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Probabilités Discussion :

Calcul de probabilité : championnat


Sujet :

Probabilités

  1. #1
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    Par défaut Calcul de probabilité : championnat
    Bonjour,
    Qui saurait m'aider ? Je ne trouve pas la solution de problème :

    N équipes vont s'affronter en mode "championnat" (chaque équipe va affronter toutes les autres une fois). Il y aura donc N-1 journées. L'ordre des matches est tiré au sort.
    Parmi ces équipes, la moitié joue en blanc, l'autre joue en noir.
    Quelle est la probabilité qu'au cours du championnat, il y ait une journée avec uniquement des matches entre équipes de la même couleur ?

    Pour la proba sur la 1ere journée, je sais faire, mais si on considère tout le championnat je ne trouve pas (les matches déjà joués ne peuvent plus se produire : comment prendre en compte ce paramètre ? )


    Merci !

  2. #2
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    Par défaut
    Problème très intéressant. Et certainement très compliqué.
    Déjà, si on a N=18 ou 22 ou 26 ou 4k+2 en général, on est tranquille
    Avec N=18, on a 9 équipes qui jouent en blanc, 9 est impair donc au moins une des 9 jouera contre une équipe en noir.

    Les cas qui nous intéressent sont les cas où le nombre total d'équipe est un multiple de 4.

    La question est : Quelle est la probabilité qu'au cours du championnat, il y ait une journée avec uniquement des matches entre équipes de la même couleur ?
    Je modifie un tout petit peu la question : Quelle est la probabilité qu'au cours du championnat, il y ait au moins une journée avec uniquement des matches entre équipes de la même couleur ?
    Je pense que c'est ça la question que tu te poses.
    Et quand il y a <au moins> dans la question, on a souvent intérêt à calculer la probabilité contraire :
    Quelle est la probabilité qu'au cours du championnat, à chaque journée, il y ait au moins un match entre équipes de couleurs différentes ?

    Bon, jusque là, on a reposé le problème un peu différemment... on n'a pas beaucoup avancé.
    Regardons pour des petites valeurs de N, pour voir ?

    Si N=4 .. C'est mort. E1 et E2 jouent en blanc. Quand E1 joue contre E2, E3 joue forcément contre E4, on a l'obligation d'avoir une journée avec que des matches monocolores.

    Si N=8, E1 E2 E3 E4 jouent en blanc.
    On va supposer que E1 joue contre E2 à la 1ère journée , puis contre E3 puis E4 etc ... ça ne change rien à la généralité, et ça permet de formuler des phrases simples.
    Il y a 3 journées à risque (les 3 premières journées, quand E1 joue contre E2 ou E3 ou E4)
    Quand E1 joue contre E2, la proba que E3 joue contre E4 est de 1/5 ... donc proba de 1/5 donc proba d'avoir au moins un match entre 2 équipes de couleurs différentes = 4/5
    Quand E1 joue contre E3, la proba que E4 joue contre E2 est de 1/5 ... donc proba de 1/5 donc proba d'avoir au moins un match entre 2 équipes de couleurs différentes = 4/5
    Et rebelote pour la 3ème journée.
    Ca nous donne 4/5*4/5*4/5
    Mais si on a déjà évité (E3,E4) lors de la 1ère journée, ça veut dire qu'on a évité les matchs entre équipes noires lors de la 1ère journée, et ça augmente un peu les risques d'avoir E2,E4 lors de cette 2ème journée.
    Donc ce calcul 4/5*4/5*4/5 est légèrement faux.

    Même pour N=8, ça semble compliqué. A voir si avec plus de temps de réflexion, une idée géniale arrive.
    N'oubliez pas le bouton Résolu si vous avez obtenu une réponse à votre question.

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