résolution de polynôme du 3ème degrés , erreur ?

Hello

Je recherche les racines du polynôme suivant :

(-x^3) + (22*x^2) - (136*x) - (2560/27)

Problème je dois trouver des valeurs entières (c'est à dire si x était égal à 0,333 ... je doit mettre 1/3 etc ... )

Merci de me tuyauter :ccool:

Bonjour,

wolfram donne 1 solution réelle (non rationelle) et deux solutions imaginaires.

Code:

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670

unit Unit1;   interface   uses Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs, StdCtrls, Buttons, ExtCtrls, OleCtrls, ToolWin, ComCtrls, TeEngine, Series, TeeProcs, Chart, BubbleCh;   type TForm1 = class(TForm) BitBtn1: TBitBtn; BitBtn2: TBitBtn; dg: TRadioGroup; Panel1: TPanel; GroupBox1: TGroupBox; A0: TPanel; A1: TPanel; A2: TPanel; A3: TPanel; A4: TPanel; Timer1: TTimer; edit0: TEdit; Edit2: TEdit; Edit3: TEdit; Edit1: TEdit; Edit4: TEdit; Panel2: TPanel; GroupBox2: TGroupBox; Panel3: TPanel; S1: TPanel; S2: TPanel; S3: TPanel; S4: TPanel; Edit5: TEdit; Edit6: TEdit; Edit7: TEdit; Edit8: TEdit; Edit9: TEdit; Memo1: TMemo; Courbe: TGroupBox; Shape1: TShape; Chart1: TChart; Series1: TLineSeries; Series2: TLineSeries; Series3: TPointSeries; Panel4: TPanel; Panel5: TPanel; procedure BitBtn1Click(Sender: TObject); procedure FormCreate(Sender: TObject); procedure dgClick(Sender: TObject); procedure Timer1Timer(Sender: TObject); procedure BitBtn2Click(Sender: TObject); private { Déclarations privées } public { Déclarations publiques } end;   var Form1: TForm1;   implementation   {$R *.DFM}   procedure TForm1.BitBtn1Click(Sender: TObject); begin application.terminate end;   procedure edtv( sender : Tobject); begin with Form1 do begin edit0.visible:=A0.visible; edit1.visible:=A1.visible; edit2.visible:=A2.visible; edit3.visible:=A3.visible; edit4.visible:=A4.visible; S1.visible:=A1.Visible; S2.visible:=A2.Visible; S3.visible:=A3.Visible; S4.visible:=A4.Visible; edit6.visible:=A1.Visible; edit7.visible:=A2.Visible; edit8.visible:=A3.Visible; edit9.visible:=A4.Visible; end end; function strx( f : single; i,j : byte) : string; var t : string; begin str(f:i:j,t); strx:=t; end; function istx( b : byte) : string; var t : string; begin str(b,t); istx:=t; end;   procedure no_ans( sender : Tobject); begin with Form1 do begin   edit5.text:='----'; edit6.text:='----'; edit7.text:='----'; edit8.text:='----'; edit9.text:='----'; end end; const epsilon = 1e-15; function ArcSin(x : extended): extended; begin if (x > 1-epsilon ) then arcsin :=pi/2 else if ( x < -1+epsilon ) then arcsin:=-pi/2 else arcsin:= ArcTan (x/sqrt (1-sqr (x))) end; function Arccos( x : extended) : extended; begin if ( abs(x) < epsilon ) then arccos := pi/2 else if ( x > 0 ) then ArcCos := ArcTan (sqrt (1-sqr (x)) /x) else ArcCos:=pi - ArcTan (sqrt (1 + sqr (x)) /x) end; type s04 = array[0..4] of extended; type sl = record def : boolean; val : extended; end; type sl4 = array[1..4] of sl; var a : extended; _a : s04; sol : sl4; deg, status : integer; str1 : string; procedure mst; var c : byte; begin form1.memo1.lines.clear; for c:=1 to 4 do sol[c].def:=false; end; procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);   begin caption:=' RACINES D '' UNE EQUATION DE DEGRÉ 1 A 4'; align:=alclient; panel4.visible:=false;   series1.clear; series2.clear; series3.Clear;   mst; dg.itemindex:=0; A0.visible:=true; A1.visible:=true; A2.visible:=false; A3.visible:=false; A4.Visible:=false;   edit0.text:=''; edit1.text:=''; edit2.text:=''; edit3.text:=''; edit4.text:='';   no_ans(sender);   edtv(sender); end;   procedure TForm1.dgClick(Sender: TObject); begin timer1.enabled:=true; end;   procedure TForm1.Timer1Timer(Sender: TObject); begin timer1.enabled:=false; case dg.itemindex of 0 : begin A2.visible:=false; A3.visible:=false; A4.visible:=false; end; 1 : begin A2.visible:=true; A3.visible:=false; A4.visible:=false; end; 2 : begin A2.visible:=true; A3.visible:=true; A4.visible:=false; end; 3 : begin A2.visible:=true; A3.visible:=true; A4.visible:=true; end; end; edtv(sender); end; function poly ( _a : s04 ; deg : integer; f : extended) : extended; var r,y : extended; j : integer; begin r:=f; y:=_a[0]; for j:=1 to deg do begin y:=y + _a[j]*r; r:=r*f; end; poly:=y; end; procedure poly_1 ( _a : s04); begin sol[1].def:=true; sol[1].val:=-_a[0]/_a[1]; str(poly(_a,1,sol[1].val),str1); form1.memo1.lines.add(str1); end; procedure poly_2(_a : s04); var d : extended; begin d:=sqr(_a[1])-4*_a[0]*_a[2]; if d < 0 then exit; if (d=0) then begin sol[1].def:=true; sol[1].val:=-_a[1]/(2*_a[2]); str(poly(_a,2,sol[1].val),str1); form1.memo1.lines.add(str1); exit; end; d:=sqrt(d); sol[1].def:=true; sol[1].val:=(-_a[1]+d)/(2*_a[2]); sol[2].def:=true; sol[2].val:=(-_a[1]-d)/(2*_a[2]); str(poly(_a,2,sol[1].val),str1); form1.memo1.lines.add(str1); str(poly(_a,2,sol[2].val),str1); form1.memo1.lines.add(str1); end; function sh(x : extended) : extended; begin sh := (exp(x)-exp(-x))/2; end; function ch(x : extended) : extended; begin ch := (exp(x)+exp(-x))/2; end; procedure poly_3(_a : s04; m : boolean); var a,b,c,lambda3,p,q,alpha,v,xi : extended; begin { p = b - (1/3)*a^2 et q = (2/27)*a^3 - (1/3)*a*b + c } a:= _a[2]/_a[3]; b:=_a[1]/_a[3]; c:=_a[0]/_a[3]; { x^3 + a x^2 + b x + c = 0 } lambda3:=-a/3; p:=b-sqr(a)/3; q:=2/27*a*sqr(a) - a*b/3 + c; if ( p = 0) then { Z^3 = -q } begin sol[1].def:=true; if (q=0) then sol[1].val:=0; if (q < 0) then sol[1].val:=exp(ln(-q)/3)+lambda3; if (q > 0) then sol[1].val:=-exp(ln(q)/3)+lambda3; str(poly(_a,3,sol[1].val),str1); form1.memo1.lines.add(str1); end else { p <> 0 Z^3 + pZ = -q } begin if ( p > 0) then { sh(3t) = 4sh(t)^3 + 3 sh(t) } begin alpha:=sqrt(4*p/3); v:=-3*q/(p*alpha); { 4Z^3 + 3Z = v } v:=ln(v+sqrt(1 + v*v))/3; {recipoque sh } sol[1].def:=true; sol[1].val:=alpha*sh(v)+lambda3; str(poly(_a,3,sol[1].val),str1); form1.memo1.lines.add(str1); form1.panel4.caption:='P>0 SH'; end else { p < 0 } begin alpha:=sqrt(-4*p/3); v:=3*q/p/alpha; { 4Z^3 - 3Z = -V } if ( abs(v) <=1 ) then begin { cos(3t) = 4 cos(t)^3 - 3 cos(t) } str(v,str1); form1.panel4.caption:='P<0 COS V = ' + str1; v:=arccos(v)/3; for status:=1 to 3 do begin sol[status].def:=true; sol[status].val:=alpha*cos(v+2*pi*status/3)+lambda3; str(poly(_a,3,sol[status].val),str1); form1.memo1.lines.add(str1) end end else if (v > 1) then { Z=ch(3t) = 4ch(t)^3 - 3 ch(t) } begin form1.panel4.caption:='P<0 CH'; v:=ln(v+sqrt(v*v-1)); { reciproque ch } sol[1].def:=true; sol[1].val:=alpha*ch(v/3)+lambda3; if m then begin str(poly(_a,3,sol[1].val),str1); form1.memo1.lines.add(str1) end end else { v < -1 Z=-ch(t)} begin form1.panel4.caption:='P<0 -CH'; v:=ln(-v+sqrt(v*v-1)); { reciproque de -ch(t) } sol[1].def:=true; sol[1].val:=-alpha*ch(v/3)+lambda3; if m then begin str(poly(_a,3,sol[1].val),str1); form1.memo1.lines.add(str1) end end end end end; procedure More(var U2,lambda4 : extended; var ns : integer); begin if (U2 =0) then begin inc(ns); sol[ns].def:=true; sol[ns].val:=lambda4; str(poly(_a,4,sol[ns].val),str1); form1.memo1.lines.add(str1); end else if ( U2 > 0 ) then begin U2:=sqrt(U2); inc(ns); sol[ns].def:=true; sol[ns].val:=U2+lambda4; str(poly(_a,4,sol[ns].val),str1); form1.memo1.lines.add(str1); inc(ns); sol[ns].def:=true; sol[ns].val:=-U2+lambda4; str(poly(_a,4,sol[ns].val),str1); form1.memo1.lines.add(str1); end; end; procedure bi_carre_D_Pos(var p,det,U2,lambda4 : extended; var ns : integer); begin det:=sqrt(det); U2:=(-p+det)/2; ns:=0; mst; More( U2,lambda4,ns); U2:=(-p-det)/2; More( U2,lambda4,ns); end; procedure bi_carre_D0(var p,U2,lambda4 : extended; var ns : integer); begin U2 :=-p/2; { solution en Z = Y^2 => y = +- sqrt(U2)} More(U2,lambda4,ns); end; procedure solu_bi_carre( var U2,p,r,lambda4 : extended; var ns : integer); var det : extended; begin mst; ns:=0; str(lambda4,str1); det:=sqr(p) - 4*r; if ( det =0) then bi_carre_D0(p,U2,lambda4,ns) else if ( det > 0 ) then bi_carre_D_Pos(p,det,U2,lambda4,ns); end; procedure bi_carre( var U2,p,r,lambda4 : extended; var ns : integer); var delta : extended; begin { U2 = Y^2, U^2 + pU + r = 0 } delta := sqr(p) - 4*r; if (delta = 0 ) then begin U2:= -p/2; solu_bi_carre(U2,p,r,lambda4 ,ns) end else if ( delta > 0 ) then begin delta:=sqrt(delta); U2:=(-p+delta)/2; solu_bi_carre(U2,p,r,lambda4 ,ns); U2:=(-p-delta)/2; solu_bi_carre(U2,p,r,lambda4 ,ns); end; end; procedure General_deg4(var p,q,r,lambda4 : extended); var _x : S04; P0,Q0,R0 : extended; n, status : integer; sx : sl4;   begin { y^4 + pY^2 + qY + r = 0 , q <> 0 essayons de trouver P0, Q0, R0 tels que (y^2 + P)^2 - (Q0 y +R0)^2 = 0. solutions de l'équation réduite revient à résoudre: y^2 + P0 + Q0 * y + R0 = 0 ou y^2 + P0 - Q0 * y - R0 = 0   les coef doivent satistaire à :   p = 2*P0 - Q0^2 q = -2*Q0*R0 r = P0^2 - R0^2   P0 est alors solution de   P0^3 - (p/2)*P0^2 - r*P0 + p*r/2 - (1/8)*q^2 = 0   } _x[3]:=1; _x[2]:=-p/2; _x[1]:=-r; _x[0]:=p*r/2-sqr(q)/8; poly_3(_x,false); n:=100; for status:=1 to 3 do if sol[status].def then if 2*sol[status].val > p then n:=status; if ( n <> 100 ) then begin P0:=sol[n].val; mst; Q0:=sqrt(2*P0-p); R0:=-q/2/Q0; { 1er equa Y^2 + Q0*Y + P0 + R0 = 0 } _x[2]:=1; _x[1]:=Q0; _x[0]:=P0+R0; poly_2(_x); sx:=sol; { 2eme equa Y^2 - Q0*Y + P0 - R0 = 0 } _x[2]:=1; _x[1]:=-Q0; _x[0]:=P0-R0; poly_2(_x); sx[3]:=sol[1]; sx[4]:=sol[2]; mst; sol:=sx; for n:=1 to 4 do if ( sol[n].def=true) then begin sol[n].val:=sol[n].val+lambda4; str(poly(_a,4,sol[n].val),str1); form1.memo1.lines.add(str1) end end end; procedure poly_4(_a : s04); var a,b,c,d, U2, p,q,r, lambda4 : extended; ns : integer;     begin ns:=0; d:=1/_a[4]; a:=_a[3]*d; b:=_a[2]*d; c:=_a[1]*d; d:=_a[0]*d; lambda4:=-a/4; { x^4 + a x^3 + b x^2 + c x + d = 0   p = b - (3/8)*a^2 ; q = c - a*b/2 + (1/8)*a^3 et r = d - a*c/4 + (1/16)*b*a^2 - (3/256)*a^4 } p:= b - 3/8 * sqr(a); q:= c - a*b/2 + 1/8 * a*sqr(a); r:= d - a*c/4 + b*sqr(a)/16 - 3/256 * sqr(sqr(a)); { y^4 + pY^2 + qY + r = 0 } if ( q = 0) then bi_carre(U2,p,r,lambda4,ns) else General_deg4(p,q,r,lambda4) end; var f,g,xmin,xmax,ymin,ymax : extended; procedure TForm1.BitBtn2Click(Sender: TObject); var str1 : string; i : integer; ch : char; begin { degre = dg.itemindex+1 }   for status:=1 to 4 do sol[status].def:=false; val(form1.edit0.text,_a[0],status); if (status <> 0) then begin edit0.text:='---'; exit; end; val(form1.edit1.text,_a[1],status); if (status <> 0) then begin edit1.text:='---'; exit; end; if (dg.itemindex>=1 ) then begin val(form1.edit2.text,_a[2],status); if (status <> 0) then begin edit2.text:='---'; exit; end; end; if (dg.itemindex>=2 ) then begin val(form1.edit3.text,_a[3],status); if (status <> 0) then begin edit3.text:='---'; exit; end; end; if (dg.itemindex>=3 ) then begin val(form1.edit4.text,_a[4],status); if (status <> 0) then begin edit4.text:='---'; exit; end; end; deg:=dg.itemindex+1; case deg of 1 : a:=_a[1]; 2 : a:=_a[2]; 3 : a:=_a[3]; 4 : a:=_a[4] end; if (abs(a) < 1e-10) then begin case deg of 1 : edit1.text:='***'; 2 : edit2.text:='***'; 3 : edit3.text:='***'; 4 : edit4.text:='***'; end; exit; end; mst; str1:=''; for status:=deg downto 1 do begin   case status of 4 : str1:=str1 + edit4.text + ' X^' + istx(status) + ' '; 3 : str1:=str1 + edit3.text + ' X^' + istx(status) + ' '; 2 : str1:=str1 + edit2.text + ' X^' + istx(status) + ' '; 1 : str1:=str1 + edit1.text + ' X' + ' '; end end; panel5.caption:=' Y = ' + str1 + edit0.text; case deg of 1 : poly_1(_a); 2 : poly_2(_a); 3 : poly_3(_a,true); 4 : poly_4(_a); end; i:=0; for status:=1 to 4 do if sol[status].def then begin str(sol[status].val,str1); inc(i); case status of 1 : edit6.text:=str1; 2 : edit7.text:=str1; 3 : edit8.text:=str1; 4 : edit9.text:=str1; end end else case status of 1 : edit6.text:='%%%%%'; 2 : edit7.text:='%%%%%'; 3 : edit8.text:='%%%%%'; 4 : edit9.text:='%%%%%'; end;   str(i,str1); edit5.text:=str1;   series1.clear; series2.clear; series3.clear;   xmin:=1e35; xmax:=-1e35; for status:=1 to 4 do if sol[status].def then begin if sol[status].val > xmax then xmax:=sol[status].val; if sol[status].val < xmin then xmin:=sol[status].val; end; if (xmin > xmax) then begin xmin:=-10; xmax:=10; end; if (xmax-xmin < 5) then begin f:=(xmin+xmax)/2; xmin:=f-2.5; xmax:=f+2.5; end;   xmin:=xmin-0.5; xmax:=xmax+0.5; f:=(xmax-xmin)/500; for status:=0 to 500 do begin g:=xmin + f*status; series1.AddXY(g,poly(_a,deg,g),'',clred); series2.AddXY(g,0,'',clgreen); end; for status:=1 to 4 do if sol[status].def then begin series3.AddXY(sol[status].val,0,'',clblue); end;   end;   end.

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Ci-dessus un petit code en delphi pour résoudre analytiquement (c.a.d pas par approximation succécive) les équations de degré <=4

Pour le degré 3 a3x^3 + a2x^2 + a1x + a0=0
voici le principe
1- normaliser pour que le coefficient de x^3 vaille 1 [* 1/Coeff(x^3) qui est <>0 si on a un polynôme de @ 3]
L'équation devient
x^3 + a x^2 + bx+c
2- faire un changement de variable z=x+G en choisissant G pour que l'équation résultante n'ai plus de terme en x^2 ( G=-a/3)
L'équation devient
z^3 + pz+q=0
si p=0 alors z^3=q. Une racine triple pour z=z0 => x
*****

si p <>0
******
alors on calcul H = racine[ (4*|p|/3) ]
et on fait le changement de variable Z= H*z
l'équation s'écrit alors
-si p>0
******
4Z^3 + 3Z+Q=0
si on pose Z=sh(u) alors 4sh(u)^3 + 3sh(u)+Q=0 ce qui s'écrit encore sh(3.u)=-Q d'où u => Z=Z0 => z=z0 => x=x0 [pour rappel la réciproque de sh = ln(v+sqrt(1 + v*v))/3]. Donc une racine réelle x0. La factorisation du polynôme d'origine donne (x-x0)(k2 x^2 + k1x+k0). les 2 racines complexes du polynême de @2 sont faciles
-si p<0
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4Z^3 - 3Z+Q=0
Là il faut encore séparer en 2 cas
si |Q|<=1
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on pose Z= cos(t)
d'où cos(3.t) = -Q d'où 3 racines réelles pour t => Z=Z0,1,2 => z=z0,1,2 => x=x0,1,2

si |Q|>1
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on pose Z= ch(t) pour Q>0 et Z=-ch(t) pour Q<0
d'où ch(3.t)=|Q| d'où t=t0 [ln(v+sqrt(v*v-1))= reciproque de ch ]. Une racine réelle et 2 complexes conjuguées (si les coefs d'origine sont réels)

Bonjour,

si tu veux résoudre ton problème à la main, tu peux utiliser la méthode de Cardan.

Hello

Merci , j'ai pu trouvé effectivement une solution avec ce qui a été proposé (méthode de cardan + wolfram ) :ccool: