Discussion :

[j.p.mignot]

je dispose d'une série de résultats simulés dépendant de 3 variables indépendantes
V1_i i=1..Ni
V2_j j=1..Nj
V3_k k=1..Nk
le résultat peut être un scalaire W_ijk=Value(V1_i, V2_j, V3_k)

En admettant qu'un triplet X,Y,Z soit dans les domaines couverts respectivement par V1, V2, V3,
Je souhaiterais obtenir une évaluation de W= Value(X,Y,Z)
J'ai la solution en 2D (dont on peut trouver une très bonne présentation sur http:///fr.wikipedia.org/wiki/Interpolation_bilinéaire ) mais pas de solution correcte en 3D.
De façon plus générale, ma question va aussi pour un nombre plus élevé de variables W_{i1, i2, i3, ...,in}=Value(V1_i1, V2_i2,..,Vn_in) i_p=1..nI_p p=1..n et recherche d'une estimation de Value(X1, X2, X3, ...,Xn)
Je vous remercie par avance pour toute information.

[wiwaxia]

Bonjour,

Étant donné trois variables indépendantes (V₁, V₂, V₃), l'idée est de faire intervenir un polynôme de degré 1 par rapport à chacune d'entre elles, donc susceptible d'un développement de la forme:

P(V₁, V₂, V₃) = A + B₁V₁ + B₂V₂ + B₃V₃ + C₁*V₂V₃ + C₂*V₃V₁ + C₃*V₁V₂ + D*V₁V₂V₃ ,

Les coefficients, bien que nombreux (8 = 2³ dans le cas présent) s'expriment assez facilement en fonction des valeurs extrêmes si l'on choisit pour celles-ci (0) et (1); on obtient ainsi:
P(0, 0, 0) = A ; P(1, 0, 0) = A + B₁ ; P(0, 1, 0) = A + B₂ ...
P(1, 1, 0) = A + B₁ + B₂ + C₃ ... etc .

Il existe néanmoins un procédé plus rapide de déterminer la valeur cherchée: c'est d'exprimer celle-ci en fonction des valeurs extrêmes, par une relation affine. Pour reprendre la notation proposée, et en s'en tenant aux mêmes valeurs exrêmes (0, 1):

W(x, y, z) = W(x, y, 0)*(1 - z) + W(x, y, 1)*z

W(x, y, 0) = W(x, 0, 0)*(1 - y) + W(x, 1, 0)*y
W(x, y, 1) = W(x, 0, 1)*(1 - y) + W(x, 1, 1)*y

W(x, 0, 0) = W(0, 0, 0)*(1 - x) + W(1, 0, 0)*x
W(x, 1, 0) = W(0, 1, 0)*(1 - x) + W(1, 1, 0)*x
W(x, 0, 1) = W(0, 0, 1)*(1 - x) + W(1, 0, 1)*x
W(x, 1, 1) = W(0, 1, 1)*(1 - x) + W(1, 1, 1)*x

soit 7 interpolations en dimension 3.
En dimension (N), il en faudrait 1 + 2 + 2² + ... + 2^{N - 1} = 2^N - 1
le débordement calculatoire ne tardera pas à se produire .