Probabilités avec un lancer de dès

Ce problème de probabilité m'a été inspiré en jouant au jeu perudo -> http://fr.wikipedia.org/wiki/Perudo

J'ai un nombre D de dés à 6 faces. (ayant des valeurs de 1 à 6, les chances de tombé sur chaque face est équipropable)
Je voudrais calculer la probabilité qu'il y est au moins N dés ayant la valeur 2. (ca peut-être n'importe quel valeur, vu que ça n'influe pas le tirage)

Avez-vous des pistes de formules ?
Il faut faire du dénombrement ?

Après si le dé tombe sur la face 1, il est considéré comme un joker, il représente n'importe quel valeur.
Je voudrais toujours calculer la probabilité qu'il y est au moins N dés ayant la valeur 2 (sachant que les 2 et les 1 sont pris en compte. (ca peut-être n'importe quel valeur, vu que ça n'influe pas le tirage)

Citation:

---

Je voudrais calculer la probabilité qu'il y est au moins N dés ayant la valeur 2.

---

L'évènement contraire est constitué des évènements incompatibles suivants:
Il n'y a pas de 2
Il y a 1 fois le 2 exactement
Il y a 2 fois le 2 exactement
......
Il y a D-1 fois le 2 exactement.
Il suffit donc de calculer la probabilité de chacun de ces évènements, puis d'en faire la somme S, la réponse est 1-S.

Allez, un petit essai algébrique... si p est la probabilité d'avoir un 2 sur un dé (1/6 dans le premier cas, 1/3 dans le second), pour un dé, on peut écrire le polynome générateur :

pX + (1-p) : p est la probabilité d'avoir une fois la valeur, 1-p celle de l'avoir 0 fois

pour deux dés on va avoir (^indique la puissance)

(pX+(1-p))^2 = p^2 X^2 + 2p(1-p)X + (1-p)^2
avec respectivement les probas p^2, 2p(1-p) et (1-p)^2 d'avoir 2, 1 et 0 fois la bonne valeur...

pour D dés, on va donc avoir pour la série génératrice des probabilités d'avoir N valeurs

(pX+(1-p))^D

le terme d'ordre k étant

p^k (1-p)^(D-k) C(k,D)

où C(k,D) = D! / (k! (D-k)!)

la réponse à ta question est la somme partielle de ces termes, k variant de N à D... Tu peux donc, pour de petites valeurs de D faire le calcul explicite... (si N est petit, tu calcules l'inverse...)

Maintenant, pour des valeurs de D importantes, le calcul exact va être lourd et ennuyeux... Mais là, on peut estimer le résultat, en observant que ce que tu estimes, ce sont les "fractiles" d'une loi binomiale, et que cette loi, dès que D est un peu grand, converge vers une loi normale. Tu vas donc pouvoir trouver une très honnête estimation de tes valeurs dans une table statistique donnant les fractiles de la loi normale... (en fait, avec un bon formulaire stat, tu dois aussi pouvoir faire cela directement pour les petites valeurs de D, à partir de tables de loi binomiale...)

Francois

Bonjour,

Je me permets de remonter ce message pour partager cette petite application que je viens de découvrir :
https://perudo-calculator.surge.sh/fr/

Elle permet de calculer les probabilités au Perudo en ne rentrant que 4 chiffres :
- n : le nombre de dés en jeu au total
- k : un nombre entier compris entre 0 et n : c'est le nombre de dés pariés
- m : le nombre de dés que l'on a
- j : un nombre entier compris entre 0 et m : c'est le nombre de dés que l'on a qui correspond à la valeur pariée

En espérant qu'elle servira !