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A jeter par les fenêtres ?
Bonjour,
La fenêtre porte ou rectangulaire correspond à l'absence de fenêtre. C'est la pire et seul un nombre important d'échantillons peut en gommer un peu les effets.
Le principe de la transformée de Fourrier est de considérer que le groupe des n échantillons est périodique. C'est le cas si le signal à observer a un nombre de périodes entier dans la fenêtre d'observation de n échantillons. Bien sûr, il est tentant de vouloir alors ajuster cette longueur mais ce n'est pas possible car l'algorithme travaille avec des puissances de 2 et si un programme l'accepte, il va ajouter des points (en général à 0) pour atteindre le 2p suivant. Ce qui n'arrange pas les affaires.
Que ce passe-t-il quand ça ne tombe pas juste ? Si on prend une sinusoïde... J'ai répété ici 3 fois le même groupe de n échantillons (n = 2048 dans l'exemple communiqué).
Pièce jointe 633671
Dans le premier cas tout va bien, la répétition implicite ne pose pas de problème car la phase ne subit pas de saut.
Dans le second cas (saut de phase apparent en gris), il n'est plus possible de considérer que le signal a la fréquence de la sinusoïde. Le signal analysé a alors 2048 échantillons avant de se répéter ce qui doit faire apparaître une première rai à 44100 Hz / 2048 soit 21.53 Hz. Tout se passe comme si on avait modulé en amplitude le signal par une porte (ce qui est le cas). On a donc un spectre résultant qui transpose (plusieurs fois mais la rai la plus importante est celle de la fréquence du signal à analyser transposée de +/- 21.53 Hz).
Le but des fenêtres plus sophistiquées est d'amener en douceur les échantillons à 0 aux extrémités pour amoindrir ces effets de raccordements. Mais chaque fenêtre vient avec son spectre propre qui altérera toujours celui qu'on veut observer. Rien n'est parfait.
On comprend également que plus le nombre d'éléments est important et moins nous sommes sensibles à ce phénomène. A 4048 la modulation parasite descend est à 10,76 Hz, à 8096 elle n'est plus que de 5,38 Hz et à l'infini il n'y a plus de perturbation. Mais l'infini c'est grand, surtout vers la fin 8-).
J'ai essayé d'expliquer avec les mains, c'est donc un peu approximatif, mais les principes sous-jacents sont là.
Salutations