Cercles de Ford

**Jerome Briot** · 04/09/2009, 19h35

les cercles de Ford ont la particularité d'être tous au mieux tangents. Ils ne s'intersectent jamais.

On les détermine en utilisant les nombres premiers entre eux.

Et ça tombe plutôt bien : Nombres premiers entre eux (coprime)

Voici donc le code permettant de générer ces cercles pour des couples de nombres premiers entre eux :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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function [r,xo,yo,ugrp,grp] = fordcircles(h,k,groupby)
%FORDCIRCLES
%
 
% Author : Jerome Briot (Dut)
% Contact : dutmatlab#yahoo#fr -or- briot#cict#fr
% Profil : www.mathworks.com/matlabcentral/newsreader/author/94805
%        : www.developpez.net/forums/u125006/dut/
%
% Version : 1.0 - 04 Sep 2009
%
 
% MATLAB : 7.6.0.324 (R2008a)
% System : Linux 2.6.24-24-generic
%
 
error(nargchk(2,3,nargin));
 
if nargin == 2
    groupby = 'r';
end
 
iscp = iscoprime(h,k);
 
if isscalar(iscp) && ~iscp
    error('(%d,%) are not coprime values',h,k);
elseif ~all(iscp)
    error('No coprime values found');
elseif any(~iscp)
    warning('Some circles are not draw due to non coprime values');
    h(~iscp) = [];
    k(~iscp) = [];
end
 
r = 1./(2*k.^2);
xo = h./k;
yo = 1./(2*k.^2);
 
switch groupby
 
    case 'r'
 
        [ugrp,grp,grp] = unique(r(:));
 
    case 'h'
 
        [ugrp,grp,grp] = unique(h(:));
 
    case 'k'
 
        [ugrp,grp,grp] = unique(k(:));
 
    otherwise
 
        ugrp = [];
        grp = [];
 
end

Le classement par groupe sert juste à déterminer la coloration des cercles à la visualisation.

Justement :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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function [h,nugrp] = drawfordcircles(h,k,groupby)
%DRAWFORDCIRCLES
%
 
% Author : Jerome Briot (Dut)
% Contact : dutmatlab#yahoo#fr -or- briot#cict#fr
% Profil : www.mathworks.com/matlabcentral/newsreader/author/94805
%        : www.developpez.net/forums/u125006/dut/
%
% Version : 1.0 - 04 Sep 2009
%
 
% MATLAB : 7.6.0.324 (R2008a)
% System : Linux 2.6.24-24-generic
%
 
error(nargchk(2,3,nargin));
 
if nargin == 2
    groupby = 'r';
end
 
iscp = iscoprime(h,k);
 
if isscalar(iscp) && ~iscp
    error('(%d,%) are not coprime values',h,k);
elseif ~all(iscp)
    error('No coprime values found');
elseif any(~iscp)
    warning('Some circles are not drawn due to non-coprime values');
    h(~iscp) = [];
    k(~iscp) = [];
end
 
[r,xo,yo,ugrp,grp] = fordcircles(h,k,groupby);
 
ugrp = unique(grp);
nugrp = numel(ugrp);
col = hsv(nugrp);
 
nth = 100;
th = linspace(0,2*pi,nth);
sinth = sin(th(:));
costh = cos(th(:));
 
figure
hold on
for n = 1:numel(k)
 
    h(n,1) = patch('vertices',[r(n)*costh+xo(n) r(n)*sinth+yo(n)],...
        'faces',1:nth,'facecolor',col(grp(n),:));
    h(n,2) = patch('vertices',[r(n)*costh+xo(n) -r(n)*sinth-yo(n)],...
        'faces',1:nth,'facecolor',col(grp(n),:));
 
end
 
for n = 1:numel(ugrp)
    p(n) = patch('vertices',[0 0 ; 0 0],'faces',[1 2],'facecolor',col(ugrp(n),:));
end
legend(p,num2str(ugrp(:)),'location','EastOutside')
axis equal tight

Et la démo qui va avec :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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function demofordcircles
%DEMOFORDCIRCLES
%
 
% Author : Jerome Briot (Dut)
% Contact : dutmatlab#yahoo#fr -or- briot#cict#fr
% Profil : www.mathworks.com/matlabcentral/newsreader/author/94805
%        : www.developpez.net/forums/u125006/dut/
%
% Version : 1.0 - 04 Sep 2009
%
 
% MATLAB : 7.6.0.324 (R2008a)
% System : Linux 2.6.24-24-generic
%
 
a = 1:4;
b = 0:30;
[x,y] =meshgrid(a,b);
iscp = iscoprime(x,y);
h = x(iscp);
k = y(iscp);
groupby = 'r';
 
drawfordcircles(h,k,groupby);