Savoir si la racine carrée d'un nombre est un nombre entier.

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07/06/2014, 16h54
fred61

Savoir si la racine carrée d'un nombre est un nombre entier.

Bonjour,

La question est dans le titre, je voudrai écrire une fonction optimisée me renvoyant si la racine carrée d'un nombre est un nombre entier ou non, mais je ne sais pas comment m'y prendre ?

Merci.
07/06/2014, 21h47
Obsidian

Bonjour,

Est-ce un exercice scolaire ou est-ce juste pour le défi ?

Je ne pense pas qu'il y ait plus efficace, pour répondre à cette question, que calculer directement la racine dudit nombre. C'est une opération arithmétique qui ressemble à la division euclidienne sur papier et dont la complexité est proportionnelle au nombre de chiffres. En revanche, si tu sais que la racine est déjà contenue dans un intervalle limité de nombres entiers (par exemple entre 1 et 100), alors tu peux procéder par dichotomies successives, comme quand tu recherches une valeur dans une liste, à ceci près que tu compareras à x² au lieu de x seul (calculer le produit de x à chaque itération est trivial).
07/06/2014, 23h42
fred61

Non ce n'est pas un exercice scolaire, il y a longtemps que j'ai quitté l'école, je fais juste des recherches personnelles (à temps perdu) sur les nombres premiers , et mes recherches m'ont amené à savoir si une racine carré d'un nombre et entier ou non.
J'utilise la fonction sqrt() de math.h mais ça ne me permet pas de savoir si le nombre est entier ou non, il doit surement y avoir une astuce simple pour savoir ça.
08/06/2014, 01h22
Obsidian

Si. sqrt() te renvoie un double, c'est-à-dire un nombre réel, qui lui peut être entier ou pas.

Si tu veux savoir si un réel, float ou double, est entier en lui-même, indépendamment des différentes fonctions, tu peux par exemple utiliser rint() qui arrondit un réel à l'entier le plus proche. Il te suffit alors d'écrire if (x == rint(x))

Hello,

Si tes nombres en entrée sont des flottants, alors tu peux éliminer tous ceux qui ne sont pas entiers.

Il est aussi certainement possible d'éliminer rapidement certains nombres avec une lookup table : en décimal on sait qu'un carré se termine par 0, 1, 4, 5, 6 ou 9, c'est surement (j'ai pas la démonstration, mais ça me semble logique :aie:) pareil en binaire.

Code:

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inline unsigned int fastSqrt(unsigned int n) {
	// http://blog.quenta.org/2012/09/0x5f3759df.html
	float nhalf = 0.5f * n;
	int i = int(n);
	i = 0x1fbd1df5 - (i >> 1);
	float x = *(float*)&i;
	x = x*(1.5f-(nhalf * x * x));
	return unsigned int(x);
}
 
inline bool isSqrtInt(unsigned int n) {
	// exemple avec une table vérifiant les 3 derniers bits (8 entrées)
	// ça peut bien sur s'agrandir, en gardant une taille raisonnable pour que
	// la table tienne entièrement en cache L1.
	// 8 bits -> 256 entrées -> 1ko, 2ko en 64 bits (? sizeof(bool)  == 1, mais ça sera aligné sur 4/8 octets)
	// est probablement une taille correcte.
 
	// seuls les 3 bits de poids faible du résultat sont importants
	// 000 x 000 = 000
	// 001 x 001 = 001
	// 010 x 010 = 100
	// 011 x 011 = 001
	// 100 x 100 = 000
	// 101 x 101 = 001
	// 110 x 110 = 100
	// 111 x 111 = 001
	static const bool lut[] = {
		true,  // 000
		true,  // 001
		false, // 010
		false, // 011
		true,  // 100
		false, // 101
		false, // 110
		false  // 111
	};
	if(lut[n & 7]) {
		unsigned int sq = fastSqrt(n);
		return sq*sq == n;
	}
	return false;
}

Il est aussi possible de stocker tous les carrés (si les nombres que tu testes sont dans un petit intervalle bien sur).

Citation:

Envoyé par Iradrille

en décimal on sait qu'un carré se termine par 0, 1, 4, 5, 6 ou 9, c'est surement (j'ai pas la démonstration, mais ça me semble logique :aie:)

Bonjour

La démonstration est facile: un chiffre entier se terminant par 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9, son carré se terminera par 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4 ou 1 soit 0, 1, 4, 5, 6 ou 9.

Une démonstration ne se fait pas obligatoirement qu'avec des x et des y. Si l'ensemble de départ est un ensemble fini et dénombrable, alors t'as tout à fait le droit d'examiner chaque élément de l'ensemble de départ pour regarder s'il vérifie la propriété à démontrer. Et si tous la vérifient alors QED.
Généralement les propriétés à démontrer se font sur des ensembles infinis donc là, forcément, on est obligé de symboliser les éléments par des lettres. Mais quand on a la chance de tomber sur un cas fini, alors faut pas laisser passer l'occasion de briller facilement :mrgreen:

Sinon pour la question initiale ben puisqu'on ne travaille qu'avec des entiers, moi j'éliminerais l'utilisation des flottants (toujours très longue) et je calculerais la racine carrée entière du nombre initial. Ca, ça peut se faire avec la formule de Heron (limite de la suite Un+1=1/2(Un+N/Un))
Code:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 unsigned short racine2(unsigned long n) { unsigned long U[3]={0, 0, 1}; // Les 3 derniers calculs Un if (n == 0 || n == 1) return n; // Elimine les cas triviaux while (1) { U[0]=U[1]; // Décalage 3 derniers calculs U[1]=U[2]; U[2]=(U[1] + n/U[1]) >> 1; // Calcule le résultat actuel (Un). Un décalage de bits donne le même résultat qu'une divison par 2. // Si le dernier calcul est égal à un des deux précédents, on a atteint la limite de la suite if (U[2] == U[1] || U[2] == U[0]) return U[2]; } }
Bon, j'ai quand-même dû adapter aux nombres entiers. Parce qu'avec des flottants suffit de ne comparer que l'avant dernier élément de la suite avec le dernier mais avec des entiers, faut regarder les deux avant-derniers (sinon on tombe dans une boucle infinie x-1/x+1).
Et en plus le calcul n'est pas parfait. Par exemple, pour 35, il renvoie 6. La logique et les règles de calcul voudraient qu'il renvoie 5 mais les aléas de la suite (qui alterne avec pluspetit/plus grand) font qu'à ce moment c'était sur un "plus grand".
Toutefois pour les carrés parfait le calcul semble bon (testé sur les 65536 premiers carrés).
Et en ce qui concerne le nombre d'itérations dans la recherche de la racine, la plus grande concerne la racine de 666465852 qui fait faire 21 itérations.

Ensuite suffit de regarder si le carré du nombre renvoyé est égal au nombre initial...

Sinon il y a une autre solution qui part de la plage de valeur des nombres traités. Si tu travailles avec des unsigned short (65536 valeurs), tu n'auras que 256 carrés parfaits. Donc facile à mettre dans un tableau puis ensuite regarder si un de tes nombres s'y trouve.
Si maintenant tu travailles avec des unsigned long (4294967296 valeurs) ça te fait 65536 carrés parfaits. Toujours possible mais plus long...

08/06/2014, 10h50
Iradrille

Citation:

Envoyé par Sve@r

La démonstration est facile: un chiffre entier se terminant par 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9, son carré se terminera par 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4 ou 1 soit 0, 1, 4, 5, 6 ou 9.

Une démonstration ne se fait pas obligatoirement qu'avec des x et des y. Si l'ensemble de départ est un ensemble fini et dénombrable, alors t'as tout à fait le droit d'examiner chaque élément de l'ensemble de départ pour regarder s'il vérifie la propriété à démontrer. Et si tous la vérifient alors QED.
Généralement les propriétés à démontrer se font sur des ensembles infinis donc là, forcément, on est obligé de symboliser les éléments par des lettres. Mais quand on a la chance de tomber sur un cas fini, alors faut pas laisser passer l'occasion de briller facilement :mrgreen:

Ho bah je l'avais en fait la démonstration, je savais juste pas que ça suffisait :mrgreen: (cf. mon code).

Pour le fait de travailler avec des entiers, à tester mais je pense que d'utiliser des float et le trick assez connu pour avoir une bonne valeur de départ pour l'algo de Heron sera plus rapide vu qu'une ou deux itérations seulement donnent une approximation correcte.

Merci pour vos réponses, j'ai trouvé une solution de mon coté qui fonctionne bien.
Code:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 int main (void) { long int nombre; float rc, arrondi; nombre=361; rc=sqrt(nombre); arrondi=floor(rc); if(rc-arrondi==0) { printf("entier\n");} else {printf("Pas entier\n") ;} return 0 ; }
C'est une solution simple mais ça fonctionne.

08/06/2014, 13h21
fred61

Vous savez quelle méthode utilise la fonction sqrt() de math.h pour calculer la racine carré ?
08/06/2014, 13h26
Sve@r

Citation:

Envoyé par Iradrille

...avoir une bonne valeur de départ pour l'algo de Heron sera plus rapide vu qu'une ou deux itérations seulement donnent une approximation correcte.

Le mieux (Tyrtamos me l'a appris) c'est de partir d'un nombre déjà proche de la racine cherchée.
Lui, il part de 10^(nb_chiffres/2). Et à partir de là, calculer la racine d'un nombre contenant 10000 chiffres ne prend que 13 itérations (contre 16634 si on part de 1 ou si on part du nombre initial)...

Citation:

Envoyé par fred61

Code:

if(rc-arrondi==0)

C'est une solution simple mais ça fonctionne.

Attention toutefois à l'imprecision des nombres flottants. C'est un problème qui est lié non pas au langage mais à la façon dont l'ordi converti un nombre flottant en base 2. Il peut arriver que la conversion ne soit pas possible avec exactitude (dans le cas où le nombre ne peut pas s'exprimer sous la forme d'une fraction de 1 par une puissance de 2). Ainsi 0.24 sera vu par l'ordinateur comme 0.239999999.

Et donc dans cette imprécision, une soustraction de deux nombres théoriquement égaux peut ne pas donner 0. Donc quand on veut vérifier l'égalité de deux flottants, vaut mieux regarder si leur différence est plus petite qu'epsilon (à définir)...

Citation:

Envoyé par fred61

Vous savez quelle méthode utilise la fonction sqrt() de math.h pour calculer la racine carré ?

A vue de pieds je pencherais pour les log. ln(sqrt(x))=1/2ln(x). Avec une table des logarithmes et des exponentielles et le tour est joué...
08/06/2014, 15h38
fred61

Citation:

Envoyé par Sve@r

Attention toutefois à l'imprecision des nombres flottants. C'est un problème qui est lié non pas au langage mais à la façon dont l'ordi converti un nombre flottant en base 2. Il peut arriver que la conversion ne soit pas possible avec exactitude (dans le cas où le nombre ne peut pas s'exprimer sous la forme d'une fraction de 1 par une puissance de 2). Ainsi 0.24 sera vu par l'ordinateur comme 0.239999999.

Et donc dans cette imprécision, une soustraction de deux nombres théoriquement égaux peut ne pas donner 0. Donc quand on veut vérifier l'égalité de deux flottants, vaut mieux regarder si leur différence est plus petite qu'epsilon (à définir)...

.

Et si je fais :

if (floor(y)==y)

Il ne devrait pas y avoir le problème d’imprécision des nombres flottant non ?
08/06/2014, 15h44
Obsidian

En fait, il faut garder à l'esprit qu'un nombre flottant est limité en taille et vaut « 1,mantisse × 2^exposant ». Donc sa racine carrée vaut forcément « sqrt(1,mantisse) × 2^{exposant ÷ 2} ». Si l'exposant est impair, il suffit de décaler la mantisse d'un bit et de corriger l'exposant en conséquence. À ce stade, calculer la mantisse du flottant revient à calculer celle de sa mantisse seule.

Et pour ce faire, on peut utiliser l'algorithme que l'on utilisait jadis directement sur papier (et dont je ne connais pas le nom), consistant à grouper les chiffres du nombre par paires de part et d'autre de la virgule. Il est tout-à-fait possible de faire cela en binaire avec la mantisse. Les opérations sont alors extrêmement simples en elles-mêmes et le nombre d'itérations ne dépend que de la largeur de la mantisse, ce qui signifie au passage que la durée de l'opération est invariable pour un type donné, quelque soit la valeur extraite.
08/06/2014, 16h31
Sve@r

Citation:

Envoyé par fred61

Et si je fais :

if (floor(y)==y)

Il ne devrait pas y avoir le problème d’imprécision des nombres flottant non ?

Oui, là c'est bon puisque les nombres entiers même mis en flottant n'ont aucun problème d'imprécision.

Citation:

Envoyé par Obsidian

Et pour ce faire, on peut utiliser l'algorithme que l'on utilisait jadis directement sur papier (et dont je ne connais pas le nom), consistant à grouper les chiffres du nombre par paires de part et d'autre de la virgule.

Il s'agit de la méthode de la potence.
Elle est tirée du fait que (a+b)2=a2+2ab+b2. Toutefois c'est déjà un petit travail que de programmer ça en C. Surtout que le calcul, même fait à la main, devient de plus en plus complexe. En effet, le résultat, qui grossit d'un chiffre à chaque itération, est intégralement réutilisé à chaque itération pour trouver le chiffre suivant...
08/06/2014, 18h41
Obsidian

Citation:

Envoyé par Sve@r

Il s'agit de la méthode de la potence.

Merci pour le nom. :ccool:

Citation:

Toutefois c'est déjà un petit travail que de programmer ça en C. Surtout que le calcul, même fait à la main, devient de plus en plus complexe. En effet, le résultat, qui grossit d'un chiffre à chaque itération, est intégralement réutilisé à chaque itération pour trouver le chiffre suivant...

Oui mais ce résultat, dans tous les cas, ne dépasse jamais la taille de la mantisse initiale. Donc, on travaille quand même sur les mêmes formats de registre. cette méthode de la potence consiste, à la première étape, à estimer soi-même le chiffre dont le carré est le plus proche, mais le binaire simplifie encore la chose puisque ce chiffre est forcément 0 ou 1, et que le carré de 1 est 1. Donc, si les deux premiers bits ne sont pas nuls, le premier bit à insérer est un 1.

Ensuite, le reste de l'algorithme consiste à ajouter un chiffre et à multiplier par ce même chiffre. L'ajout d'un chiffre se fait par insertion par la droite, ce qui est aisé en C et devient même trivial en assembleur (avec la possibilité de faire un SHL ou un ROL impliquant la retenue C). Puis on multiplie soit par 0, ce qui revient simplement à sauter l'étape d'addition et passer au tour suivant, soit par 1 ce qui permet quand même de se passer de la multiplication. C'est d'ailleurs cette méthode qu'utilisait le BASIC de mon vieux TO8D.

Enfin, c'est plus efficace que l'approche par le logarithme et l'exponentielle si c'est également à toi de coder ces fonctions. Mon Thomson, toujours lui, utilisait des approximants de Padé pour y parvenir. Ça fonctionnait très bien, mais ça restait coûteux. Par contre, c'est naturellement la voie suivie pour calculer tout « x^y » avec x,y ∈ ℝ. Calculer une racine carrée ne consiste alors plus qu'à élever à la puissance 1÷2.
08/06/2014, 20h48
Sve@r

Citation:

Envoyé par Obsidian

Enfin, c'est plus efficace que l'approche par le logarithme et l'exponentielle...

Ici j'ai trouvé un paquet d'algo(rithmes pour éviter à notre ami LittleWhite de corriger mes posts 8-)) de racine carrée implémentés en C.

Il y en a un paquet dont je n'arrive même pas à entrevoir la théorie qui les sous-tend...:weird:

Il y a celle de J. Carmack :mrgreen: :mrgreen:

Mais d'après Wiki, la fonction inverse est illégale en C++03

Code:

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float SquareRootFloat(float number) {
    long i;
    float x, y;
    const float f = 1.5F;
 
    x = number * 0.5F;
    y  = number;
    i  = * ( long * ) &y;
    i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 );
    y  = * ( float * ) &i;
    y  = y * ( f - ( x * y * y ) );
    y  = y * ( f - ( x * y * y ) );
    return number * y;
}
 
 
// Inverse
float Q_rsqrt( float number ) {
    long i;
    float x2, y;
    const float threehalfs = 1.5F;
 
    x2 = number * 0.5F;
    y  = number;
    i  = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking
    i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?
    y  = * ( float * ) &i;
    y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
    // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed
 
    #ifndef Q3_VM
    #ifdef __linux__
      assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?
    #endif
    #endif
    return y;
}
 
// Inverse plus performante de Chris Lomont
float InvSqrt(float x) {
  float xhalf = 0.5f*x;
  int i = *(int*)&x; // get bits for floating value
  i = 0x5f375a86- (i>>1); // gives initial guess y0
  x = *(float*)&i; // convert bits back to float
  x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy
  return x;
}