[MATH] Equations cartésienne d'un plan

Bonjour bonjour,

Je sais pas si je peux poster ça ici mais je coince alors j'essaie, au pire supprimez le message.

Je m'adresse aux mathématiciens de ce site, je suis sur qu'il y en a.

En fait, j'ai un problème de maths que je comprend pas comment faut faire, et google ne m'a pas tellement aidé :'(

Je chercher comment trouver l'équation cartésienne d'un plan (ax+by+cz+d=0) en connaissant 3 points qui forment ce plan :
A(0;0;0), B(4;2;-1), C(1;-2;5).

Si quelqu'un pouvait m'aider ça serait super sympa ;)

Merci d'avance

Ben, habituellement les matheux du site sont sur le forum algorithmique générale, mais c'est moins fréquenté que la taverne, je crois :mouarf:.

Tu poses un systèmes d'équations (inconnues a, b, c et d) en remplaçant x y et z par leurs valeurs dans l'équation du plan. Normalement ça suffit.

Toi ça te donne :

Code:

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1 2 3

d = 0 4a + 2b - c + d = 0 a -2b + 5c + d = 0

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L'embêtant c'est qu'il y a 3 équations et 4 inconnues, donc tu devrais avoir une infinité de solutions (alors que 3 points définissent un plan unique donc une solution unique).

Ca fait trop longtemps, l'algèbre.

[EDIT] en fait non, c'est normal ! Pour un seul plan il existe un infinité d'équations qui le décrivent. Pour arriver à une solution unique, tu rajoutes une contrainte de la forme "a = 1" ou ce que tu veux (pas de zéro par contre)

pozzy, connais tu le calcul matriciel ?

hmm pas encore, mais je viens de retrouver la méthode ;)

Je la mets pour si ça intéresse qqun on sait jamais :D

A(1;2;3) B(7;0;-3) C(8;-12;4)

1*a + 2*b + 3*c = d
7*a + 0*b - 3*c = d
8*a - 12*b + 4*c = d

==> d=lambda ==>
a = (43/196)*lambda
b = (6/49)*lambda
c = (5/28)*lambda

==> plus petit dénominateur commun = 196 ==>
a = 43*lambda
b = 24*lambda
c = 35*lambda
d = 196*lambda
==> 43x+24y+35z=196

Et voila lol

shadowmoon, je sais pas pourquoi mais je suis sur que t'as une méthode sur 2 lignes qui peut m'interesser :D

en effet, ce problème est un grand classique du calcul matriciel, donc tu le verra forcemment si tu fais des maths en post-bac

Attention, si tu prends d = lambda, pour ton exemple du début, ça plante :|

Ce plan est un plan // à ax+by+cz=0, en gros (a,b,c) est orthogonal à (x,y,z).
Pour trouver a, b, c, il suffit de prendre (a,b,c) = AB^AC
Et ensuite pour d, on prend A par exemple et on remplace pour trouver la bonne valeur.

Calculer les coordonnées du vecteur AB (différences)
Calculer les coordonnées du vecteur AC (idem)
M(x,y,z) étant le point générique du plan
Calculer les coordonnées de AM
Exprimer que M appartient au plan A,B,C
en écrivant
dét(AM,AB,AC)=0
pas d'équation à résoudre, pas de "noramlisation" des coefficients à prévoir
Suffit de calculer le déterminant de trois vecteurs.
Par exemple "à la bourin", somme alternées de 6 termes qui sont tous des produits de 3 facteurs.

Citation:

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A(0;0;0), B(4;2;-1), C(1;-2;5).

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les points M du plans vérifient
AM = a*(AB) + b*(AC)
donc le plan cherché vérifie
- AM * ( AB ^ AC ) = 0 ( donne le plan vectoriel )
- passe par A ( pour la le plan affine )
( ^ produit vectoriel, * produit scalaire )

Citation:

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Envoyé par Zavonen

dét(AM,AB,AC)=0

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Citation:

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Envoyé par j.p.mignot

AM * ( AB ^ AC ) = 0

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Deux fois la même chose dite différemment ;)
En gros : n=AB ^ AC donne un vecteur perpendiculaire au plus et donc à AM. L'ensemble des points M vérifiant AM perpendiculaire à n est donc le plan qu'on souhaite, d'où AM*n=AM * ( AB ^ AC ) = 0

notes :
1) AM * ( AB ^ AC ) s'appelle le produit mixte donne un vecteur dont la norme est le volume du parallélépipède rectangle donc les arrêtes sont les vecteurs AM AB et AC.
2) dans un espace à trois dimensions, le déterminant correspond au produit mixte.

Citation:

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Envoyé par troumad

Deux fois la même chose dite différemment ;)
En gros : n=AB ^ AC donne un vecteur perpendiculaire au plus et donc à AM. L'ensemble des points M vérifiant AM perpendiculaire à n est donc le plan qu'on souhaite, d'où AM*n=AM * ( AB ^ AC ) = 0

notes :
1) AM * ( AB ^ AC ) s'appelle le produit mixte donne un vecteur dont la norme est le volume du parallélépipède rectangle donc les arrêtes sont les vecteurs AM AB et AC.
2) dans un espace à trois dimensions, le déterminant correspond au produit mixte.

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Sauf que le déterminant de trois vecteurs, peut être défini dans tout espace vectoriel de dimension 3 sur n'importe quel corps de caractéristique non nulle (forme trilinéaire alternée). L'autre possiblité fait intervenir une structure plus riche, celle d'espace euclidien, avec une forme bilinéaire définie positive, un produit scalaire, définissant lui-même une norme, donc une distance, une métrique, une topologie, etc...
Pour R3, ou tout espace isomorphe (tout espace de dimension 3 sur R) cela revient au même strictement.
Ma définition donne immédiatement l'équation d'un "plan" dans C3 (lequel correspond à un espace de dimension 4 sur R). L'autre méthode conduit à la définition d'une forme hermitienne, d'un espace hilbertien, etc...
Il faut toujours être économe de moyens, because la couche d'ozone, le CO2 etc...

J'ai l'impression de revoir mes cours de sup et spé ! Ou même de prépas agreg ;)
Je préfère resté plus terre à terre dans les explications : le commun des mortels comprends mieux ce qui se passe. On aurait été en dehors de R3, il l'aurait dit !

Citation:

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Deux fois la même chose dite différemment

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évidemment! l'équation d'1 plan reste l'équation d'1 plan quelquesoit la façon de présenter.
Je dirais de manière + générale que l'équation d'un hyperplan ( espace de dimension n-1 dans un espace de dimension n comme droite en 2D, plan en 3D ... ) [ Des ° + élevés sont par exemple très facile à imaginer dans des espaces vectoriels commes les polynômes de deg <= m ]
se résume écrire N orthogonal, N étant la direction de la droite ( dimension 1 restante ) orthogonale à l'hyperplan.

L'équation générale d'un plan est ax + by + cz + d = 0
Si le plan passe par 3 points A, B et C alors si M appartient à ce plan le vecteur AM doit être une combinaison linéaire des vecteurs AB et AC. Ce qui entraine (AB ^ AC) . AM = 0 autrement écrit : (AB, AC, AM) = 0 (produit mixte).

N.B. le produit mixte de 3 vecteurs est le volume du parallélogramme engendré par eux. La forumule c'est (u, v, w) = det(u, v, w)

En résultat final on a:
a = (yB - yA)(zC - zA) - (zB - zA)(yC - yA)
b = - ( (xB - xA)(zC - zA) - (zB -zA)(xC - xA) )
c = (xB - xA)(yB - yA) - (yB - yA)(xC - xA)
d = - (a.xA + b.yA + c.zA)

Dans d, on peut utiliser les coordonnées de A, de B ou de C puisqu'ils appartiennent tous au plan

Citation:

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Envoyé par Melem

N.B. le produit mixte de 3 vecteurs est le volume du parallélogramme engendré par eux. La forumule c'est (u, v, w) = det(u, v, w)

En résultat final on a:
a = (yB - yA)(zC - zA) - (zB - zA)(yC - yA)
b = - ( (xB - xA)(zC - zA) - (zB -zA)(xC - xA) )
c = (xB - xA)(yB - yA) - (yB - yA)(xC - xA)
d = - (a.xA + b.yA + c.zA)

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Bonjour,

Mieux vaut tard que jamais, mais j'ai trouvé une erreur dans ce produit mixte. Donc je corrige en me disant que d'autres qui comme moi tomberont sur cette page seront sûrement contents d'obtenir les bons coeff pour l'équation de leur plan :)

En résultat final on a:
a = (yB - yA)(zC - zA) - (zB - zA)(yC - yA)
b = - ( (xB - xA)(zC - zA) - (zB -zA)(xC - xA) )
c = (xB - xA)(yC - yA) - (yB - yA)(xC - xA) //correction
d = - (a.xA + b.yA + c.zA)


Merci en tout cas pour cette méthode du produit mixte qui s'avère bien pratique et très rapide !

Citation:

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Envoyé par PoZZyX

hmm pas encore, mais je viens de retrouver la méthode ;)

Je la mets pour si ça intéresse qqun on sait jamais :D

A(1;2;3) B(7;0;-3) C(8;-12;4)

1*a + 2*b + 3*c = d
7*a + 0*b - 3*c = d
8*a - 12*b + 4*c = d

==> d=lambda ==>
a = (43/196)*lambda
b = (6/49)*lambda
c = (5/28)*lambda

==> plus petit dénominateur commun = 196 ==>
a = 43*lambda
b = 24*lambda
c = 35*lambda
d = 196*lambda
==> 43x+24y+35z=196

Et voila lol
:D

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je m'excuse j'ai arrêté les cours il y a 30ans mais les points citézs A,B,C du départ ne devraient pas vérifié l'équation ? A(0,0,0) 43x+24y+35z=196 =>-196
autre question ne peut on pas trouver b et a avec des définitions de droites passant par les points donnés?

Citation:

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Envoyé par Daranc

je m'excuse j'ai arrêté les cours il y a 30ans mais les points citézs A,B,C du départ ne devraient pas vérifié l'équation ? A(0,0,0) 43x+24y+35z=196 =>-196

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Certes, mais (0,0,0) n'est pas un des 3 points cités. :D

Citation:

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Certes, mais (0,0,0) n'est pas un des 3 points cités.

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Citation:

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Je chercher comment trouver l'équation cartésienne d'un plan (ax+by+cz+d=0) en connaissant 3 points qui forment ce plan :
A(0;0;0), B(4;2;-1), C(1;-2;5).

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8O j'ai lâché où? :calim2:

Citation:

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Envoyé par Daranc

8O j'ai lâché où? :calim2:

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Il a changé les coordonnées au post #4 ;)

j'y rplonge:lol:

Bonjour
j'en remet une couche
après m'être fait une hernie cervicale
(et ne pas avoir compris la demo)
les points donnés au départ A(0,0,0) ; B(4,2,-1) ; C(1,-2,5)
z=f(x,y)
équation cartésienne du plan ax+by+cz+d=0
point A => d=0
se réduit à deux équations à deux inconnues
-1=4a+2b
5=a-2b
addition membre à membre => 4=5a d'ou a=4/5
5=4/5-2b => b=-21/10

4/5*x-21/10*y-z=0

non ? ou est-ce que je me goure dans mon raisonnement