Minimum globale d'une fonction à deux variable.

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Bonjour,

Pour la résolution d'un problème de mécanique je cherche à trouver le minimum globale ( ou local dans un certain espace compacte) d'une fonction de transfert qui est la suivante :

Code:

abs((x/y (x/y - (2 π×50)^2 - 2×0.005 sqrt(x/y)×2 π×50))/((x/y - (2 π×50)^2)^2 + 4×0.005^2×x/y (2 π×50)^2))

J'ai donc essayé la fonction fminsearch de MATLAB pour trouver ce minimum, mais j'ai quelques difficulté à mettre en place ce calcul. Je précise que je suis débutant j'apprends tout juste à utiliser MATLAB.
Code:

1 2 3 4 5 6 7 X=linspace(0,1,1000) Y=linspace(0,1,1000) [x,y]=meshgrid(X,Y); z=abs(((x./y).*((x./y)-(2*pi*50)^2-2*0.005*sqrt(x./y)*2*pi*50))./(((x./y)-(2*pi*50)^2).^2+4*0.005^2*(x./y)*(2*pi*50)^2)); surf(x,y,z) x0=[0,0] A = fminsearch(z,x0);
Ci-dessus le programme que j'ai utilisé mais qui ne fonctionne pas ...

Bonjour,

Avec ce code :
Code:

1 2 3 4 X=linspace(0,1,1000) Y=linspace(0,1,1000) [x,y]=meshgrid(X,Y); z=abs(((x./y).*((x./y)-(2*pi*50)^2-2*0.005*sqrt(x./y)*2*pi*50))./(((x./y)-(2*pi*50)^2).^2+4*0.005^2*(x./y)*(2*pi*50)^2));
tu crées une matrice z dont les éléments on la valeur de la fonction en chacun des points du maillage. Il est alors possible de chercher le point du maillage ayant la plus petite valeur avec la fonction min(), puis éventuellement de remonter aux valeurs de (x,y) associées (cf. infra). Il n'y a alors pas besoin d'algo de minimisation, et la résolution est limitée à la résolution de la grille (soit, ici, 1/1000).
Code:

1 2 3 4 5 [zMin, minIndex] = min(z(:)) ; % trouve la valeur minimale de la fonction et son indice dans la matrice [row,col] = ind2sub(size(z),minIndex) ; % trouve les "coordonnées" du minimum dans la matrice xMin = X(col) ; yMin = Y(row) ;
Une autre manière de faire consiste à utiliser fminsearch (ou plutôt fmincon puisque tu travailles sur un domaine borné). Pour celà, il faut définir la fonction à minimiser comme une fonction, c'est à dire qu'elle doit prendre des arguments (x,y) en entrée et calculer la valeur de z associée. Pour celà, on peut utiliser une fonction anonyme :
Code:

1 2 3 4 5 6 7 clear x y % inutile, placé ici uniquement pour montrer que les variables (x,y) dans la ligne suivant sont muettes z=@(x,y) abs(((x./y).*((x./y)-(2*pi*50)^2-2*0.005*sqrt(x./y)*2*pi*50))./(((x./y)-(2*pi*50)^2).^2+4*0.005^2*(x./y)*(2*pi*50)^2)); z0=@(x) z(x(1), x(2)) ; % nécessaire car la fonction appelée par fminsearch ne doit prendre qu'un argument alors que la fonction z est ici définie avec deux arguments d'entrée. x0=[0,0] A = fminsearch(z0,x0); A = fmincon(z0, x0,[], [], [], [], [0 0], [1 1]) ;% alternative

Bonjour Antoane,

Merci pour ton aide !
En revanche j'ai essayé les 2 codes que tu m'as proposé, mais aucun ne marche =/.
Voici le message d'erreur du code 1:
Input arguments to function include colon operator. To input the colon
character, use ':' instead.

[zMin, minIndex] = min(z(:)) ; % trouve la valeur minimale de la fonction
et son indice dans la matrice
Voici le message d'erreur du code 2:
Exiting: Maximum number of function evaluations has been exceeded
         - increase MaxFunEvals option.
         Current function value: 0.000000

02/07/2021, 02h21
Antoane

Bonsoir,

Quelle version de matlab utilises-tu ?
Je n'ai pas la première erreur avec la 2019a.

Pour ce qui est de la seconde erreur, c'est du au choix de x0. Essaye x0 = [0.5 0.5] par exemple.
02/07/2021, 09h38
rachid999

Citation:

Envoyé par Antoane

Bonsoir,

Quelle version de matlab utilises-tu ?
Je n'ai pas la première erreur avec la 2019a.

Pour ce qui est de la seconde erreur, c'est du au choix de x0. Essaye x0 = [0.5 0.5] par exemple.

Bonjour Antoane,

J'ai la version 2018a personnellement.

En modifiant x0 ça marche !Mais je n'ai pas l'impression que ça me donne les valeurs de x et de y.
Optimization completed: The relative first-order optimality measure, 4.999886e-07,
is less than options.OptimalityTolerance = 1.000000e-06, and the relative maximum constraint
violation, 0.000000e+00, is less than options.ConstraintTolerance = 1.000000e-06.

Optimization Metric Options
relative first-order optimality = 5.00e-07 OptimalityTolerance = 1e-06 (default)
relative max(constraint violation) = 0.00e+00 ConstraintTolerance = 1e-06 (default)

Parcontre je ne comprends pas ces 2 lignes de code, pourrais-tu me les expliquer stp ?
z0=@(x) z(x(1), x(2)) ; % nécessaire car la fonction appelée par fminsearch ne doit prendre qu'un argument alors que la fonction z est ici définie avec deux arguments d'entrée.
A = fmincon(z0, x0,[], [], [], [], [0 0], [1 1])
02/07/2021, 12h59
Antoane

Bonjour,

Citation:

Envoyé par rachid999

En modifiant x0 ça marche !Mais je n'ai pas l'impression que ça me donne les valeurs de x et de y.
Optimization completed: The relative first-order optimality measure, 4.999886e-07,
is less than options.OptimalityTolerance = 1.000000e-06, and the relative maximum constraint
violation, 0.000000e+00, is less than options.ConstraintTolerance = 1.000000e-06.

Optimization Metric Options
relative first-order optimality = 5.00e-07 OptimalityTolerance = 1e-06 (default)
relative max(constraint violation) = 0.00e+00 ConstraintTolerance = 1e-06 (default)

A(1) et A(2) sont les valeurs de x et de y minimisant la fonction.

Citation:

z=@(x,y) abs(((x./y).*((x./y)-(2*pi*50)^2-2*0.005*sqrt(x./y)*2*pi*50))./(((x./y)-(2*pi*50)^2).^2+4*0.005^2*(x./y)*(2*pi*50)^2));
z0=@(toto) z(toto(1), toto(2)) ; % nécessaire car la fonction appelée par fminsearch ne doit prendre qu'un argument alors que la fonction z est ici définie avec deux arguments d'entrée.

z est une fonction (dite "anonyme") prenant deux scalaires comme arguments d'entrée. C'est une fonction qui, pour un couple (x,y) donné, va calculer la valeur de z associée.
z0 est une fonction (dite "anonyme") prenant un unique argument en entrée, et cet argument est un vecteur de longueur 2. Cet argument, que j'ai appelé ici toto pour clarifier, regroupe les valeurs de x et de y dans un unique vecteur. en appelant z0(toto), on appelle en fait z(toto(1), toto(2)). Donc si toto=[x,y], alors z0(toto) = z(x,y).
z0 est donc un moyen d'appeler z avec un unique argument d'entrée. C'est nécessaire car la fonction fmincon ne fonctionne qu'avec des fonctions ne prenant qu'un unique argument d'entrée.

Citation:

A = fmincon(z0, toto0,[], [], [], [], [0 0], [1 1])

Avec cette ligne, la fonction fmincon va aller chercher le minimum de la fonction z0 (et donc de la fonction z) en cherchant à partir du point toto0, et en gardant toto dans les limites [0, 0] < toto < [1 1].
Autrement dit : fmincon va chercher le mininum de la fonction z en començant par le point de coordonnées x=toto(1) , y=toto(2), et en faisant en sorte que 0<x<1 et 0<y<1.
Les "[]" permettent d'indiquer à la fonction que les contraintes d'inégalités ne sont pas utilisées (voir l'aide : https://de.mathworks.com/help/optim/ug/fmincon.html).
02/07/2021, 15h07
rachid999

Citation:

Envoyé par Antoane

Bonjour,

A(1) et A(2) sont les valeurs de x et de y minimisant la fonction.

z est une fonction (dite "anonyme") prenant deux scalaires comme arguments d'entrée. C'est une fonction qui, pour un couple (x,y) donné, va calculer la valeur de z associée.
z0 est une fonction (dite "anonyme") prenant un unique argument en entrée, et cet argument est un vecteur de longueur 2. Cet argument, que j'ai appelé ici toto pour clarifier, regroupe les valeurs de x et de y dans un unique vecteur. en appelant z0(toto), on appelle en fait z(toto(1), toto(2)). Donc si toto=[x,y], alors z0(toto) = z(x,y).
z0 est donc un moyen d'appeler z avec un unique argument d'entrée. C'est nécessaire car la fonction fmincon ne fonctionne qu'avec des fonctions ne prenant qu'un unique argument d'entrée.

Avec cette ligne, la fonction fmincon va aller chercher le minimum de la fonction z0 (et donc de la fonction z) en cherchant à partir du point toto0, et en gardant toto dans les limites [0, 0] < toto < [1 1].
Autrement dit : fmincon va chercher le mininum de la fonction z en començant par le point de coordonnées x=toto(1) , y=toto(2), et en faisant en sorte que 0<x<1 et 0<y<1.
Les "[]" permettent d'indiquer à la fonction que les contraintes d'inégalités ne sont pas utilisées (voir l'aide : https://de.mathworks.com/help/optim/ug/fmincon.html).

Ok super merci beaucoup pour ton aide et tes explications !