Discussion :

[Barsy]

Bonjour,

Une nouvelle énigme pour les plus matheux d'entre vous.

Tout d'abord, je souhaite résoudre l'équation suivante :

(1) x² + x + 1 = 0 avec x dans R

Je passe 1 de l'autre côte et j'obtiens

(2) x² + x = -1

Dans la première équation (1), je multiplie tout par x ce qui donne

(3) x³ + x² + x = 0

Je remplace x² + x avec ce que j'ai trouvé dans (2), on trouve

(4) x³ - 1 = 0

Donc

(5) x³ = 1

On a pour résultat à l'équation x = 1

Je remplace les x par le résultat dans (1) et je trouve

(6) 1² + 1 + 1 = 0

Donc

(7) 3 = 0

Maintenant, dites-moi où j'ai fait l'erreur

Bon courage !

[Vespasien]

C'est une parabole donc il est normal que tu obtiennes 2 solutions pour x. Ce type d'équation se résoud avec Delta.

[Captain_JS]

C'est une parabole donc il est normal que tu obtiennes 2 solutions pour x. Ce type d'équation se résoud avec Delta.

C'est pas un problème de maths, ça doit être un problème de logique ...
(pour info delta = -3 donc pas de solutions)

[MaliciaR]

Ca fait longtemps que je n'ai pas fait de maths Mais bon, j'ose penser que le ridicule ne tue pas

(2) x² + x = -1

Dans la première équation (1), je multiplie tout par x ce qui donne

(3) x³ + x² + x = 0

Bon, je ne vois pas pourquoi tu multiplies par x... Si tu ne le fais pas, tu obtiendrais :
x (x + 1) = -1
donc, deux solutions :

x = -1 ou x + 1 = -1, soit x = -2

Apres, si on passe ca et admettons que ca te chante, tu fais ce que tu fais, on arrive a 3 = 0.
Le truc est que ce n'est pas solution de l'equation. Dans le sens ou tu cherches a trouver quel(s) nombre(s) de R verifie(nt) l'egalite a 0. Or, 3 n'est pas egal a 0, donc ce que tu obtiens n'est pas une solution de l'equation de depart.

[matafan]

Ton raisonnement n'est qu'une suite d'implications. Ca veut simplement dire que :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

(x² + x + 1 = 0, x réel) => (3 = 0)

Ce qui n'est pas choquant puisque la proposition de départ est fausse (x² + x + 1 n'a pas de racines réelles). Quelque chose de faux implique quelque chose de faux... Ca étonne quelqu'un ?

[jbrasselet]

Le souci c'est que tu suppose au départ que ton assertion (1) est vraie.

Si elle était vraie, tu trouverais une solution qui est x=1. Or de façon triviale, x=1 n'est pas une solution.

Donc ton ensemble de solution est vide !

[LinuxUser]

Ton raisonnement n'est qu'une suite d'implications. Ca veut simplement dire que :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

(x² + x + 1 = 0, x réel) => (3 = 0)

Ce qui n'est pas choquant puisque la proposition de départ est fausse (x² + x + 1 n'a pas de racines réelles). Quelque chose de faux implique quelque chose de faux... Ca étonne quelqu'un ?

Exact, j'invite les indecis à méditer la table de vérite de l'implication :

A B A=>B
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1

[MaliciaR]

Hum, interessant

Barsy? Le verdict?

[Invité]

C'est les ensembles de définitions qui ne sont pas bons.
(1) n'est pas définie sur R, mais en (3) quand tu multiplie par x, tu introduit 0 comme solution possible.

MaliciaR, ça c'est pas bon :

Bon, je ne vois pas pourquoi tu multiplies par x... Si tu ne le fais pas, tu obtiendrais :
x (x + 1) = -1
donc, deux solutions :
x = -1 ou x + 1 = -1, soit x = -2

Un produit de deux facteurs est nul si un ou plusieurs de ses facteurs est nul. Ca marche pas pour un produit égal à -1.
Il faut passer par le déterminant et on voit que les solutions son imaginaires.

[Barsy]

Mesdames et Messieurs... voici... LE VERDICT !!

Bon, je vais prendre les réponses dans l'ordre :

C'est une parabole donc il est normal que tu obtiennes 2 solutions pour x. Ce type d'équation se résoud avec Delta.

C'est pas un problème de maths, ça doit être un problème de logique ...
(pour info delta = -3 donc pas de solutions)

Alors en effet la courbe f(x) = x² + x + 1 est une parabolle mais là n'est pas la question. Le but est simplement la résolution d'une équation du second degré.

Une des méthodes pour résoudre ce genre d'équation est en effet d'utiliser le discriminant. Mais il ne s'agit là que d'une méthode, rien ne m'empêche de faire autrement. Et en effet, le calcul du discriminant nous indique que cette équation n'a "normalement" pas de solution, mais au contraire mon raisonnement démontre qu'il y en a une.

Bon, je ne vois pas pourquoi tu multiplies par x... Si tu ne le fais pas, tu obtiendrais :
x (x + 1) = -1
donc, deux solutions :

x = -1 ou x + 1 = -1, soit x = -2

alors non, ça ne marche que si le deuxième côté est égal à 0. Par exemple si x(x+1) = 0 alors x = 0 ou x = -1.

Ton raisonnement n'est qu'une suite d'implications. Ca veut simplement dire que :

(x² + x + 1 = 0, x réel) => (3 = 0)

Ce qui n'est pas choquant puisque la proposition de départ est fausse (x² + x + 1 n'a pas de racines réelles). Quelque chose de faux implique quelque chose de faux... Ca étonne quelqu'un ?

Je tente simplement de résoudre une équation. Au départ, je ne peux dire si ce que je dis est faux. A partir du moment où j'ai réussi à démontrer que cette équation acceptait une solution et que cette solution était 1, je peux en conclure que (x² + x + 1 = 0, x réel) est possible.

Si mon équation n'acceptait pas de solution, il serait impossible de la résoudre (je veux dire par là que je n'aurais pas pu arriver à 1).


bref, pour préciser un peu.

Le problème ne vient pas de x²+x+1=0. L'erreur est dans le raisonnement qui amène à x=1 et c'est elle qu'il faut trouver.

EDIT : Pour répondre à Gastiflex qui a posté en même temps que moi :

C'est les ensembles de définitions qui ne sont pas bons.
(1) n'est pas définie sur R, mais en (3) quand tu multiplie par x, tu introduit 0 comme solution possible.

Oui, sur l'ensemble C ça marche sans qu'il n'y ait d'erreurs. Mais dans notre cas, on vas rester sur l'ensemble des Réels. Les Complexes sont un peu à part et ne changent rien au problème.

[TrYde]

Je dirais que le problème vient de l'étape 3. Multiplier une équation par l'inconnue ne peut que fausser le résultat.

Exemple: 1/x = 0 => je multiplie par x => j'obtiens 1 = 0

[Maxoo]

On ne peut multiplier des deux cotés une équation avec une variable
surtout si elle ne peut exister

[Scorpi0]

Formalisons :


(1) Soit l'équation x² + x + 1 = 0 avec x dans C (parce que ça change rien, et sinon x il existe pas)

Rappel, les solutions sont (-1 +- i*sqrt(3))/2

(2) x² + x = -1

On multiplie par x, on va poser x != 0 histoire de garder l'équivalence (de toute façon osef, 0 n'est pas solution)

(3) x³ + x² + x = 0

Je remplace x² + x avec ce que j'ai trouvé dans (2), on trouve

(4) x³ - 1 = 0

Oui mais alors la et faut pas déconner non plu.
Bon, on a donc deux équations à une inconnue :

x³ + x² + x = 0
x² + x = -1

On substitue la deuxième dans la première MAIS on garde la deuxième quand même (je pense que l'erreur est de faire sauter une des deux équations au moment de la substitution, ce qui est mal)

<=>

x³ - 1 = 0
x² + x = - 1

<=>

x³ = 1
x² + x = - 1

Or soit x est dans R, dans ce cas la, la première équation nous donne x = 1, et la deuxième nous donne toujours rien, donc intersection des deux ensembles, vide \o/. Jusque là on est d'accord.

Soit x est dans C, et x³ = 1 nous donne bien 3 solutions, 1 et (-1 +- i*sqrt(3))/2.
La deuxième équation nous confirme que les solutions sont (-1 +- i*sqrt(3))/2

CQFD

[matafan]

Je tente simplement de résoudre une équation. Au départ, je ne peux dire si ce que je dis est faux. A partir du moment où j'ai réussi à démontrer que cette équation acceptait une solution et que cette solution était 1, je peux en conclure que (x² + x + 1 = 0, x réel) est possible.

Si mon équation n'acceptait pas de solution, il serait impossible de la résoudre (je veux dire par là que je n'aurais pas pu arriver à 1).

Ok donc, tu n'a toi même pas compris la faille de ton raisonement

Ton raisonement est juste, tu ne fais aucune erreur mathématique, aucune erreur de logique. Ce que tu montre, c'est simplement la proposition suivante :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

(x² + x + 1 = 0, x réel) => (3 = 0)

C'est à dire que si x et réel et que x² + x + 1 = 0, alors 3 = 0. Cette proposition est vraie, elle n'a rien de choquant. C'est du même genre que "Si 1 + 1 = 0 alors 3 = 0" : cette proposition aussi est vraie (pour ceux qui en doute, une manière equivalent de l'écrire est "si 3 != 0, alors 1 + 1 != 0").

Tout ce que tu peux en déduire, c'est que puisque 3 est différent de 0, alors x² + x + 1 ne vaut jamais 0 pour x réel (c'est la contraposée de la proposition à laquelle tu arrives).

Bref, seuls jbrasselet, juve1897 est moi même ont répondu de manière satisfaisante Ceux qui essaient de trouver une faille dans ta suite de propositions se fourvoient. Tout est juste, c'est juste ton interprétation du résultat qui est fausse.

[Scorpi0]

Ton raisonement est juste, tu ne fais aucune erreur mathématique, aucune erreur de logique.

Alors ça c'est faux, pour la simple et bonne raison que Barsy aurait pu poster avec x dans C.
Dans ce cas, tout le raisonnement est le même, mais à la fin, il trouve une absurdité :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

(x² + x + 1 = 0, x complexe) => (3 = 0)

Donc d'après toi, ça aussi ça ne te pose aucun problème ?
Donc par l'absurde, le raisonnement initial de Barsy est faux, et il faut trouver l'erreur.

[Astartee]

Alors ça c'est faux, pour la simple et bonne raison que Barsy aurait pu poster avec x dans C.
Dans ce cas, tout le raisonnement est le même, mais à la fin, il trouve une absurdité :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

(x² + x + 1 = 0, x complexe) => (3 = 0)

Non, c'est faux.
Car à l'étape 5 on a : x^3 = 1 => x = 1
Or dans C il existe deux autres solutions, donc l'implication est fausse.
Et d'ailleurs, avec ces deux solutions, on a bien x² + x + 1 = 0.

[matafan]

Alors ça c'est faux, pour la simple et bonne raison que Barsy aurait pu poster avec x dans C.
Dans ce cas, tout le raisonnement est le même, mais à la fin, il trouve une absurdité :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

(x² + x + 1 = 0, x complexe) => (3 = 0)

Donc d'après toi, ça aussi ça ne te pose aucun problème ?
Donc par l'absurde, le raisonnement initial de Barsy est faux, et il faut trouver l'erreur.

Ah mais non, pas du tout, si tu tu remplace "x réel" par "x complexe", la suite d'implication ne tient plus, et là effectivement il y a une erreur de raisonement.

Avec x complexe, le raisonement est vrai jusqu'au point (5). Mais si x est complexe, alors x³ = 1 n'implique plus du tout que x = 1 ! Ca implique simplement que x vaut soit 1, soit (-1/2 - sqrt(3)/2*i), soit (-1/2 + sqrt(3)/2*i). Et il se trouve que les deux dernières possibilités sont les deux racines complexes de l'équation initiale.

Edit : je me suis fait griller par Astartee

[Guigui_]

Moi, je suis d'accord avec Scorpio. Le raisonnement que ce soit dans R ou C est le même. A l'étape 4, il faut garder les 2 équations

x³ - 1 = 0
x² + x = - 1

De toute façon, si on ne garde pas la deuxième équation, on arrive aussi à une absurdité que ce soit dans R ou dans C
x^2 +x + 1 = 0 <=> x^3 = 1 est bien entendu faux

[matafan]

Bien évidement que l'équivalence est fausse, que ce soit dans C ou dans R. Mais dans le post initial on ne parle que d'implication. L'implication est vraie, dans C comme dans R.

Je le répète encore, son raisonement est parfaitement juste, jusqu'à son interprétation de l'implication finale.

Mais bon, beaucoup de personnes ont du mal à distinger implication et équivalence, donc on peut comprendre que beaucoup pense à une erreur dans la chaine de raisonement.

[Guigui_]

Mais bon, beaucoup de personnes ont du mal à distinger implication et équivalence, donc on peut comprendre que beaucoup pense à une erreur dans la chaine de raisonement.

Je ne vois pas trop où est l'implication entre l'étape (5) et l'étape (6) (les implications jusqu'à (5), pas de souci)
sauf que pour aller à l'étape (6), ce n'est plus une implication simple mais

(5) et (1) => (6)

Donc certes ce qui est écrit au final est "juste" mais la chaîne de raisonnement n'a pas de sens (parce que pour écrire (5) et (1) => (6), y'a pas besoin d'écrire les 5 premières implications)