comment faire un développement limité qui converge

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17/10/2006, 18h12
reptils

Citation:

Envoyé par Rniamo

reptils, toi aussi t'es cosinus sont supérieurs à 1 ? tu utilise le même code que moi, t'es plus fin ou t'es lus bourrin (factorielles et puissance pour chaque terme de la somme)??

bon déja commence par te calmer parce que tu agresses tout ceux qui essaient de te répondre et ça devient difficile.
Si tu lisais calmement tu verrais que je disais qu'il y avait déja un soucis sur le terme de sortie parceque resultat état trop grand par rapport à terme pour pouvoir les comparer, ensuite je disais que j'allais maintenant réfléchir à pourquoi valeur était aussi grand...
17/10/2006, 18h17
Rniamo

je ne vous aggresse pas...je voudrait juste savoir pourquoi mon cos divergent (et j'ai pas bien compri si ton cos diverge ou pas c'est tout)
17/10/2006, 18h18
Rniamo

euh...diverge suffit je crois...lol
17/10/2006, 18h18
Jean-Marc.Bourguet

Citation:

Envoyé par millie

Je parlais de manière général, donc pas par rapport à une implémentation précise du type réel. (oui, je sais, on est dans le forum C, mais comme la discussion devenait plus algorithmique qu'autres choses)

Conserver une précision relative -- a peu près -- constante, c'est le principe de la représentation en virgule flottante. Si on veut une précision absolue constante, c'est une représentation en virgule fixe qu'il faut. Il n'y a pas de support direct en C, mais il y en a dans d'autres langages (Ada, Cobol, PL/I sont trois exemples qui me viennent en tête) et on peut en bâtir une à partir des types entiers.
17/10/2006, 18h23
Rniamo

plus ça va moins je ne comprend...je débute en C et je pense que la précision du C est suffisante mais qu'il y a des astuces pour effectuer l'équivalence de la convergence en math : millie nous en a donné une pr l'exponentielle.
Je voudrais connaître celle pour le cos...Personne n'a programmé un cos qui marche sans ramener x dans une période donnée? (ok c'est bête comme question puisque la fonction éxiste dans math.h mais quand même).
17/10/2006, 18h27
reptils

Bon j'ai compris le probleme, je vais expliquer ça d'ici une heure le temps que je rentre chez moi...
17/10/2006, 18h29
Jean-Marc.Bourguet

Citation:

Envoyé par Rniamo

je ne vous aggresse pas...je voudrait juste savoir pourquoi mon cos divergent (et j'ai pas bien compri si ton cos diverge ou pas c'est tout)

Ton cos ne diverge pas. À cause de la précision limitée des flottants, il ne converge pas vers ce que tu veux.

Les premiers termes de ta série sont très gros dès que l'argument dépasse 1. Il se fait qu'avec une précision assez grande, il y a aurait compensation, mais les flottants ne sont pas assez précis pour x assez grand.

On va prendre un exemple plus simple:
1 + 10 + 100 + 1000 + 10000 - 10000 - 1000 - 100 - 10 - 1
vaut zéro. Mais si tu calcules avec 3 chiffres significatifs:
1+10 = 11
11+100 = 111
111 + 1000 = 1110 (les unités sont perdues)
1110 + 10000 = 11100 (les dizaines sont perdues)
11100 - 10000 = 1100
1100 - 1000 = 100
100 - 100 = 0
0 - 10 = -10
-10 - 1 = -11

C'est la même chose qui se passe dans ton calcul de cosinus si ne réduit pas l'argument.
17/10/2006, 18h32
Jean-Marc.Bourguet

Citation:

Envoyé par Rniamo

Personne n'a programmé un cos qui marche sans ramener x dans une période donnée?

Non parce que c'est la meilleure solution.

Note que l'analyse numérique est un domaine particulier, et comme tout domaine il faut l'étudier.

Salut,

Juste une petite intervention, en passant, pour signaler que vous etes tous partis sur une mauvaise formule pour le calcul du cosinus...

Normalement, le calcul d'un cosinus est basé sur ule suite de fourrier utilisant la formule

Citation:

cos(x)=1-(x^2/2!)+(x^4/4!)-(x^6/6!)+(x^8/8!)...

Si x vaut 1 radian, cela donne
cos(1rad)=1-(1/2)+(1/24)-(1/720)+(1/40320) (en continuant avec des coéficients paire, et en alternant le plus et le moins jusquà obtention de la précision souhaitée)

Le code pour y arriver serait donc quelque chose ressemblant à

Code:

1
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56
 
//ici, on demande une précision à quatre chiffres apres la virgule
#define PREC 0.0001
double cosinus(double calcul)// calcul étant un angle en degré
{
// l'angle en radian (directement calculé)
    double x=calcul*3.1415926/180;
//le résultat à renvoyer
    double resultat=1.0;
//un résultat temporaire
    double restemp;
//coefficient utilisé pour les formule de (x^N/N!)
    int coef=2;
//pour calculer de x^coefficient
    double exposant;
//pour savoir s'il faut additionner ou soustraire
    int plus=-1;
    int encore=0;
//pour  calculer la factorielle du coefficient
    int factorielle;
//un  compteur pour les boucle
    int i;
    do
    {
//sauvegarde du résultat précédent pour comparaison
        restemp=resultat;
        exposant=x;
        factorielle=1;
//calcule de  x^n
        for(i=1;i<coef;i++)
            exposant*=x;
//calcul de la factorielle (coef!)
        for(i=1;i<=coef;i++)
            factorielle*=i;
//calcul de la nouvelle valeur approchée
//une fois sur deux on additionne, et la fois d'apres on soustrait
//à vrai dire, on commence par soustraire
    if(plus==1)
    {
        resultat+=(exposant/factorielle);
        plus=0;
        if(resultat-PREC<restemp)
            encore=1;
    }
    else
    {
        resultat-=(exposant/factorielle);
        plus=1;
        if(resultat+PREC>restemp)
            encore=1;
    }
//on prépare la valeur suivante
    coef+=2;
    }while(encore!=1);
    return resultat;
}

ou, au pire, si l'on se contente de la valeur rapprochée obtenue apres 1-(x^2/2!); un code beaucoup plus succin du genre de

Code:

1
2
3
4
5
6
 
double cosinus(double calcul)//angle en degre
{
    double x=calcul*3.141516926/180;
    return 1-(x*x/2);
}

qui, au mieux n'offre une précision que d'un chiffre apres la virgule ;)

18/10/2006, 06h43
Rniamo

koala01, t'as essayer ton programme en x=100 par exemple? parce que si tu regardes bien, on a la même formule mais mon programme utilise la récurrence (d'un autre côté j'ai fait come toi dans un premier temps...sauf que fourier pour moi c'est autre chose (y a des cos et sin qui se baladent) mais bon les notations...).

Jean-Marc.Bourguet, vous confirmez donc ce dont j'avais peur à savoir que la précision est en cause.

reptils j'attends avec impatience ta réponse...
18/10/2006, 09h03
reptils

oups, en fait je pensais que Jean-Marc.Bourguet avait apporté la réponse, bon c'est simple si tu fais un printf de n et terme dans ta boucle (ou un fprintf tu verras mieux) tu te rend compte que terme devient vite très grand(trop grand) et il n'y a pas assez de précision pour arriver à calcul à 10000 près :? donc au début (n etant pas suffisament grand) le terme x^2n prend le dessus sur (2n!) donc avec les problemes de précions tu additionne un tas de faux résultats puis au bout d'un moment (n suffisament grand) le dénominateur prend le dessus et faire tendre terme vers 0... vers 0 oui mais par rapport à resultat ce qui fait que tu sort de la boucle while. Mais le probleme n'étant pas vraiment ta condition dans la boucke while (meme si il faut garder en memoire de précision relative) mais c'est que terme (poux assez grand) devient trop grand numériquement.
Bref j'espere etre clair :mrgreen:

EDIT: une solution est de rester dans l'interval [0 2PI] si tu as un x>2PI tu le ramène dans cet interval et ça marche et c'est simple
18/10/2006, 13h24
millie

Citation:

Envoyé par reptils

EDIT: une solution est de rester dans l'interval [0 2PI] si tu as un x>2PI tu le ramène dans cet interval et ça marche et c'est simple

C'est ce qu'on dit depuis le début. Ca serait plus malin de rester sur [-Pi,Pi], puisque c'est un développement limite en 0 (donc plus précis sur un intervalle centré en 0).

En même temps, je pense que les bibliothèques mathématiques implémentent le cos par une autre méthode, mais comme la requête initiale est sur un DL.
18/10/2006, 13h28
millie

Citation:

Envoyé par koala01

Salut,
Normalement, le calcul d'un cosinus est basé sur ule suite de fourrier utilisant la formule

Je ne connais pas les suites de Fourier... Tu parles peut-être des séries de Fourier, dans ce cas, je ne vois pas le rapport avec ce que tu dis...

Citation:

//calcule de x^n
for(i=1;i<coef;i++)
exposant*=x;
//calcul de la factorielle (coef!)
for(i=1;i<=coef;i++)
factorielle*=i;

C'est pas très malin de séparer ici, ta factorielle peut vite exploser, tandis que d'effectuer les deux calculs à la fois permet d'éviter des dépassements.
18/10/2006, 13h32
Jean-Marc.Bourguet

Citation:

Envoyé par millie

En meme temps, je pense que les bibliotheques mathematiques implementent le cos par une autre methode

CORDIC est souvent utilisés dans les environnements contraints pour faire ce calcul en virgule fixe.

Une alternative est d'utiliser des approximations polynomiales par morceau qui permettent de répartir l'erreur sur l'ensemble de l'intervalle tandis qu'un DL a toute son erreur aux extrémités.
18/10/2006, 19h08
Rniamo

ok, merci à tous pour vos réponses et votre patience. Ramener le problème en [-pi ; pi ] est effectivement envisageable avec une précision honorable surtout en jouant sur les propriétés du cos et du sin (cos(x+pi/2)=sin(x) etc...).

Ciao

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