ACP avec variables complexes

Bonjour à tous,

Sur une matrice ayant comme éléments des nombres complexes je souhaiterai effectuer une ACP. Je commence par déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de cette matrice. Mais mon souci c'est que j'obtiens des valeurs propres complexes et que dans C on ne peut pas les ordonnées. De fait je peut pas déterminer la composante principale associée à la plus grande valeur propre, ni déterminer le pourcentage de variabilité de chaque composante.
Comment puis-je effectuer une ACP sur ce type de matrice ?
Comment déterminer la première composante principale ?
Existe t-il des conditions qui me permettrait d'obtenir des valeurs propres réelles ?

Salut!

Citation:

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Je commence par déterminer les valeurs propres

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Est-ce qu'il ne faudrait pas plutôt déterminer les valeurs singulières?
Jean-Marc Blanc

Merci, je viens d'avoir la même idée.

En effet, les valeurs singulières correspondront à la racine carrée des valeurs propres et l'une des matrices des vecteurs singuliers est identique à la matrices des vecteurs propres.
Cependant existe t-il une explication au fait de l'utilisation de la svd pour faire l'ACP ?

Comment calcule tu ta matrice de covariance ? Cela devrait être

C = 1/N sum_i (zi - <z>) ( zi - <z>)'

où <z> est la valeur moyenne et où le " ' " désigne la conjuguaison complexe (transposition plus conjuguaison des éléments). Définie de cette façon la matrice résultant est forcément Hermitique et ses valeurs propres sont forcément réelles.

Attention également lorsque tu effectueras la projection à bien utiliser la conjuguaison complexe au lieu de la transposition.

La matrice de var-cov je la calcule de cette façon :
Soit M ma matrice de données centrée (ou centrée réduite) et V la matrice de var-cov associée, V = M*M où M* est la matrice adjointe de M (transconjuguée de M).

J'ai calculé ensuite les vecteurs propres et valeurs propres de V avec la librairie C++ Eigen3 et qui m'a fournie des valeurs propres complexes (malgré le fait que V soit hermitienne). N'étant pas spécialiste du calcule numérique je n'ai pas regardé quel algo a été implémenté par Eigen.
J'ai simplement chercher un autre moyen d'obtenir les vecteurs et valeurs propres. L'ACP étant généralement implémentée à l'aide la svd et ayant fait ces preuves avec des matrices complexes, j'ai suivi le mouvement.

Les "solvers" ont généralement des méthodes spécialisées pour les matrices hermitiennes. Il existe "SelfAdjointEigenSolver" dans Eigen.

Je te remercie je ne le savais pas.

Dis moi, le sens des vecteurs propres que l'on obtient est aléatoire et dépend de la librairie que l'on a utilisé pour les calculer. Connaîtrais-tu une méthode ou un critère qui permet de fixer le sens de ces vecteurs ?

Je ne pense pas qu'il y ait en général de convention. Si les vecteurs propres ont une signification particulière, il peut y avoir des conventions du genre la première composante positive.