librairie externe...

Citation:

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Envoyé par borisd

Il faut aussi définir les relations de préférence entre marchandises : si on a 500 tonnes d'acier, vaut-il mieux produire le maximum de voitures possibles avec les 500 tonnes et laisser tomber la charpente ?

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C'est justement le propos de la programmation linéaire...

Citation:

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Envoyé par MasterOfChakhaL

C'est justement le propos de la programmation linéaire...

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Un programme linéaire est aussi défini par sa fonction objectif. Nulle fonction objectif dans ce qui a été décrit pour l'instant, si ce n'est la quantité de production totale tous produits confondus, ce qui ne paraît vraiment pas pertinent. Je maintiens donc ma remarque.

Oui, tu as raison.

J'ai simplement considéré qu'au vu du titre du topic (Maximisation...) et que étant donné que cette piste avait l'air de convenir à Neuromancien2, cet objectif était implicitement défini même si il n'est pas présenté ici...

Citation:

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Envoyé par borisd

Un programme linéaire est aussi défini par sa fonction objectif. Nulle fonction objectif dans ce qui a été décrit pour l'instant, si ce n'est la quantité de production totale tous produits confondus, ce qui ne paraît vraiment pas pertinent. Je maintiens donc ma remarque.

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Le principe est le suivant : le joueur fixe des objectifs de production et lance les chantiers d'infrastructures pour adapter la production aux préférences de la population. Le rôle de l'algorithme sera uniquement de calculer les quantités de produits intermédiaires à échanger pour se rapprocher de cet objectif. Plus tard j'envisagerai un modèle plus complexe avec un système de prix variant selon l'offre et la demande.

La modélisation par multi-agents peut être aussi très intéressante dans ce type de problème...

Après réflexion, je me demande si les graphes ne seraient pas adaptés à ce problème. Une économie pourrait-elle être représentée par un graphe orienté, où les sommets représentent les secteurs producteurs, et les arcs les transactions ? Cela peut-il m'aider à définir des algorithmes pour calculer les quantités produites et échangées ?

il existe bien un but

je note "pour maximiser la production"

c'est un but, dans une économie marxiste, dans un système plus libéral on
aurait choisi maximiser le profit

Dans un premier temps, je considère des échanges simples, sans flux monétaires et donc sans profit, en cherchant à maximiser la production. Ce sera au joueur d'adapter les capacités de production des différents secteurs à la demande. Pouvez vous me confirmer qu'un algorithme de flot maximum convient bien pour traiter ce problème ?