Points d'intersection de deux cercles

Bonjour

Avant de poser je recherche la solution et si je ne trouve pas, je poste dans un forum. Le pb cette fois est que j ai trouvé la solution mais je ne la comprends pas.
En effet, je cherche à trouver les points d intersection de deux cercles dont les centres se trouvent sur un même niveau de l axe Y.
Il y a un tuto http://math.15873.pagesperso-orange.fr/IntCercl.html qui est censé répondre à ma question mais je ne comprends absolument pas.

En effet la fin de la page, partie remarque répond très exactement à ma question. Il est démontré aisément comment trouver X mais pour trouver y... rien compris !!

L un de vous aurait il un exemple concret s il vous plait parce que c et le seul tuto que j ai trouvé qui réponde à cette spécificité de centre sur un même niveau d'axe Y.

merci pour votre aide !

:salut:

Le problème de deux cercles, c'est que tu as quatre cas possibles : les deux cercles n'ont pas d'intersection, les deux cercles ont une seule intersection, les deux cercles ont deux intersections, les deux cercles se superposent complètement. Le principe de base est le même que pour deux droites : tu décris chaque cercle par une équation, ça te donne un système de deux équations à deux inconnues (en 2D), mais non linéaires.

Dans ce que tu donnes, tu as une solution simple pour x, mais une équation quadratique pour y, avec zéro, une ou deux solutions. Ta page donne l'équation sous forme quadratique, ne te reste plus qu'à la résoudre (https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89...ond_degr%C3%A9).

je te remercie pour ta réponse.
Mes cercles ont toujours 2 points d intersections.
Mes question vont sembler stupide mais :
dans cet exemple, considérant que 'mon cas' correspond à celui de la remarque, je dois reprendre le calcul initial à partir de la première expression de Delta donc je trouve les coordonnées X des deux points d intersection mais dans quelle équation dois-je remplacer x pour trouver y.
Désolé mais c est pas evident pour moi
Pièce jointe 555996
Pièce jointe 556000

Bonjour :coucou:

Citation:

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dans quelle équation dois-je remplacer x pour trouver y.

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C'est écrit en toute lettres : "en incorporant la valeur de x dans (1)"
Où est l'équation (1) ? Au début de la page que tu cites, en dessous de "En développant les équations précédentes, on a".
Les données de l'énoncé sont connues, x est connu, y est inconnu. On résout et c'est gagné.

Est-ce qu'on peut reformuler la question ?
Dans le premier message, je vois cette phrase :

Citation:

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En effet, je cherche à trouver les points d intersection de deux cercles dont les centres se trouvent sur un même niveau de l axe Y.

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C'est bien uniquement ce cas qui t'intéresse ? Quand le y du centre du 1er cercle est égal au y du centre du 2ème cercle ?

Citation:

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Envoyé par tbc92

Est-ce qu'on peut reformuler la question ?
Dans le premier message, je vois cette phrase :
C'est bien uniquement ce cas qui t'intéresse ? Quand le y du centre du 1er cercle est égal au y du centre du 2ème cercle ?

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Effectivement c est bien cela qui m intéresse.

Mon pb avec l'exemple que je fournis c est que dans la remarque il y a x=.... et ça termine par A=1,B=-2y... C=...
Si je me réfère au 'cadre général' exposé en premier dans l exemple, le calcul des A,B,C permet de calculer X grâce au calcul d'un Delta intermédiaire alors que là X est calculé et il n y a plus de delta :aie:

Désolé, j ai pas l air fut fut sur ce coup mais j ai vraiment du mal à comprendre... le lycée ça fait plus de 30 ans :?

Hum. Pardon. Tu n'as pas compris la démarche. :oops:

1. On part des équations de cercles.
2. Comme on cherche les intersections, x et y sont identiques dans les équations (1) et (2). On simplifie.
3. Comme les centres ont la même ordonnée, on peut simplifier encore.
4. Comme "y" n'intervient plus dans le le calcul, on peut calculer x.
5. En remplaçant x dans l'équation (1) [ ou (2) ], seul "y" est inconnu. On peut donc calculer "y".

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Ne demande pas comment calculer x à partir de y car c'est le contraire. Tu calcules x, puis y.

Citation:

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le calcul des A,B,C permet de calculer X grâce au calcul d'un Delta intermédiaire

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NON ! A, B et C permettent de calculer y. Il n'y a plus de x à ce stade.



Une valeur de y est avec "+" et l'autre avec "-". (en lieu et place de "±")

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Et ne dis pas que A, B ou C contiennent x, car, à ce moment-là, tu connais la valeur de x ! (En fonction de R0, R1, x0, x1)

Citation:

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Hum. Pardon. Tu n'as pas compris la démarche.

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Tu as raison je n ai rien compris !

mais là c est plus clair.

je calcule x=(r1^2-r0^2-x1^2+x0^2)/2(x0-x1), et Y avec ta formule ?

Le truc est que sur le tuto c était X qui était calculé avec la formule que tu présentes.

Du coup comme les deux cercles ont leur centre sur le même Y je n ai qu un seul X à calculer mais comme pour calculer x je divise par 2(x0-x1) X1 doit toujours être > que X0 ?

Merci pour ton aide

Voici un dessin pour illustrer les notations.Pièce jointe 556299

Les distances en vert sont connues : d est la distance entre les centres des 2 cercles, et R1 et R2 sont les rayons des 2 cercles.
On cherche a, b et c.
On peut écrire des équations :
a+b=d
a²+c²=R1² : Pythagore
b²+c²=R2² : Pythagore à nouveau.

A partir des 2 dernières équations, on peut faire la différence : (ligne2 - ligne3) : a²-b²=R1²-R2²
Or a²-b²=(a-b)(a+b)
Et on connaît a+b: a+b=d = la distance entre les 2 centres.

Donc a-b=(a²-b²)/(a+b) = (R1²-R2²)/d

On peut donc calculer a-b, et a+b
Ensuite, pour trouver a, on va dire que a=((a-b)+(a+b))/2 ; et donc on sait calculer a.
Ensuite on peut trouver b : b=d-a
Et on peut trouver c, avec : c²= R1²-a²

Citation:

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Envoyé par debutantphp_70

je calcule x=(r1^2-r0^2-x1^2+x0^2)/2(x0-x1), et Y avec ta formule ?

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Oui.

Citation:

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Envoyé par debutantphp_70

Le truc est que sur le tuto c était X qui était calculé avec la formule que tu présentes.

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Non. Vraiment pas. Relis le tuto, si tu veux.

Citation:

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Envoyé par debutantphp_70

X1 doit toujours être > que X0 ?

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Excellente question. Réponse : Non. Voyons pourquoi.


Produit remarquable : a² - b² = (a - b)(a + b) (ci-dessus appliqué deux fois)

Et si on échangeait x0 et x1 ?

• La demi-somme de x0 et x1, c'est le milieu du segment reliant les centres de cercle. Cela ne bouge pas.
• R1+R0 est toujours positif. Cela ne change rien.
• x0 est relié à R0 et x1 est relié à R1. On n'y peut rien, c'est l'énoncé. Si on échange x0 et x1, le signe du dénominateur change. Mais (R1 - R0) aussi !!! Du coup, la fraction a toujours le même signe.

Conclusion : Aucune importance que x0 soit plus grand que x1, ou x1 plus grand que x0. L'important est de relier le bon rayon avec le bon centre (et son abscisse).

@Flodelarab

Merci, cette fois c est on ne peut plus clair.

Quand je parlais du calcul d'X c est à cette partie que je faisais référence
Pièce jointe 556721


@tbc92

Merci pour cette technique.
J ai donc pris compas, règle et calculatrice et tracé avec R1=3cm, R2=5cm, d=7cm.

J'obtiens a=2.35cm, b=4.64cm et c=3.4775 ?.
C=racinecarree(R1^2-a^2)=racine(9-5.5225)=3.4775.
Donc si j ai bien compris, le Y du point d intersection supérieure est Y de l axe + C/2 = Y+ 1.73875 et Y pour le point d intersection inférieur est égal à Y - 1.73875. C est ça ?

En tous les cas je voulais vous remercier pour tant de patience ! Merci à vous

Les 2 valeurs Y des 2 points d'intersection sont en effet symétriques. y+bbbbb pour l'un et y-bbbbb pour l'autre.

On peut aussi résoudre ce problème en se passant des équations de cercles.

Soit un cercle de centre A(x1, y1) et de rayon R1 et un cercle de centre B(x2, y2) de rayon R2, on calcule la norme du vecteur ||AG|| avec G le barycentre de {(A, R1), (B, R2)}, ce qui nous donne: ||AG|| = ||AB|| * (R1 / ( R1 + R2)). On en déduit ainsi l'absisse du ou des points d'intersection des cercles: x = x1 + ||AG||.

Ensuite pour déterminer le ou les ordonnées, on s'appuie sur le fait que ||AG|| = R1*cos(PAG) (P étant un des points d'intersection) et on en déduit le ou les ordonnées avec le théorème de Pythagore: cos²x + sin²x = 1.

Ce qui donne:
y = y1 ± R1 * sqrt(1 - (||AG||/R1)²).