Ok donc j'm'a planté chef.
Cela dit, à la relecture de ma preuve, ça ne change rien, je n'ai pas utilisé cette propriété, et ma preuve est valable même si les chemins ne sont pas optimaux 2 à 2. La seule condition est que leurs temps de construction et production finale soient les mêmes. Vu qu'on nous a coupé l'accès au réseau Airbus, je ne peux plus bosser et je suis obligé de poster ma preuve :
Définition du problème:
Citation:
Soient:
U : [1,m] -> [1,N] injective et
V : [1,n] -> [1,N] injective et
U([1,m]) différent de V([i,n]) (si l'on étudie les mêmes mines dans un ordre différent mais menant au même résultat, cette preuve est fausse, mais dans ce cas là ça n'a probablement pas beaucoup d'importance.)
Telles que:
t(U) = temps de construction total selon l'ordre U([1,m])
= Somme(C(u(i))/(P0+Somme_de_1_à_i-1(P(u(j)))))
(je sais, c'est pas lisible).
P(U) = production totale de l'ensemble des mines de U([1,m])
=Somme(P(u(i)))
Et
t(V)=t(U)
P(V)=P(U).
Montrons que:
Citation:
il existe
W : [1,p] -> U([1,m]) U V([1,n]) injective
telle que:
- t(W) <= T(U)
- P(W) >) P(U)
- W différente de U et W différente de V
Enumération des cas possibles :
Citation:
(1) : Il existe (i,j) dans [1,m]x[1,n] tel que:
C(u(i))<=C(v(j))
P(u(i))>=P(v(j))
u(i) n'est pas inclus dans V([1,n])
(2) : il existe (i,j) dans [1,m]x[1,n] tel que:
C(u(i))>=C(v(j)) et P(u(i))<=P(v(j))
v(j) n'est pas inclus dans U([1,m])
(3) : (1) et (2) ne sont pas vérifiées et:
pour tout (i,j) dans [1,m]x[1,n]
C(u(i)) >= C(v(j))
P(u(i)) >= P(v(j))
(4) : (1) et (2) ne sont pas vérifiées et:
pour tout (i,j) dans [1,m]x[1,n]
C(u(i)) <= C(v(j))
P(u(i)) <= P(v(j))
Ces 4 hypothèses regroupe l'ensemble des inégalités possibles entre les coûts des mines U et V et les production des mines U et V.
Montrons que chacun de ces cas permet de trouver un W satisfaisant les hypothèses énoncées plus haut.
Cas (1)
Citation:
La liste W : [1,n]\i U j -> U([1,n]\i) U v(j) définie par:
W([1,i-1]) = V([1,i-1])
W(i)=u(i)
W([i+1,n]) = V([i+1,n])
est injective,
t(W) <= t(V),
P(W) >= P(V)
cas (2):
Citation:
Même démonstration avec U<->V et i<->j.
cas(3):
Citation:
Comme U est différente de V, il peut exister un couple (i,j) tel que:
P(u(i))>P(v(j))
Dans ce cas P(U)<P(V), ce qui est en contradiction avec les hypothèses initiales, ce cas ne peut donc pas se produire.
S'il n'existe pas de tel couple, c'est que toutes les production sont égales, alors puisque U différente de V, il existe forcément un couple (i,j) tel que:
C(u(i))>C(v(j))
Dans ce cas t(U)>t(V), ce qui est en contradiction avec les hypothèses initiales, ce cas ne peut donc pas se produire.
cas (4):
Citation:
même démonstration que (3) avec U<->V et i<->j
On a donc montré que les cas (1) et (2) sont les seuls cas possibles pour deux chemins différents ayant même temps de construction et même production finale, et que ces deux cas mènent à la construction d'un troisième chemin meilleur que les deux premiers. CQFD.
Si vous voyez des failles/erreurs, ou si c'est pas clair demandez moi. En tout cas si c'est juste, ça permet de s'affranchir de la question du coût que je trouvais particulièrement non-intuitive, niark niark niark.
Edit: après relecture, ce n'est pas tout à fait ça, les hypothèses ne regroupent pas tous les cas. Lorsque U et V ont une partie de leurs mines en commun, on peut n'avoir ni (1) ni (2) mais ne pas avoir les cas (3) ou (4) quand même. J'y retravaillerai ce soir.