Souci en arithmétique

Bonjour,

Voici le code:

Code:

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

#include<stdio.h> #include<math.h>   int main() { float n,d; int e,i;   printf("Nombre="); scanf("%f",&n); d=n/1000.0; printf("Nbr divisé=%f\n",d);   for(i=0;i<3;i++) { d=d*10.0; printf("d=d*10=%f\n",d); e=(int)d; printf("e=(int)d=%d\n",e); d=d-e; printf("d=d-e=%f\n",d); }   return 0; }

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Si je renseigne le nombre 197 par exemple, voici le résultat:

Code:

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Nombre=197 Nbr divisé=0.197000 d=d*10=1.970000 e=(int)d=1 d=d-e=0.970000 d=d*10=9.700001 e=(int)d=9 d=d-e=0.700001 d=d*10=7.000008 e=(int)d=7 d=d-e=0.000008

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Tout se passe bien jusqu'à la 2e multiplication par 10, j'obtiens 9.700001. A la 3e, ça s'empire :-/
Est-ce que le problème vient du fait que j'assigne la partie entière à "e"?

Bonne journée
Ben

C'est une question d'erreurs d'arrondi, toujours présentes lors de calculs à virgule flottante.

La précision sera plus grande (et cette erreur d'arrondi sera donc moindre) si tu remplaces float par double, mais l'erreur ne disparaîtra jamais complètement.

J'ai modifié un peu le code:

Code:

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

#include<stdio.h> #include<math.h>   int main() { float n,d; int e,i,b;   printf("Nombre="); scanf("%f",&n);   b=1+(int)(log(n)/log(10)); printf("Longueur du nombre:%d\n",b); d=n/pow(10,b); printf("Nbr divisé=%f\n",d);   for(i=0;i<b;i++) { d=d*10.0; printf("d=d*10=%f\n",d); e=(int)d; printf("e=(int)d=%d\n",e); d=d-e; printf("d=d-e=%f\n",d); }   return 0; }

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Si on lance le programme avec 28, le résultat est assez étonnant, c'est une belle erreur d'arrondi :-(

Code:

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1 2 3 4 5 6 7 8 9

Nombre=28 Longueur du nombre:2 Nbr divisé=0.280000 d=d*10=2.800000 e=(int)d=2 d=d-e=0.800000 d=d*10=8.000000 e=(int)d=7 d=d-e=1.000000

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Mais effectivement, ça fonctionne mieux avec double

Merci!

Au fait, tu seras peut-être surpris de l'apprendre, mais le langage C autorise les noms de variable à plusieurs caractères (les compilateurs doivent supporter jusqu'à 32 caractères minimum). Tu peux donc donner à e un nom plus explicite, comme partieEntiere.

Bonjour

Citation:

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Envoyé par BenDeVil

Si on lance le programme avec 28, le résultat est assez étonnant, c'est une belle erreur d'arrondi :-(

Code:

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1 2 3 4 5 6 7 8 9

Nombre=28 Longueur du nombre:2 Nbr divisé=0.280000 d=d*10=2.800000 e=(int)d=2 d=d-e=0.800000 d=d*10=8.000000 e=(int)d=7 d=d-e=1.000000

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Ben oui. Le nombre doit probablement être 7.9999999 ce qui fait que le printf affiche 8.0000 mais 7 quand tu le castes en int.

Si tu es sous un Linux, tape "Python" dans une fenêtre console (shell). Tu verras une invite de ce type ">>>" t'invitant à taper des instructions Python
Là tu tapes

• a=28/10.0
• a
• a=a-int(a)
• a
• a*10

Et tu verras 7.999999999998

Ce problème est inhérent à tous les langages qui utilisent le principe de la mantisse et de l'exposant pour coder les nombres à virgule. Il n'y a que le vieux et archaïque COBOL qui s'en sort bien avec son pic 9(x)v9(y) permettant de définir des nombres avec x digits dont y après la virgule. C'est une des raisons majeures qui font qu'il est encore utilisé dans les banques.

Ceci dit, il existe des librairies spécialisées dans le calcul en précision exacte des nombres décimaux. Sous Python justement t'as la librairie "decimal" pour ça. En C il en existe aussi (dont j'ai pas le nom en tête). Globalement le principe est le même: chaque digit du nombre occupe une case entière => 2.8 devient "2" et "8". Puis chaque case est calculée lors des opérations exactement de la même façon qu'on apprend à le faire au primaire.

Je veux bien comprendre qu'il peut y avoir des erreurs d'arrondis, mais dans ce cas si, mathématiquement parlant, il ne peut pas y en avoir. Ce ne sont que des divisions et des multiplications de puissance de 10!

Est-ce que ça voudrait dire qu'à la base, le C est incapable de faire quelques calculs? Parce qu'il faut bien l'avouer, mon algorithme est assez basique. Ou il y a peut être un truc qui m'échappe.

Le C n'est pas en cause, ces artefacts sont inhérents à la représentation IEEE 754. Contrairement aux entiers, les nombres à virgule flottante ne sont pas conçus pour représenter exactement n'importe quel réel d'un intervalle donné. 0.1 par exemple n'est pas représentable, seule une approximation est disponible. La lecture de ce document t'apportera toutes les informations nécessaires.

Si tu as besoin d'effectuer des calculs exacts (pour une application financière par exemple), il faut définir et utiliser un type spécifique. Sve@r t'as donné quelques pistes en ce sens.

Le problème, c'est que le calcul à virgule flottante IEEE n'est pas fait en base 10, mais en base 2.
Il faudrait donc des puissances de 2 plutôt que 10, pour être sûr d'éviter des erreurs d'arrondi.

J'ai résolu le problème en modifiant la ligne

Code:

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e=(int)(d+0.001);

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Un grand merci pour votre aide!

@Matt_Houston, ce lien est très intéressant! Merci! :-)

La formule de l'arrondi serait plutôt int round(double d) { return (int)(d + 0.5); }. Il est aussi envisageable d'utiliser round (de math.h).

Citation:

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Envoyé par BenDeVil

Je veux bien comprendre qu'il peut y avoir des erreurs d'arrondis, mais dans ce cas si, mathématiquement parlant, il ne peut pas y en avoir. Ce ne sont que des divisions et des multiplications de puissance de 10!

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Parce que toi tu travailles en base 10 ça tombe juste. L'ordi, lui, travaille en base 2 de la façon suivante (pour la partie décimale):

• multiplier la partie décimale par 2
• récupérer la partie entière du résultat
• mettre cette partie entière à 0 et si le résultat ne fait pas 0, alors recommencer

Le nombre décimal en base 2 est alors l'ensemble concaténé de toutes les parties entières récupérées

Exemple: 0.6875
0.6875 * 2 = 1.375 => garder 1 et réutiliser 0.375
0.375 * 2 = 0.75 => garder 0 et laisser 0.75
0.75 * 2 = 1.5 => garder 1 et réutiliser 0.5
0.5 * 2 = 1.0 => garder 1 et réutiliser 0.0. Ce qui reste faisant alors 0, on s'arrête. Et on a alors 0.6875 (base 10) = 0.1011 (base 2)

Mais parfois ça ne tombe pas juste. Autre exemple: 0.9
0.9 * 2 = 1.8 => garder 1 et réutiliser 0.8
0.8 * 2 = 1.6 => garder 1 et réutiliser 0.6
0.6 * 2 = 1.2 => garder 1 et réutiliser 0.2
0.2 * 2 = 0.4 => garder 0 et laisser 0.4
0.4 * 2 = 0.8 => garder 0 et laisser 0.8
0.8 * 2 = ... et vlan, boucle infinie !!!
Donc 0.9 (nombre décimal parfaitement manipulable par un gamin de 10 ans) se traduit en binaire par 0.11100 1100 1100 1100 1100 ... (à l'infini). Mais comme un ordi ne peut pas coder à l'infini et doit fatalement s'arrêter (pour l'exemple on va dire à 0.11100 1100) alors si on retransforme ce nombre en base 10, ça donne 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/64 + 1/128 soit 0.8984375 ce qui est très proche de 0.9 mais qui n'est pas exactement ce nombre et ne le sera jamais (même si la précision réelle va au-delà de mes 9 décimales d'exemple le principe reste le même).

PS: tu remarqueras que pour mon premier exemple, je suis parti de 1/2+1/4+1/16 pour tomber juste (et avoir une suite de "1" et de "0" non symétrique pour que tu voies bien dans quel ordre on affiche le résultat); ce qui est exactement ce que préconise Medinoc avec ses puissances de 2...

Citation:

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Envoyé par BenDeVil

Est-ce que ça voudrait dire qu'à la base, le C est incapable de faire quelques calculs?

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Exactement. Et ce n'est pas que le C (voir mon exemple Python). Pour être précis ces langages sont incapables de travailler les nombres décimaux avec l'exactitude qu'on devrait avoir. Alors dans la vie de tous les jours d'un développeur (faire sa petite bdd pour gérer ses DVD de Babar ou afficher le pourcentage de visiteurs de sa chaine youtube) ça n'a pas d'influence mais quand tu commences à vouloir calculer un remboursement immobilier ça devient bien plus chaud.