Simulations de 3 variables aléatoires corrélés entre elles

Version imprimable

30/08/2017, 12h34
aleksik

Simulations de 3 variables aléatoires corrélés entre elles
Bonjour,

J'aimerai simuler 3 variables corrélés entre elles. Par exemple :
- A et B avec une corrélation de 0,6 ;
- A et C avec une corrélation de 0,9 ;
- B et C avec une corrélation de 0,4.
Est-ce réalisable ?

Merci par avance,

Alex

Bonjour,

tout dépend de la distribution marginale de chaque variable. Si chaque variable suit une loi normale alors pas de soucis sinon je ne peux t'aider. Dans le package MASS tu as la fonction mvrnorm qui permet de faire ça mais il faut spécifier les moyennes de chaque loi et la matrice de variance-covariance qu'il faut définir en fonction des écarts-types de chaque variable et des corrélations entre les variables.

Si tu veux juste des variables corrélées et peut importe leurs variances et moyennes alors tu peux faire :

Code:

1
2
3
library(MASS)
# si tu veux 1000 valeurs
mat <- mvrnorm(n = 1000, mu = rep(1,3), Sigma = matrix(c(1, 0.6, 0.9, 0.6, 1, 0.4, 0.9, 0.4, 1), 3, 3))

Après comme il s'agit de simulations tu seras proche des corrélations que tu souhaites sans pour autant qu'elles soient parfaitement égales.

Si tu veux des corrélations parfaitement égales à ce que tu souhaites alors tu peux faire comme ceci :

Code:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
corxtoy <- function(cor,x,y,...){
  # fonction qui recrée un vecteur x qui soit corrélé avec y avec
  # les valeurs de corrélation que l'on veut
  # cor : les valeurs de corréaltions de x avec les autres vecteurs (y, ...)
  # x : le vecteur initial a transformé
  # y, ... : le ou les vecteurs qui vont être corrélés avec x
  # y peut être soit un vecteur soit une matrice avec déjà les vecteurs dedans
  # si y est un vecteur et que l'on veut que x soit corrélé a plus de un vecteur
  # on écrit le nom des vecteurs à la suite de y : corxtoy(c(0.1,0.2,0.3),x,y,w,z)
 
  if (!inherits(y,"matrix") && !is.vector(y))
    stop("y must be a matrix or a vector")
 
  m <- cbind(y,...)
  ordcor <- order(cor,decreasing=TRUE)
  m <- m[,ordcor, drop=FALSE]
  cor <- cor[ordcor]
  cor1 <- cor(m)
 
  if (!identical(length(cor),ncol(m)))
    stop("must have the same number of cor and vectors")
 
  if (!identical(length(x),nrow(m)))
    stop("x and covariate variables must have the same length")
 
  m <- cbind(m,x)
  m2 <- scale(m)
  c1 <- chol(var(m2))
  m3 <- m2 %*% solve(c1)
  cor2 <- cbind( rbind( cor1, x=cor ), x=c(cor,1) )
 
  # créer une nouvelle matrice
  m4 <- m3 %*% chol(cor2)
 
  # dé-centrer et dé-réduire
  m5 <- sweep( m4, 2, attr(m2, 'scaled:scale'), '*')
  m5 <- sweep( m5, 2, attr(m2, 'scaled:center'), '+')
  x <- m5[,"x"]
  x
}  
 
library(MASS)
mat <- mvrnorm(n = 1000, mu = rep(1,3), Sigma = matrix(c(1, 0.6, 0.9, 0.6, 1, 0.4, 0.9, 0.4, 1), 3, 3))
mat[,1] <- corxtoy(0.6, mat[,1], mat[,2])
mat[,3] <- corxtoy(c(0.9,0.4), mat[,3], mat[,1:2])
 
cor(mat)
     [,1] [,2] [,3]
[1,]  1.0  0.6  0.9
[2,]  0.6  1.0  0.4
[3,]  0.9  0.4  1.0

Cordialement

04/09/2017, 10h55
aleksik

Merci tototode, je suis dans le cas où mes variables suivent une loi normale donc nickel.
13/10/2017, 09h39
aleksik
Bonjour,

Je me permets de revenir sur le sujet.

J'ai remarqué qu'avec en entrée des corrélations comprises entre -0.99 et -0.5 le programme ne fonctionnait pas. J'obtiens cette erreur :
Code:

1 2 Error in chol.default(cor2) : the leading minor of order 3 is not positive definite
Savez-vous pourquoi et avez vous une idée pour pourvoir prendre en compte également ce type de corrélation ?

Merci par avance,

Alex

Bonjour,

je pense que le problème est plus un problème d'ordre mathématique que lié à la programmation. Peut-être peux-tu savoir si les corrélations sont mathématiquement possibles entre toutes tes variables en essayant la fonction mvrnorm, et si ça ne fonctionne pas alors s'arrêter la. Il faudrait voir sur le net comment déterminer si une matrice de corrélation est plausible ou non.

A priori une des conditions est que la matrice de la variance-covariance soit défnit positive. Une façon de faire serait de regarder si toutes les valeurs propres de la matrice de variance co-variance sont positives :
Code:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 mat <- structure(c(1, -0.99, -0.99, -0.99, 1, -0.99, -0.99, -0.99, 1 ), .Dim = c(3L, 3L)) mat [,1] [,2] [,3] [1,] 1.00 -0.99 -0.99 [2,] -0.99 1.00 -0.99 [3,] -0.99 -0.99 1.00 eigen(mat)$values [1] 1.99 1.99 -0.98
A priori trois variables de variance 1 et avec des covariances 2 à 2 de -0.99 ça ne semble pas possibles tout du moins dans R³. Après je ne suis pas un matheux non plus donc ça demanderait confirmation.

cdlt

16/10/2017, 10h39
faubry
Voici deux critères pour qu'une matrice soit une matrice de corrélation :
1) critère d'Hadamard [nécessaire et suffisant] adapté aux matrice de corrélation (diagonale = 1) :

Code:

abs( det( mat)) <= 1

avec l'égalité si les vecteurs colonnes sont orthogonaux
2) condition suffisante :
Code:

1 2 3 mat2 <- mat diag( mat2) <- 0 all( rowSums( abs( mat2)) <= diag( mat)) # pour une matrice de corrélation diag( mat) <- rep( 1, nrow( mat))
19/10/2017, 10h19
aleksik

Merci tototode et faubry pour vos réponses. J'avais pas eu le temps de revenir à cette discussion.

Je vais donc rajouter cette condition dans mon programme pour ne réaliser les simulations seulement si les 2 critères sont respectés.

PS : Correction du titre : "Simulations de 3 variables aléatoires corréléEs entre elles".