fit de courbes avec modèles simples

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09/07/2012, 13h20
membreComplexe12

fit de courbes avec modèles simples

Salut tous,

j'utilise actuellement matlab pour essayer de fitter des courbes "brut" (qui sont donc un peu bruité) afin de pouvoir associer une fonction mathématique à ma courbe et afin d'éliminer le bruit grace à ma courbe mathématique.

Voici en PJ mes courbes et les données associées à la première courbe.

j'ai fais pas mal de tentatives (matlab, fonction polyfit) avec des modèles exponentiels/logarithmiques...
mais ça ne fonctionne pas tout à fait comme je voudrais :)

Je viens vous voir car les personnes du forum matlab m'ont renvoyées vers vous pour avoir des informations complémentaires :
http://www.developpez.net/forums/d12...ifiee-polyfit/

ps: j'aimerai avoir une fonction monotone de préférence (sinon j'utiliserai un polynome et ça marcherai bien)

je vous remercie d'avance pour votre aide
09/07/2012, 18h15
Alexis.M

Si tu veux modéliser une courbe, c'est bien de savoir si justement il y a un modèle utilisable derrière. Donc première question:

D'où viennent ces données, quel phénomène les produit ?

Sinon à vue de nez la fonction:

a * log(1+exp(b*(x-x0))) + c

fait bien l'affaire pour la partie linéaire en tout cas ensuite ça colle moins bien( voir la pièce jointe)

D'où vient cette formule ? log(1+exp(b*x))∕b est parfois appelé la fonction de cout logistique et c'est une approximation lisse de max(0,x).
Donc en ajoutant quelques coefficients pour gérer l'échelle le décalage horizontal et le décalage vertical on obtient la formule donnée au début.
09/07/2012, 18h35
Alexis.M

1 pièce(s) jointe(s)

Tu peux faire mieux:

a*log(1+exp(b*(x-x0)) + c + d*x

avec ça j'obtiens un fit presque parfait. Tu "fittes" d'abord sans le terme d*x
(la pente résiduelle etant faible) et tu réutilise les paramètre trouvés pour fitter la formule avec le d*x.

Explication des paramètres:

x0: donne la localisation du "coude"
b: donne la le caractère lisse ou non de la transition au niveau du coude.
a*b: donne la contribution à la pente loin du coude
c: le décalage vertical
d: la pente résiduelle.

donc dans la partie la plus pentue asymptotiquement la pente est a*b*d
est dans la partie résiduelle la pente est d.

Avec cela en tête il est facile d'estimer les paramètres de départ.
09/07/2012, 18h36
membreComplexe12

merci beaucoup Alexis d'avoir pris le temps de répondre.

Citation:

Envoyé par Alexis.M

Si tu veux modéliser une courbe, c'est bien de savoir si justement il y a un modèle utilisable derrière. Donc première question:
D'où viennent ces données, quel phénomène les produit ?

oui je vois ce que tu veux dire. Ici c'est un cas un peu complexe car justement on a pas de modèle connu qui permet de réprésenter ceci physiquement. (perte de non linéarité d'un ressort dû à une variation interne de la structure).
=> du coup je veux avoir un modèle simple mais et voir comment évolue les coefficient identifiés en fonction de la variation interne de la structure
=> je veux qqch de monotone car dans la réalité de phénomène est monotone :)

Citation:

Envoyé par Alexis.M

Sinon à vue de nez la fonction:
a * log(1+exp(b*(x-x0))) + c
fait bien l'affaire pour la partie linéaire en tout cas ensuite ça colle moins bien( voir la pièce jointe)

tu as oublié la PJ :)

Sinon je pense qu'une relation

Code:

1-exp(-X/A)

ou
doit coller pas

Code:

1-exp(-A/X)

mal mais je ne sais pas trop comment les identifier avec polyfit de matlab....

Citation:

Envoyé par Alexis.M

D'où vient cette formule ? log(1+exp(b*x))∕b est parfois appelé la fonction de cout logistique et c'est une approximation lisse de max(0,x).
Donc en ajoutant quelques coefficients pour gérer l'échelle le décalage horizontal et le décalage vertical on obtient la formule donnée au début.

d'acccord, je comprends le principe, je regarderai.
merci
09/07/2012, 18h37
membreComplexe12

Citation:

Envoyé par Alexis.M

Tu peux faire mieux:

a*log(1+exp(b*(x-x0)) + c + d*x

avec ça j'obtiens un fit presque parfait. Tu "fittes" d'abord sans le terme d*x
(la pente résiduelle etant faible) et tu réutilise les paramètre trouvés pour fitter la formule avec le d*x.

Explication des paramètres:

x0: donne la localisation du "coude"
b: donne la le caractère lisse ou non de la transition au niveau du coude.
a*b: donne la contribution à la pente loin du coude
c: le décalage vertical
d: la pente résiduelle.

donc dans la partie la plus pentue asymptotiquement la pente est a*b*d
est dans la partie résiduelle la pente est d.

Avec cela en tête il est facile d'estimer les paramètres de départ.

ouahou :ccool::ccool::ccool:

c nikel ça :ccool:
tu as effectué ceci sur matlab ?

es ce possible de me montrer ton bout de code ?
09/07/2012, 18h37
Alexis.M

Attention nous avons eu des collisions de messages :)

Non j'ai fais ça avec python/scipy/matplotlib
09/07/2012, 18h42
membreComplexe12

Citation:

Envoyé par Alexis.M

Attention nous avons eu des collisions de messages :)

oui, en effet :)

Citation:

Envoyé par Alexis.M

Non j'ai fais ça avec python/scipy/matplotlib

ah OK. Peux tu me montrer quand meme le bout de code ?

=> quand tu fais l'identification c'est semi automatiquement alors ?

=> tu identifie sans le terme d*x de manière automatique et ensuite tu identifie avec le terme d*x en donnant "à la main" la position de la cassure ?

si cela t'intéresse:

Code:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
 
import numpy as np
from scipy.optimize import leastsq
 
x,y = np.load("data.txt").T
 
def myfunc(x,x0,a,b,c):
    return b* np.log(1+np.exp(a*(x-x0))) + c
 
def myfunc2(x,x0,a,b,c,d):
    return b* np.log(1+np.exp(a*(x-x0))) + c + d*x
 
def err(params):
    return myfunc(x,*params) - y
 
def err2(params):
    return myfunc2(x,*params) - y
 
x0, a, b, c  = leastsq(err, [0.004, 1000, 10.,300.0])[0]
x0, a, b, c, d = leastsq(err2, [x0,a,b,c,0.0])[0]

09/07/2012, 18h48
Alexis.M

L'emplacement du coude est déjà estimer au premier tour, donc tu peux juste mettre la pente à 0.0 pour le deuxième tour.
09/07/2012, 18h52
membreComplexe12

merci Alexis.

=> je vais regarder merci beaucoup pour ton aide.

ps: j'ai trouvé aussi d'autre choses :
http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89q...chaelis-Menten
et
je vais regarder du coté des exponentielles ssaturantes (1-exp) exp(A/x) ...
09/07/2012, 22h50
membreComplexe12

Citation:

Envoyé par Alexis.M

L'emplacement du coude est déjà estimer au premier tour, donc tu peux juste mettre la pente à 0.0 pour le deuxième tour.

d'accord, du coup ça peut être bien ce modele :ccool::ccool::ccool:

=> par contre je n'ai pas trop compris cette histoire de pente. Tu parles bien du coefficient "a" ?

en tout cas ta régression à l'air super :) je vais tester

=> pour résumer :
tu utilises d'abord la première equation pour le fit, ensuite tu refais le fit mais avec une autre equation (la deuxieme mais en conservant les parametres de la première identification) mais du coup c'est quoi cette histoire de 0 ? (lors de l'identification de "d" je met a=0 ?

Sinon pour la deuxième courbe :

Tu penses que ça peut fonctionner avec la même fonction ?

=> Au fait, tant qu'à utiliser une regression non linéaire pourquoi ne pas utiliser une formule du genre :

A(1-exp(-B/x)) ?

ça doit marcher ça non ?
10/07/2012, 10h56
Alexis.M

Citation:

Envoyé par 21did21

d'accord, du coup ça peut être bien ce modele :ccool::ccool::ccool:

=> par contre je n'ai pas trop compris cette histoire de pente. Tu parles bien du coefficient "a" ?

Ta courbe à l'air d'être composée de deux segments de droite reliées de façon lisse.

assymptotiquement si a>0 on a
lim x->inf log(1+exp(a*x) = a*x
lim x->-inf log(1+exp(a*x) = 0

Cette fonction a donc la proporiété de donner rapidement une contribution nulle lorsque a*x devient négatif et de ce comporter comme une droite de pente a lorsque a*x est positif.

Malheureusement le paramètre a règle aussi la rapidité de la transition entre les deux "régimes" donc pour pouvoir régler à la fois la courbure du coude et la pente il faut un deuxième paramètre b.

La pente en régime linéaire est donc a*b.

Le deuxième segment paramètré par c + d*x à une pente faible. C'est pour cela qu'en première approximation on garde la pente à zero et on n'ajuste que c.

x0 règle l'emplacement du coude.

Loin du coude en régime linéaire pour la première partie nous avons donc la contribution des deux segments donc la pente est (a*b+d), de l'autre côté la contribution du terme en 'log' devient nulle et seule le segment c+d*x contribue la pente est donc 'd'.

Citation:

=> pour résumer :
tu utilises d'abord la première equation pour le fit, ensuite tu refais le fit mais avec une autre equation (la deuxieme mais en conservant les parametres de la première identification) mais du coup c'est quoi cette histoire de 0 ? (lors de l'identification de "d" je met a=0 ?

la pente du deuxième segment de droite est très faible donc au premier tour on la fixe à zero. ce qui permet d'avoir moins de paramètre à ajuster.
Au deuxième tour tu l'initialises à zero mais tu t'attends en sortie à retrouver la bonne contribution

Citation:

Sinon pour la deuxième courbe :

Tu penses que ça peut fonctionner avec la même fonction ?

Oui il faudra juste modifier les paramètre initiaux pour prendre en compte les sens de courbure.

Citation:

=> Au fait, tant qu'à utiliser une regression non linéaire pourquoi ne pas utiliser une formule du genre :

A(1-exp(-B/x)) ?

ça doit marcher ça non ?

Je ne pense pas, cette fonction n'a pas de "régime linéaire" où elle peut se comporter comme une droite.