Calcul de dérivée en un point

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20/06/2012, 18h02
User

Calcul de dérivée en un point

Bonjour à tous,

Tout d'abord je tiens à préciser que mes connaissances en maths remontent à quelques années ;)

Donc je vous expose mon problème :

Je disposes d'une série de valeurs (xi,yi) mais je ne connais pas l'expression de la fonction y(x).

Or je souhaiterai connaître la valeur de la dérivée en un point quelconque, disons xi. J'ai pensé à construire une expression en utilisant une méthode d'interpolation du type de Lagrange, puis à dériver l'expression obtenue, pour obtenir l'expression approchée de la dérivée de la fonction y(x).

Y-a-t-il une autre méthode ?

Par avance merci !

Denis

Salut!
A ta place, je ferais un spline cubique, c'est-à-dire une interpolation par un polynôme du troisième degré entre chaque point et le suivant. la dérivée première est continue.

Code:

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C
C **********************************************************************
C
      Subroutine I115(X,DY,Xtab,Ytab,Y2,Ntab)
C
C **********************************************************************
C
C     Spline cubique
C     Points quelconques
C     Interpolation de la dérivée
C
C     Jean-Marc Blanc, janvier 2005
C
C **********************************************************************
C
C     A l'entrée:
C
C     X      Valeur de la variable indépendante pour laquelle la
C            fonction d'interpolation doit être estimée.
C
C     Xtab   Vecteur contenant les valeurs tabulées de la variable
C            indépendante.
C
C     Ytab   Vecteur contenant les valeurs tabulées de la fonction.
C
C     Y2     Vecteur contenant les valeur tabulées de la dérivée
C            seconde.
C
C     Ntab   Nombre de valeurs tabulées de la fonction.
C
C
C     A la sortie:
C
C     DY     Valeur de la dérivée interpolée.
C
C **********************************************************************
C
      Implicit None
C
      Integer Ntab
      Real*8 X,DY,Xtab(*),Ytab(*),Ypfin,Y2(*)
C
      Integer Klo,Khi,K
      Real*8 DX,A,B,C,D
C
      DX=(Xtab(Ntab)-Xtab(1))/Dble(Ntab-1)
C
      Klo=1
      Khi=Ntab
      Do While ((Khi-Klo).Gt.1)
        K=(Khi+Klo)/2
        If (Xtab(K).Gt.X) Then
          Khi=K
        Else
          Klo=K
        End If
      End Do
C
      A=(Xtab(Khi)-X)/DX
      B=(X-Xtab(Klo))/DX
      C=-DX*(3.d0*A*A-1.d0)/6.d0
      D=DX*(3.d0*B*B-1.d0)/6.d0
      DY=-Ytab(Klo)*Ytab(Khi)+C*Y2(Klo)+D*Y2(Khi)
      Return
C
      End

J'espère qu'il n'y a pas trop de fautes, mais je ne peux rien te garantir.

Jean-Marc Blanc

21/06/2012, 12h44
Aleph69

Bonjour,

soient les points x_{i-1}, x_i et x_{i+1} également répartis. On note h la distance entre deux points consécutifs. La formule de Taylor donne
y_{i+1} = y_i+h*dy_i/dx+h²*d²y_i/dx²+o(h²),
y_{i-1} = y_i-h*dy_i/dx+h²*d²y_i/dx²+o(h²).
On en déduit
y_{i+1}-y_{i-1} = 2h*dy_i/dx+o(h²),
soit encore
dy_i/dx = (y_{i+1}-y_{i-1})/2h+o(h²),
expression qui fournit une approximation d'ordre 2 de la dérivée première de y en x par différences finies en négligeant le terme o(h²). L'approximation est d'autant meilleure que h est petit, c'est-à-dire qu'il y a de points de discrétisation.

Il y a une autre approche très efficace qui consiste à passer par la transformée de Fourier discrète (TFD) :
1. on calcule z, la TFD de y;
2. on calcule dz/dx (dériver des exponentielles est à la portée de tous)
3. on calcule la TFD inverse de dz/dx pour obtenir dy/dx
4. on évalue la dérivée en les points souhaités.
21/06/2012, 18h54
User

Bonjour,

Désolé pour le retard :

Merci pour vos réponses je vais étudier tout cela à tête reposée et reviens vers vous si j'ai des problèmes.

C'est vrai que pour avancer dans ce genre de problème, c'est toujours mieux de demander de l'aide auprès de spécialistes plutôt que de vouloir chercher la solution par soi-même. ;)

Salutations,

Denis