Discussion :

[SP506]

Bonjour
Je ne connais absolument rien aux proba mais j'ai compris que quelque soit la durée d'une série de lancés on a toujours 50% de chance d'avoir un pile au coup suivant.
Mais comment calculer la probabilité d'avoir 2 ou 3 piles successifs dans une série de 12 lancés par exemple.
Une formule avec un petit commentaire serait génial mais je me contenterai d'un lien que je ne trouve pas concernant ce cas précis.
Merci pour votre aide.

[tbc92]

Les probas de 'plusieurs événements successifs' sont plus compliquées que les autres probas.
Proba d'avoir exactement 5 Pile sur 12 lancers ... c'est classique.
Proba (A) d'avoir exactement 3 Piles successifs sur 12 lancers
ou Proba (B) d'avoir au moins une série de 3 Pile successifs sur 12 lancers
ou Proba (C) d'avoir exactement une série d'au moins 3 Piles successifs sur 12 lancers,
c'est plus compliqué.
Pour ces différents cas, un arbre pondéré, ça marche (

Sauf que l'arbre, pour 12 tirages successifs il va avoir 4096 branches !

Une autre piste, c'est ce qu'on appelle les chaines de Markov. Mais là, on est dans un niveau expert plus plus plus.
Tu t'intéresses à la proba (B) ci-dessus.
Accroche-toi.
Au bout de 3 tirages, j'ai 4 options qui m'intéressent.
Soit j'ai eu 3 Piles (proba=1/8), l'expérience s'arrête, on a gagné.
Soit les 2 derniers tirages sont Piles, et le premier est Face (proba=1/8)
Soit le dernier tirage est Pile, l'avant dernier est Face , et le 1er était soit Pile, soit Face (proba=1/4)
Soit le dernier tirage est Face, et peu importe ce qu'avaient donné les 2 tirages précédents (proba=1/2)
Vérification : la somme donne 1, c'est plausible.
Pour les différents cas, je m'intéresse à ce que j'ai en capital (=le nombre de Piles accumulés dans la série en cours).
J'ai donc 4 statuts possibles :
P0= J'ai aucun Pile dans la série en cours.
P1= J'ai 1 seul Pile dans la série en cours
P2= J'ai 2 piles successifs dans la série en cours
V=Victoire

A partir de la situation P0, le prochain tirage peut m'emmener vers P1 (proba=1/2) ou vers P0 (proba=1/2)
A partir de la situation P1, le prochain tirage peut m'emmener vers P2 (proba=1/2) ou vers P0 (proba=1/2)
A partir de la situation P2, le prochain tirage peut m'emmener vers V (proba=1/2) ou vers P0 (proba=1/2)
A partir de la situation V, le prochain tirage peut m'emmener vers V uniquement : j'ai déjà gagné, les tirages suivant ne peuvent rien changer.

On a donc une matrice (essentielle si on veut comprendre correctement, anecdotique si on veut juste bricoler quelques calculs) :
(1/2, 1/2, 0, 0
1/2, 0, 1/2, 0
1/2, 0, 0, 1/2
0, 0, 0, 1 )

Après le 4ème lancer, on a quoi .
Au 3ème lancer, on a PO, P1, P2 ou V, avec les probas 1/2, 1/4, 1/8, 1/8
Si on part de P0 , on va vers P0 ou vers P1 , et les probas associées sont 1/2*1/2 et 1/2*1/2 (1/4 et 1/4)
Si on part de P1 , on va vers P0 ou vers P2 , et les probas associées sont 1/4*1/2 et 1/4*1/2 (1/8 et 1/8)
Si on part de P2 , on va vers P0 ou vers V , et les probas associées sont 1/8*1/2 et 1/8*1/2 (1/16 et 1/16)
Si on part de V , on va vers V à coup sûr P0 ou vers P2 , et la proba est 1/8
Au 4ème lancer, on a donc
P0 : Proba = 1/4+1/8+1/16=7/16
P1 : Proba = 1/4
P2 : Proba = 1/8
V : Proba = 1/16+1/8=3/16
La somme donne bien 1, ça va, c'est plausible.
Et on continue.

Si on est à l'aise avec les matrices, c'est un peu plus facile. On élève la matrice ci-dessus à la puissance 9... et on multiplie la matrice obtenue par le vecteur (1/2, 1/4, 1/8, 1/8)

Avec un tableur, pas besoin de multiplication de matrice, ces calculs sont assez faciles.
On a 4 colonnes (P0, P1, P2, V), et 10 lignes (3 lancers, 4 lancers .... 12 lancers)
Et à chaque ligne, on a une petite formule qui fait la somme de 2 ou 3 trucs de la ligne du dessus.

[Flodelarab]

Bonjour

calculer la probabilité d'avoir 2 ou 3 piles successifs dans une série de 12 lancés par exemple.

On répète 12 fois une expérience de façon indépendante. On est dans un schéma de Bernoulli. La formule de k réussites parmi n expériences est donc :

où q la probabilité d'échec unitaire. (ici, 1/2)

Mais tu as utilisé le mot "successif". Et là, ce n'est pas si simple. Il faut faire la liste des cas possibles.

[tbc92]

Avec un tableur, comme déjà dit, ça se fait très facilement.
Ligne d'entête : P0 P1 P2 V, en cellules B1 à E1
Colonne 1 : les numéros de tirage, de 0 à 12. 0 en cellule A2, 12 en cellule A14.
En ligne 2, cellule B2 : la valeur 1 : On a la certitude qu'au bout de 0 lancer, on a 0 Pile en stock., et donc 0 dans les cellules C2,D2 et E2.
A partir de la ligne 3
Colonne B, la formule : = (L(-1)C + L(-1)C(+1) +L(-1)C(+2) ) /2
Colonne C, la formule : = L(-1)C(-1)/2
Colonne D, la formule : = L(-1)C(-1)/2
Colonne E, la formule : = L(-1)C + L(-1)C(-1)/2
En colonne E, on gagne au tour T, si on avait déjà gagné au tour précédent, ou si on avait 2Piles consécutifs au tout précédent, et qu'on tire à nouveau Pile.
En colonne F, on peut ajouter une formule pour vérifier que la somme des 4 nombres donne bien 1.

Au bout de 12 lancers, on a une proba de 0.58374 d'avoir eu au moins 3 piles consécutifs.

[SP506]

Merci beaucoup pour toutes ces explications et précisions.
IL est surprenant de voir combien on imagine les choses faciles quand on en a aucune connaissance moi qui croyait qu'il suffisait de faire une "simple" opération...
Je vais relire ça à tête reposée.