Discussion :

[BioKore]

Bonjour à vous ! (Bien longtemps que je n'ai pas foulé ce forum !)

Cherchant à retrouver / développer quelques notions de probabilités, je me suis récemment posé un problème dont le principal but est de développer mon intuition sur des sujets du genre.
Ce problème se pose comme suivant :

Je possède 2 urnes (oui on est bien dans un problème de probas...) :

A={5N,9B}
B={7N,12B}

La probabilité de piocher une boule dans l'urne A est de Pr(A) = p et dans l'urne B, Pr(B) = 1-Pr(A) = 1-p = q

On se propose de réaliser n tirages successifs et sans remises parmi ces deux urnes.
Soit X le nombre d'éléments N tirés parmi les n éléments prélevés (l'ordre ne compte pas).
On demande de trouver Pr(X=k).

Après quelques réflexions, j'arrive à la conclusion que la probabilité doit être une somme de produit de lois hypergéométriques :


Avec ici A = 5, B = 9, C = 7, D = 12

Cependant, un script rapide en python dans lequel je somme les résultats en faisant varier k de 0 à n ne me donne pas 1.

Il n'est pas complètement impossible que mon script soit faux, mais dans tous les cas, j'aimerais savoir si mon approche semble bonne ici.
Aussi, ai-je passé pas mal de temps à en arriver à ce résultat, et peut-être sauriez-vous me dire comment développer mon intuition afin d'en arriver à une formule correcte et éventuellement améliorer mon approche pour des exercices similaires ?

Un grand merci par avance pour toute piste.
Bonne journée !

édit : remplacement de la capture par une formule latex

[Artemus24]

On se propose de réaliser n tirages successifs et sans remises parmi ces deux urnes.

C'est dans ta formulation ci-dessus que se trouve toute l'ambiguïté de ton calcul.
A chaque tirage, on choisit l'urne A ou B, puis on extrait une boule sans la remettre.

Dois je comprendre que tu as N tirages avec N = 5 + 9 + 7 + 12 = 33 ?
Tu ne peux pas extraire plus de 14 fois dans l'urne A et 19 fois dans l'urne B.
Quand l'urne sélectionnée est vide, tu ne peux rien extraire et donc, qu'est-ce que tu fais ?

Le nombre de boules N tirées dans l'urne A suit la loi hypergéométrique X_A | I = i ~ H(5, 9, i).
Le nombre de boules N tirées dans l'urne B suit la loi hypergéométrique X_B | I = i ~ H(7, 12, N-i).
Et X = X_A+X_B.
Comme X_A et X_B sont conditionnellement indépendantes compte tenu de I=i.
Tu retires la condition sur I en sommant sur toutes les valeurs possibles de i, ce qui donne au final :

[BioKore]

Bonjour et un grand merci pour ce retour rapide !

Je m'excuse aussi pour le manque de rigueur dans ma formulation ; j'apprends encore les sujets mathématique en autodidacte et n'ait pas encore pris l'habitude d'exposer mes problèmes clairement.
C'est bien d’ailleurs un des aspects que j'apprends au travers de ces exercices.

Dois je comprendre que tu as N tirages avec N = 5 + 9 + 7 + 12 = 33 ?
Tu ne peux pas extraire plus de 14 fois dans l'urne A et 19 fois dans l'urne B.
Quand l'urne sélectionnée est vide, tu ne peux rien extraire et donc, qu'est-ce que tu fais ?

Oui, en fait, dans un premier temps, je considère ici que le total des boules tirés du système est constant et toujours inférieur ou égal au minimum des classes disponibles (on ne peut donc rencontrer de situation où l'on "tari" une classe de l'une ou l'autre des urnes). En réalité, je souhaite éventuellement développer la situation où l'on peut "vider" une urne, mais dans un temps futur, une fois que j'aurais pu assimiler plus clairement cette première situation à priori plus "simple" à mes yeux.

A vrai dire, dans mon approche numérique en fait, le nombre de billes tirées vaut n=5.

Je pense comprendre ton approche ici, dans laquelle en fait tu fais apparaître bien plus clairement la proportion des billes tirées dans chaque urne. Effectivement, je pense avoir voulu être trop rapide sans positionner mon problème de manière plus "générique" comme tu l'as fait ici (ce qui est bien plus propre donc beaucoup plus clair).

Dans ton approche, la loi binomiale décrivant les différentes répartitions possibles de tirages parmi les deux urnes tombe alors ici naturellement aussi.

Selon toi, qu'est-ce qui manquait donc à mon approche pour obtenir cette formule et quelle a été ton "processus" logique ? Quelles étaient mes erreurs (au-delà de ma formulation maladroite du problème qui joue certainement une belle part de responsabilité ici) ? En somme, quels sont les points sur lesquels je dois travailler pour améliorer mon approche pour des problèmes du genre ?

Encore une fois un grand merci !

[BioKore]

En fait, en regardant de plus près, je comprends mieux la question sur "que faire lorsque l'urne est vide" ; en effet, si i < j, on a un problème (mais on peut poser la somme pour j de 0 à min(i,k) ).
Ce dernier problème n'est pas trop embêtant, par contre, la situation où où n-i < k-j est plus délicate.

Si on prends, par exemple, n=5 et k=3, alors, si i=3 et j=0, alors n-i < k-j, et n'est donc pas une solution possible.
Il en va de même pour toutes les situations où j <= i-k.
Faire varier k de 0 à n offre aussi des difficultés ici.

Je vais donc me creuser encore les méninges sur le sujet afin de mieux comprendre comment tout ceci s'imbrique...

[tbc92]

Mon premier réflexe quand je cherche à résoudre ça, c'est d'ajouter des questions intermédiaires.
Ici, bon point, on a reformulé le problème, en s'assurant qu'on n'atteint pas le cas critique où une des 2 urnes serait vide.

La question intermédiaire qui vient très vite à l'esprit, c'est :
Combien de boules on tire de l'urne A (ou plus précisément , si a désigne le nombre de boules tirées de l'urne A, quelle est la loi de probabilité de a ?)
Quand on a répondu à cette question, on peut ensuite en déduire immédiatement le nombre de boules tirées de l'urne B (c'est trivial).
Et ensuite, étape pas forcément simple, répondre à la question initiale.

Je n'envisage pas du tout de réfléchir à cet exercice sans cette question intermédiaire.

[fdecode]

On va supposer que vos hypothèses ne permettent pas de faire un tirage à partir d'une urne vide.

Je reprends votre terme intérieur qui si j'ai bien compris serait la valeur de probabilité d'une configuration de tirage (et sommerait à 1).

Je vais noter a=i+j le nombre de tirage dans l'urne A et bien sûr n-a, le nombre de tirage dans l'urne B.
Je note toujours i le nombre de tirages noirs issu des a tirages simultanés de A.
Je note u le nombre de tirage noirs issu des n-a tirages simultanés de B.
Ici, k=i+u est le total de tirage noirs.
Votre probabilité d'une configuration de tirage est donc:

avec:

est la probabilité de tiré i noirs dans A sachant que le nombre de tirage de A est a,

est la probabilité de tiré u noirs dans B sachant que le nombre de tirage de A est a (et donc celui de B est n-a).

Mais que signifie f(a)? Le problème c'est que f(a) n'est pas une probabilité.
Par contre, la loi binomiale s'écrit:

et constitue bien une une probabilité sur a.
Si vous combinez Pr(a) et les conditionnelles Pr_A(i|a) et Pr_B(u|a), vous obtenez bien une probabilité:

qui somme à 1. Je suppose que là réside votre erreur.