Discussion :

[doom*]

Salut,

J'ai pas mal galéré sur ce point, mais j'ai l'impression d'avoir résolu mon truc. J'espère que cela vous aidera.

Attention ça commence. Soyez attentifs !

@+ doom*

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soit une droite (D) définie par un point A(xa,ya,za) et un vecteur directeur u(dx,dy,dz)
Soit P(xp,yp,zp) le point dont on cherche le projeté et la distance à la droite.

Juste pour la distance, il y a une méthode sur wikipedia (section dans l'espace) : http://fr.wikipedia.org/wiki/Distanc...%A0_une_droite

cela donne

Code :

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       (dz(yp-ya)-dy(zp-za))²+(dx(zp-za)-dz(xp-xa))²+(dy(xp-xa)-dx(yp-ya))²
d²= ----------------------------------------------------------------------
                                      dx²+dy²+dz²

Application numérique (exemple provenant d'ici:http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?s...efdistortho.fr):
A=(29,-13,26) u=(8,-7,4) P=(-4,-3,-3)

d=(((4*(-3--13)--7*(-3-26))^2+(8*(-3-26)-4*(-4-29))^2+(-7*(-4-29)-8*(-3--13))^2)/(8^2+7^2+4^2))^0.5
d ~ 21.45


Sinon, autre méthode qui permet en même temps de connaitre le projeté:
Soit M appartenant à (D), vecteur AM = k . vecteur u
donc
{xm-xa=k.dx
{ym-ya=k.dy
{zm-za=k.dz

{xm=k.dx+xa
{ym=k.dy+ya
{zm=k.dz+za

calculons la distance MP²
MP²=(xm-xp)²+(ym-yp)²+(zm-zp)²
MP²= ...
MP²= (dx²+dy²+dz²).k² + 2[dx(xa-xp)+dy(ya-yp)+dz(zp-za)].k + [(xa-xp)²+(ya-yp)²+(za-zp)²]
MP²= a.k²+b.k+c (equation du second degré)

MP² est mini pour M=projeté de P sur (D)

MP² est mini en -b/2a (voir cours de maths)

MP² mini pour

Code :

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              dx(xp-xa)+dy(yp-ya)+dz(zp-za)
k = kmini = ---------------------------------
                       dx²+dy²+dz²

calculer kmini (ici avec l'appli num kmini=-450/129)

donc
MP=(129*((450/129)^2)-900*450/129+2030)^0.5
MP ~ 21.45

pour avoir le point M projeté de P sur (D), il suffit de faire
{xm=k.dx+xa
{ym=k.dy+ya
{zm=k.dz+za

[ToTo13]

Bonjour,

il suffit de calculer les coordonnées de M, tel que AM.MP = 0.
Et on sait que M est de la forme A+ku.
Voilà la solution en dimension N, cela revient à calculer le coefficient kmini de ta deuxième égalité.

Code java :

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/** Methode qui calcule la projection orthogonale du point P sur une droite D representee par un point X et un vecteur V (P = X + kV).
 *  ATTENTION : cette methode renvoit le coefficient k.  
 * @param X Un point de la droite D.
 * @param V Le vecteur directeur de la droite D.
 * @param P Le point dont on souhaite connaitre le projete sur la droite D.
 * @return Le coefficient de k de P = X + kV.*/
public static double IntersectionCoef(Point X, Vector V, Point P)
	{
	int Size = V.Dimension() ;
	double num = 0.0, den = 0.0 ;
 
	for (int i=0 ; i < Size ; i++)
		{
		num += V.get(i) * (P.get(i)-X.get(i)) ;
		den += Math.pow(V.get(i), 2.0) ;
		}
 
	if ( Math.abs(den) < Epsilon ) throw new ArithmeticException("Denominator equal to zero => Vector V is a vector null.") ;
	return num / den ;
	}

[Algernon2]

Bonjour,

Juste une petite précision sur la méthode de ToTo13,
je suis d'accord avec l'algorithme, mais attention, P != X + kV, car c'est le projeté du point P sur la droite D qui est égal à X + kV, contrairement à ce qui est indiqué sur les commentaires au dessus de la signature de la méthode.

Sinon la méthode est parfaite

Algernon