Discussion :

[wiwaxia]

On peut chercher quels sont les triplets limites (c₁, c₂, c₃) susceptibles d'apparaître à partir de 98 points (c₁°, c₂°, c₃°) uniformément répartis à la surface d'un cube centré sur l'origine.

On dénombre seulement 4 types de solutions, dont le classement par couleurs est lié à la valeur absolue (│c₁│) du premier coefficient, ainsi qu'au signe du produit p = c₁* c₂*c₃ .

1°) a) le triplet (u = 0.434471 , v = 0.204938 , w = 1.035460) de produit positif (lilas);
b) le triplet (u' = -u , v' = -v, w' = -w) constitué des valeurs opposées (vert);

2°) a) le triplet (u = 0.565053 , v = -0.235687 , w = -1.064759) de produit positif (jaune);
b) le triplet (u' = -u , v' = -v , w' = -w) de valeurs opposées aux précédentes.

[Guesset]

Bonjour,

Peut être que l’obsession d'une solution unique pourrait venir du domaine des variables. Des entiers par exemple. Fermat : le retour ?

Salutations

[wiwaxia]

Un éventuel inventaire des solutions entières peut découler d'une double énumération sur le domaine des valeurs entières, si ce domaine n'est pas trop grand.
Il suffit pour cela de poursuivre les calculs amorcés:

... Lorsque deux variables vérifient une seule équation, cela se traduit par un degré de liberté ... Tu seras conduit par conséquent à exprimer l'une en fonction de l'a[CODE][CODE]utre, et à écrire b = F(a) ou a = G(b)
... / ...
Il faut résoudre l'équation P(a, b) = 4
dans laquelle le polynôme P(a, b) admet pour développement:
P(a, b) = 20a² - 68ab + 58b²
ce qui donne après simplification:
10a² - 34ab + 29b² - 2 = 0

1°) Au polynôme en (a) de degré (2) est associé le discriminant:

∆_a = (34b)² - 4*10*(29b² - 2) = 80 - 4*b²

qui doit être non-négatif pour que l'équation admette des racines réelles; de sorte que (b) doit vérifier la condition:

|b| <= 20^1/2 ~ 4.472 < 5 .

2°) Au polynôme en (b) de degré (2) 29b² - 34ab + 10a² - 2 = 0
est associé le discriminant:

∆_b = (34a)² - 4*29*(10a² - 2) = 232 - 4*a²

lui aussi contraint de vérifier: ∆_b >= 0 pour une raison identique; il vient alors:

|a| <= 58^1/2 ~ 7.616 < 8 .

La double boucle

Code Pascal :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1
2
3
FOR a:= -8 TO 8 DO
  FOR b:= -5 TO 5 DO
    IF (Polynome(a, b)=0) THEN Memoriser(a, b)

livre les doublets solutions:

(-7 , -4) , (-3 , -2) , (3 , 2) , (7 , 4) .

[wiwaxia]

On retrouve l'ellipse allongée déjà signalée comme frontière séparant les zones du plan caractérisées selon le signe du polynôme

Q(a, b) = (1/2)P(a, b) - 2 = 10a² - 34ab + 29b² - 2 ,

positif (en rouge) ou négatif (en bleu):

Le repérage des valeurs entières des coordonnées annulant Q(Vx, Vy) résulte de l'application du test simple:

TestE:= (Q(Vx, Vy)=0) AND ((Frac(Vx)=0) AND (Frac(Vy)=0))

si l'échelle est telle que les valeurs entières en question correspondent exactement à un nombre entier de pixels.

Cette condition doit toujours être respectée; mais lorsque le facteur d'échelle (f = 1 / N) est une approximation décimale (résultant de la division par un nombre autre que 2 et 5), on peut se protéger de toute dérive par une instruction du type:

Abs(v - Round(v)) < Epsilon .

[Guesset]

Bonjour wiwaxia,

Un éventuel inventaire des solutions entières peut découler d'une double énumération sur le domaine des valeurs entières, si ce domaine n'est pas trop grand.
Il suffit pour cela de poursuivre les calculs amorcés:

Je pense qu'il serait peut être plus simple pour les solutions entières d'utiliser le petit théorème de Fermat qui dit que X² + Y² = Z² (X, Y, Z entiers non nuls) a une solution entière ssi X est de la forme a²-b² et y de la forme 2a²b² et bien sûr Z de la forme a²+b² (les rôles de X et Y peuvent être intervertis).

Salutations

[wiwaxia]

Bonjour Guesset,

... 'il serait peut être plus simple pour les solutions entières d'utiliser le petit théorème de Fermat qui dit que X² + Y² = Z² (X, Y, Z entiers non nuls) a une solution entière ssi X est de la forme a²-b² et y de la forme 2a²b² et bien sûr Z de la forme a²+b² (les rôles de X et Y peuvent être intervertis) ...

Je crains que tu n'aies confondu l'énoncé du petit théorème de Fermat

si p est un nombre premier et si a est un entier non divisible par p, alors a^p–1 – 1 est un multiple de p

avec celui du théorème fondamental décrivant tous les triplets pythagoriciens primitifs:

un triplet (a, b, c) d'entiers premiers entre eux vérifie a² + b² = c² si et seulement s'il existe deux entiers (u, v)
satisfaisant aux conditions: a = p² - q² , b = 2pq , c = p² + q² , p > q, p et q premiers entre eux

Peut-être as-tu involontairement songé à la conjecture de Fermat, selon laquelle

il n'existe aucune solution sur les entiers naturels à l'équation aⁿ + bⁿ = cⁿ, pour tout entier (n) strictement supérieur à 2.

Je me suis contenté de reprendre les calculs concernant l'équation initialement citée, en restreignant les solutions aux valeurs entières (selon l'hypothèse déjà exprimée par WhiteCrow), et sans considération de recherche du plus court algorithme.

Il est effectivement plus rapide de passer par la forme canonique

X²+Y²=2² est vérifié par les points de coordonnées (X,Y) sur le cercle de centre (0,0) et de rayon 2.
On pose donc X = 2a - 3b et y = 4a - 7b.
On en déduit b = 2X - Y et a=(7X - 3Y)/2

cependant la formulation des triplets pythagoriciens, qui met en jeu deux paramètres (p, q), ne nous est ici d'aucun secours: la résolution de l'équation X² + Y² = Z² exige l'examen de tous les doublets (|x|, |y|) du domaine [0, |z|]².

Le cas envisagé (z = 2) admet comme seules solutions: (0, 2) et (2, 0); ce qui donne:

# a = ± 3 ; b = ± 2 ;
# a = ± 7 ; b = ± 4 .

[Guesset]

Bonjour wiwaxia,

Je crains que tu n'aies confondu l'énoncé du petit théorème de Fermat...

Mea-culpa pour l'intitulé erroné de l'équation de Fermat .

En revanche, dans le domaine des entiers, cela reste l'approche la plus performante. Pour reprendre l'exemple de X²+Y² = Z² = 2², il n'y a pas de solution entière non triviale. En effet, 2 = Z = a²+b² => |a| = |b| = 1 => X ou Y = a²-b² = 0 cad une solution triviale. Nul besoin de faire un balayage des solutions.

Salutations

[wiwaxia]

... En revanche, dans le domaine des entiers, cela reste l'approche la plus performante ...

... pour la recherche des triplets d'entiers premiers entre eux, seulement; dans le cas le plus général, un troisième paramètre intervient:

plus généralement, en levant la condition pgcd(a,b,c) = 1, tout triplet pythagoricien est de la forme :
a = n(p² - q²) , b = 2npq , c = n(p² + q²) , p > q, p et q premiers entre eux, n entier arbitraire

L'évidence de la solution vient de la faible valeur de la somme (z² = 4), qui limite la liste des réponses aux couples triviaux (0, 2) et (2, 0) .

... En revanche, dans le domaine des entiers, cela reste l'approche la plus performante. Pour reprendre l'exemple de X²+Y² = Z² = 2², il n'y a pas de solution entière non triviale. En effet, 2 = Z = p²+q² => |p| = |q| = 1 => X ou Y = p²-q² = 0 cad une solution triviale. Nul besoin de faire un balayage des solutions ...

Pour des valeurs plus élevées, c'est une toute autre histoire; on a par exemple pour z = 65:

(x, y) = (0, 65), (16, 63), (25, 60[n = 5]), (33, 56), (39, 52[n = 13]) ... etc

le troisième terme c = n(p² + q²) dépendant désormais de 3 paramètres (dont n = pgcd(a, b, c)); un balayage sur les valeurs de |x|, se limitant aux cas où x² < y² , livre directement les doublets d'entiers (x, y).

Ceci dit, c'est un débat secondaire dans la mesure ou l'auteur du sujet ne nous a pas fait connaître le contenu exact de son problème, et évoque une somme de 3 termes:

... ce que je voulais avoir c'est "une méthode numérique" pour résoudre une équation quadratique de la forme :
(aX-bY)² +(cX-dY)²+(eX-fY)²=w² ...

[Guesset]

Bonjour wiwaxia,

... pour la recherche des triplets d'entiers premiers entre eux, seulement; dans le cas le plus général, un troisième paramètre intervient:

plus généralement, en levant la condition pgcd(a,b,c) = 1, tout triplet pythagoricien est de la forme :
a = n(p² - q²) , b = 2npq , c = n(p² + q²) , p > q, p et q premiers entre eux, n entier arbitraire

N ne peut être arbitraire puisqu'il doit être un diviseur de z.

Par ailleurs, si z est pair, il n'y a pas de solution en n = 1 (ie avec x et y premiers entre eux) donc les seules solutions à rechercher sont pour z' impair = z.2^-u. Pour z impair y = 2pq est alors au moins un multiple de 4 (hors les solutions triviales)...

On voit qu'il y a des critères (la plupart basés sur la parité) qui élaguent le balayage.

Mais comme tu l'as dit, ce n'est peut être pas le problème posé.

Salutations.