Discussion :

[Mike91]

Bonjour à tous,

Mes cours de maths sont loin, trop loin alors j'aurais besoin d'un peu d'aide si possible.

J'ai un nuage de points ci-dessous :
50 000 => 5 000
100 000 => 10 000
200 000 => 13 000
300 000 => 16 000
600 000 => 22 000
900 000 => 25 000

En gros j'aurais besoin de trouver la fonction qui permet de tracer la courbe rouge du lien ci-dessous pour de se rapprocher de tous les points ?
https://ibb.co/XyFfxcr

PS : J'ai par contre impérativement besoin qu'elle passe par le deuxième point si possible (100 000 => 10 000).

Merci !

[Flodelarab]

Bonjour

C'est pour une fois ou c'est pour un programme ? Si c'est pour une fois, tu demandes cela à ton tableur préféré et il te donnera tous les éléments.



Sinon, ce que tu cherches à faire est une régression logarithmique. N'est-ce pas ?

[Mike91]

Merci, c'est parfait !
A tout hasard, je peux avoir le fichier xls ? pour pouvoir jouer avec (rajouter/enlever les points par exemple) : ))

[Ehouarn]

Bonjour,

Puisque tu as des contraintes précises (tu veux une fonction log() et qu'en plus cette fonction passe très exactement par ton deuxième point) tu devrais regarder du côté de la méthode des moindres carrés.

[wiwaxia]

Bonjour,

Malgré l'en-tête de la discussion, la courbe de référence s'apparente moins à un graphe logarithmique qu'à celui d'une fonction puissance

y = K.xⁿ , avec n ~ 1/2 :

Elle passe en effet par l'origine (0, 0) et y présente une tangente verticale.

On pourrait donc procéder à une régression linéaire sur les logarithmes des coordonnées:

Ln(y) = a + b.Ln(x) , avec a = Ln(K) et b = n ;

on trouve: a = 2.943252101 , n = 0.5305254408 , K = e^a = 18.97746268 , σ = (1 - r²)^1/2 = 0.196
soit donc une dispersion moyenne de l'ordre de 20 % .
Les valeurs recalculées pour l'ordonnée sont les suivantes:

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

5904   8528   12319   15275   22065   27360

d'où pour le second point un écart de 15% par rapport à l'ordonnée y = F(100E3) = 10E3 .

# La régression semi-logarithmique proposée par Flodelarab

donne pour le second point un écart moindre: 6 % , puisque (y₂) vaut dans ce cas: 9366 .

Un problème subsiste cependant, entrevu par Ehouarn: l'obligation imposée à tous les graphes de passer exactement par un point donné, contrainte clairement exprimée par l'auteur du sujet:

... J'ai par contre impérativement besoin qu'elle passe par le deuxième point si possible (100 000 => 10 000) ...

Il faut par conséquent mettre à part le second point, qui ne peut être mis sur le même plan que les autres pour le traitement statistique du nuage.

# Revenons-en à la première fonction: on n'affecte pas sensiblement la dispersion en prenant n = 0.5 , soit: 1/2 ;
ce qui revient à imposer à fonction recherchée l'expression approchée: F(x) = (1000*x)^1/2
compatible avec la contrainte: x₂ = E5 ==> y₂ = E4 .
On envisage donc la nouvelle fonction:

G(x) = F(x)[1 + a(F(x) - y₂) + b(F(x) - y₂)²)

extension naturelle de la précédente, et dont une transformation appropriée se prête à une nouvelle régression linéaire:

H(x) = [G(x)/F(x) - 1]/(F(x) - y₂) = a + b(F(x) - y₂) .

ma calculette donne: a = -3.75300E-6 , b = 5.30219E-12 , r = 0.614 , σ = .789 ;
la dispersion est ici énorme, mais elle concerne des termes correctifs de moindre importance, et provient de la disposition erratique d'un petit nombre de points autour du graphe moyen.
Il faut un plus grand nombre de données pour obtenir des moyennes plus fiables.

D'autres solution numériques sont bien sûr envisageables.

[wiwaxia]

Si l'on veut construire un graphe sur la fonction logarithme à partir de la même liste de coordonnées

il faudra envisager la fonction: F(x) = (y₂/Ln(x₂))*Ln(x) = (2E3/Ln(10))*Ln(x)
puis ensuite:

G(x) = F(x)*(1 + a*Ln(x/x₂) + b*Ln(x/x₂)²) ,
H(x) = (G(x)/F(x) - 1)/(Ln(x/x₂) = a + b*Ln(x/x₂) .

À la réflexion, l'obligation imposée au graphe moyen de passer par un point de coordonnées prédéfinies me paraît très artificielle.
Qu'observerait-on s'il y avait quelques centaines de points ? Un zone de striction de largeur nulle au voisinage de (P2) ? Cela seul pourrait justifier la condition précédente.

[wiwaxia]

On pourrait reprendre une équation plus complète du graphe logarithmique, de la forme:

y = a + b*Ln(x - c) ,

qui admettrait des translations aussi bien verticales - par variation de (a) - qu'horizontales - par variation de (c).

Et s'il faut absolument que le graphe passe par le point (P₂), on imposera de plus:

y₂ = a + b*Ln(x₂ - c) ,

ce qui limitera la recherche à deux paramètres indépendants, par exemple en obtenant:

y = y₂ + b*Ln((x - c)/(x₂ - c)) .

La non-linéarité de l'expression vis-à-vis de (c) ne permet pas de recourir aux fonctions statistiques habituelles. Il va falloir employer la grosse Bertha, pour localiser le minimum de la somme des carrés. Et il ne va pas de soi que cela débouche sur une solution nette.

[Mike91]

Merci à tous pour vos réponses
Je n'avais pas besoin d'une précision extrême et le probabilité d'être en dessous de 50000 est très faible. Donc la première solution me convient parfaitement, après je comprends le "challenge" mathématique pour affiner. Mais pour moi, le sujet est résolu !
Merci à tous !

[Alex64]

ce fichier vous sera utile
il permet de calculer a partir d'un nuage de points les régressions suivantes

exponentielle, log népérien, puissance, linéaire et du second degré avec leur coefficients de corrélations .
vous pouvez meme vous en inspirer pour "fabriquer" du code.
régréssion calcul excel 97.xlsx