OpenAI affirme avoir résolu un problème mathématique vieux de 80 ans
OpenAI affirme avoir résolu un problème mathématique vieux de 80 ans : son nouveau modèle de raisonnement a produit une preuve mathématique originale qui réfute une célèbre conjecture non résolue en géométrie
OpenAI affirme que son nouveau modèle de raisonnement a résolu le problème de la distance unitaire dans le plan, une conjecture géométrique non résolue formulée par le mathématicien Paul Erdős en 1946. L'entreprise a indiqué que son modèle d'intelligence artificielle avait produit une preuve mathématique originale réfutant cette conjecture et proposant une nouvelle construction géométrique. Des mathématiciens indépendants, dont un lauréat de la médaille Fields, ayant examiné ces résultats, ont déclaré que ces travaux faisaient preuve d'une originalité et d'une « intuition » rarement associées aux systèmes d'IA actuels.
OpenAI est un organisme américain de recherche en intelligence artificielle (IA) dont le siège social est situé à San Francisco. Il s'agit d'une société d'intérêt public à but lucratif (PBC) partiellement contrôlée par une fondation à but non lucratif. OpenAI a développé la famille de grands modèles de langage GPT (Generative Pre-trained Transformer), la série DALL-E de modèles de conversion texte-image et la série Sora de modèles de conversion texte-vidéo, qui ont influencé la recherche dans le secteur et les applications commerciales. Le lancement de ChatGPT en novembre 2022 est considéré comme ayant catalysé l'essor de l'IA et suscité un intérêt généralisé pour l'IA générative.
OpenAI affirme que son modèle a résolu un célèbre problème de géométrie qui échappait aux plus grands mathématiciens du monde depuis 80 ans — une avancée saluée comme la preuve de la créativité et de l’« intuition » du bot.
L'entreprise a publié ses résultats le 20 mai 2026, démontrant qu'un de ses modèles avait résolu le problème de la distance entre deux points dans un plan, posé pour la première fois par le légendaire mathématicien hongrois Paul Erdős en 1946.
Cette énigme pose une question d'une simplicité trompeuse qui se résume ainsi : si l'on place n points dans le plan, combien de paires de points peuvent être séparées exactement d'une distance de 1 ?
La théorie dominante suggérait qu'une « grille carrée » était la clé pour obtenir le plus grand nombre possible de paires, comme indiqué dans l'énoncé, et Paul Erdős lui-même avait avancé que le nombre de paires ne pouvait augmenter que très légèrement plus vite que le nombre de points à mesure que l'on ajoutait des points.
Les travaux d'OpenAI ont toutefois réfuté cette hypothèse et proposé leur propre configuration.
« Nous présentons aujourd’hui une avancée majeure concernant le problème de la distance unitaire. Depuis les travaux originaux d’Erdős, l’idée dominante était que les constructions en « grille carrée » constituaient la solution optimale pour maximiser le nombre de paires de points à distance unitaire. Un modèle interne d’OpenAI a réfuté cette conjecture de longue date, en fournissant une famille infinie d’exemples qui permettent une amélioration polynomiale. La preuve a été vérifiée par un groupe de mathématiciens externes. Ils ont également rédigé un article complémentaire qui explique leur raisonnement et fournit des informations supplémentaires ainsi que le contexte permettant de comprendre l'importance de ce résultat », a indiqué OpenAI sur son blog.
« Ce résultat est également remarquable par la manière dont il a été obtenu. La preuve a été fournie par un nouveau modèle de raisonnement polyvalent, et non par un système spécialement formé aux mathématiques, conçu pour explorer différentes stratégies de démonstration ou axé spécifiquement sur le problème de la distance unitaire. Dans le cadre d’une initiative plus large visant à déterminer si les modèles avancés peuvent contribuer à la recherche de pointe, nous l’avons évalué sur un ensemble de problèmes d’Erdős. Dans ce cas précis, il a produit une preuve qui résout ce problème non résolu », a ajouté l'entreprise d'IA.
Le problème de la distance unitaire
Soit u(n) le plus grand nombre possible de paires de points distants d'une unité parmi n points dans le plan. Il est facile de construire des exemples présentant un taux de croissance linéaire : placer n points sur une droite donne n−1 paires, tandis qu'une grille carrée en donne environ 2n.
La construction jusqu'alors la plus connue, issue d'une grille carrée redimensionnée, s'avère offrir un résultat encore meilleur : n1 + C/loglog(n) pour une constante C. Comme loglog(n) tend vers l'infini lorsque n augmente, le terme supplémentaire dans l'exposant tend vers 0, ce qui signifie que ces constructions ne présentent qu'une croissance légèrement supérieure à la croissance linéaire.
Pendant des décennies, on a généralement considéré que ce taux était pratiquement le meilleur possible et qu'aucune construction ne pouvait apporter d'amélioration significative par rapport à la grille carrée. En termes techniques, Paul Erdős a émis l'hypothèse d'une borne supérieure de n1 + o(1), où le terme o(1) supplémentaire indique un terme tendant vers 0 lorsque n tend vers l'infini.
Le nouveau résultat d'OpenAI réfute cette conjecture. Plus précisément, pour une infinité de valeurs de n, la preuve construit des configurations de n points comportant au moins n1+δ paires de points distants d'une unité, pour un exposant δ > 0 donné. (La preuve initiale par IA ne fournit pas de valeur explicite pour δ, mais un raffinement futur, dû au professeur de mathématiques de Princeton Will Sawin, a montré qu'on pouvait prendre δ = 0,014.)
OpenAI précise que les éléments clés de cette construction proviennent d'un domaine très différent des mathématiques, appelé « théorie algébrique des nombres », qui étudie des concepts tels que la factorisation dans des extensions des entiers appelées « corps algébriques ».
Nouvelles techniques issues de la théorie algébrique des nombres
D'une manière générale, la démonstration part d'une idée géométrique bien connue et la développe dans une direction inattendue.
La borne inférieure initiale de Paul Erdős peut s'expliquer à l'aide des entiers gaussiens : des nombres de la forme a + bi, où a et b sont des entiers et i est la racine carrée de −1. Selon OpenAI, les entiers gaussiens constituent une extension des entiers ordinaires et, à l'instar de ces derniers, possèdent des propriétés telles que la factorisation unique en nombres premiers. De telles extensions des entiers ordinaires ou des nombres rationnels sont appelées corps de nombres algébriques. Le nouvel argument remplace les entiers gaussiens par des généralisations plus complexes issues de la théorie algébrique des nombres, dotées de symétries plus riches pouvant créer un nombre bien plus grand de différences de longueur unitaire.
L'argument précis utilise des outils tels que les tours de corps de classes infinies et la théorie de Golod-Shafarevich pour démontrer que les corps de nombres requis par l'argument existent bel et bien. Selon OpenAI, ces idées étaient bien connues des théoriciens des nombres algébriques, « mais ce fut une grande surprise de constater que ces concepts avaient des implications pour des questions géométriques dans le plan euclidien. »
Un résultat validé par les pairs
Tim Gowers, lauréat de la médaille Fields et l'un des experts ayant examiné les travaux d'OpenAI, a qualifié ce résultat de jalon majeur dans les mathématiques de l'IA.
« Il ne fait aucun doute que la résolution du problème de la distance unitaire constitue une avancée majeure dans le domaine des mathématiques appliquées à l'IA : si un humain avait rédigé cet article et l'avait soumis aux Annals of Mathematics, et qu'on m'avait demandé un avis rapide, j'aurais recommandé sa publication sans la moindre hésitation. Aucune preuve générée par l'IA n'avait jusqu'à présent atteint un tel niveau », a déclaré Tim Gowers dans l'article complémentaire.
Arul Shankar, mathématicien à l'Université de Toronto , est allé jusqu'à suggérer que le modèle avait utilisé sa propre « intuition » pour aboutir à cette solution surprenante.
« Le Chain-of-Thought du modèle est extrêmement intéressant. Il est à noter qu’une grande majorité des réflexions visent à construire un contre-exemple à la borne supérieure largement admise, plutôt qu’à la prouver. Cela suggère que le modèle allie une bonne intuition, une volonté d’explorer des approches jugées peu probables par la communauté, et une prédisposition à tenter des constructions », a déclaré Arul Shankar dans un communiqué. « À mon avis, cet article démontre que les modèles d’IA actuels ne se contentent pas d’assister les mathématiciens humains : ils sont capables d’avoir des idées originales et ingénieuses, puis de les mener à bien »
Jacob Tsimerman, un autre professeur de Toronto, s'est dit impressionné par ces résultats, précisant qu'il avait lui-même tenté en vain de réfuter le problème de la distance.
« C'est un travail vraiment impressionnant, et je l'accepterais sans hésiter dans n'importe quelle revue. J'ai d'ailleurs brièvement travaillé sur ce problème et essayé de trouver un contre-exemple, mais je n'ai pas réussi à avancer », a-t-il fait remarquer. « C'est sans aucun doute une construction intimidante à cerner, même quand on comprend le principe, et c'est encore plus difficile à reproduire soi-même. »
Ce que cela signifie pour les mathématiques
Selon OpenAI, ce résultat marque une étape importante dans l'interaction entre l'IA et les mathématiques car un système d'IA a résolu de manière autonome un problème ouvert de longue date, au cœur d'un domaine en pleine effervescence. Il offre également un premier aperçu d'un nouveau type de collaboration entre l'IA et les mathématiciens humains. Dans ce cas précis, les travaux complémentaires menés par des mathématiciens externes apportent une vision nettement plus riche que la solution initiale à elle seule.
« Lorsque j'évalue l'importance et l'influence d'une démonstration générée par l'IA, je me pose la question suivante : cela nous a-t-il appris quelque chose de nouveau sur le problème ? Comprenons-nous mieux la géométrie discrète aujourd'hui ? Je pense que la réponse est un « oui » nuancé : cela montre que les constructions de la théorie des nombres ont bien plus à nous apprendre sur ce genre de questions que nous ne le soupçonnions ; de plus, que la théorie des nombres requise peut être très approfondie. Il ne fait aucun doute que de nombreux théoriciens des nombres algébriques se pencheront de près sur d’autres problèmes ouverts de la géométrie discrète dans les mois à venir », a écrit Thomas Bloom, mathématicien et mainteneur du site Erdős Problems, dans la note d'accompagnement.
OpenAI a déclaré que le lien inattendu entre la théorie algébrique des nombres et la géométrie discrète, mis en évidence par cette solution, contribue à rendre ce résultat remarquable. Il ne se contente pas de résoudre une conjecture précise, mais pourrait offrir aux mathématiciens un point de départ pour explorer d'autres problèmes connexes.
Thomas Bloom évoque également une perspective plus large : « Les frontières du savoir sont très irrégulières, et il ne fait aucun doute que les mois et les années à venir verront des succès similaires dans de nombreux autres domaines des mathématiques, où des problèmes ouverts de longue date seront résolus par une IA qui mettra en lumière des liens inattendus et poussera les outils techniques existants à leurs limites. L’IA nous aide à explorer plus en profondeur la cathédrale des mathématiques que nous avons construite au fil des siècles ; quelles autres merveilles invisibles nous attendent dans les coulisses ? »
« Ce résultat constitue un exemple prometteur : l'IA apporte non seulement une solution, mais aussi une découverte mathématique dont l'importance se précise et s'enrichit grâce à la compréhension humaine qui s'ensuit », a déclaré OpenAI.
Pourquoi est-ce important ?
Selon OpenAI, un meilleur raisonnement mathématique peut faire de l'IA un partenaire de recherche plus efficace : capable de structurer des raisonnements complexes, de relier des idées issues de domaines de connaissance éloignés, de mettre en lumière des pistes prometteuses que les experts n'auraient peut-être pas privilégiées, et d'aider les chercheurs à progresser sur des problèmes qui, sans cela, seraient trop complexes ou trop chronophages pour être abordés.
Ces capacités ont par ailleurs une importance qui dépasse le cadre des mathématiques. Si un modèle est capable de maintenir la cohérence d'un raisonnement complexe, de relier des idées issues de domaines de connaissance éloignés les uns des autres et de produire des résultats qui résistent à l'examen minutieux des experts, ces aptitudes s'avèrent également utiles en biologie, en physique, en science des matériaux, en ingénierie et en médecine. Elles s'inscrivent ainsi dans la stratégie à long terme d'OpenAI visant à automatiser davantage la recherche : « des systèmes capables d'aider les scientifiques et les ingénieurs à explorer davantage d'idées et à se pencher sur des questions techniques plus complexes. »
OpenAI estime que l'IA est sur le point de jouer un rôle de premier plan dans les aspects créatifs de la recherche, et surtout dans la recherche sur l'IA elle-même.
« Si cette évolution n'est pas une surprise, elle renforce le sentiment d'urgence que nous ressentons quant à la nécessité de comprendre cette nouvelle phase du développement de l'IA, les défis liés à l'alignement de systèmes très intelligents, ainsi que l'avenir de la collaboration entre l'homme et l'IA », a déclaré l'entreprise dans son blog. « Cet avenir dépend toujours du jugement humain. L'expertise gagne en importance, elle ne perd pas de sa valeur. L'IA peut aider à rechercher, suggérer et vérifier. Ce sont les humains qui choisissent les problèmes importants, interprètent les résultats et décident des questions à approfondir ensuite. »
Source : OpenAI
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