TDGCSectionOfBeam : une classe pour le calcul des caractéristiques d'une section droite de poutre

**JP CASSOU** · 28/07/2020, 03h16

Bjr à vous,

Je vous propose ici une classe (licence CC0) pour le calcul des caractéristiques d'une section droite de poutre délimitée par un polygone fermé:

- aire
- périmètre
- centre de gravité
- moments quadratiques
- directions principales et moments d'inertie principaux

Ressources:
https://en.wikipedia.org/wiki/Second_moment_of_area
https://campus.mines-douai.fr/plugin...rincipaux.html

Représentation graphique de la section et de la position du centre de gravité
Nom : TDGCSectionOfBeam_Class_1.png
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Nom : TDGCSectionOfBeam_Class_1.png
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Taille : 71,1 Ko

Cercle de MOHR des inerties de la section (et non pas 'Cercle de MORT')
Nom : TDGCSectionOfBeam_Class_2.png
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Taille : 101,0 Ko

La classe comporte deux unités minimales:

- DGCTypes.pas: Types de données pour la classe précitée et bien d'autres

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unit DGCTypes;
 
{$mode delphiunicode}
 
interface
 
uses
  Classes, SysUtils, math, graphics;
const DIEU_AU_CARRE = -1; // dieu étant imaginaire pur, son carré vaut -1 ;-))))
const DGC_DEFAULT_FONT_NAME = 'Arial';
 
type TDGCPoint2D = record
  X:  double;
  Y:  double;
end;
type TDGCArrayPoints2D = array of TDGCPoint2D;
type TDGCPoint2Dh = record  // coordonnées 2D homogènes
  X:  double;
  Y:  double;
  H:  double;
end;
type TDGCBoundingBox = record
  X1:  double;
  Y1:  double;
  X2:  double;
  Y2:  double;
end;
type TDGCMatrix3x3 = array[0..2, 0..2] of double;
 
//Elements dessinés
type  TDGCOptions = set of (dgcoX_AXIS, dgcoY_AXIS,
                            dgcoPRI_X_GRID, dgcoPRI_Y_GRID,
                            dgcoSEC_X_GRID, dgcoSEC_Y_GRID,
                            dgcoCOORDS_RIVE_X, dgcoCOORDS_RIVE_Y
                           );
 
//Modes de travail spécifiques
type  TDGCModesTravail  = (mtgcsREADY,
                           mtgcsPAN_PREMIER_POINT, mtgcsPAN_SECOND_POINT,
                           mtgcsZOOM_PREMIER_COIN, mtgcsZOOM_SECOND_COIN
                          );
// Types d'éléments de la liste d'affichage
type TDGCTypeDessinObjet = (
                   tdoNONE,
                   tdoENTITY_SEGMENT,       // TDGCSegment
                   tdoENTITY_INFINITE_LINE, // TDGCInfiniteLine
                   tdoENTITY_RECTANGLE,     // TDGCRectangle;
                   tdoENTITY_ELLIPSE,       // TDGCEllipse
                   tdoENTITY_TRIANGLE,      // TDGCTriangle
                   tdoENTITY_POLYLINE,      // TDGCPolyline
                   tdoENTITY_POLYGONE,      // TDGCPolygon
                   tdoENTITY_CURVE,         // TDGCCurve
                   tdoENTITY_TEXT,          // TDGCText
                   tdoCMD_SET_PEN,          // TDGCPen
                   tdoCMD_SET_BRUSH,        // TDGCBrush
                   tdoCMD_SET_FONT,         // TDGCFont
                   tdoCMD_SVG_BEGIN_GROUPE,
                   tdoCMD_SVG_END_GROUPE
                   );
 
type
 
{ TDGCDessinObjet }
 
 TDGCDessinObjet = record
  IdxGroupe      : integer;
  Name           : string;
  TypeDessinObjet: TDGCTypeDessinObjet;
  DessinObjet    : TObject;
  function GetDescroDessinObjet(): string;
end;
type TDGCStyleSheet = record
  Stylename        : string;
  Description      : string;
  // Crayon
  PenColor         : TColor;
  PenOpacity       : byte;
  PenStyle         : TPenStyle;
  PenWidthInPX     : byte;
  PenWidthInMM     : double;
 
  // Brosse
  BrushColor       : TColor;
  BrushOpacity     : byte;
  BrushStyle       : TBrushStyle;
 
  // Fontes
  FontName         : string;
  FontColor        : TColor; // Utiliser la couleur de Brush
  FontOpacity      : byte;
  FontSizeInPts    : integer;
  FontSizeInMM     : double;
 
  FontStyle        : TFontStyles;
end;
 
 
// Types internes
type TTypeCurve = (tdgcBEZIER_CURVE, tdgcSPLINE_CURVE);
type TInfiniteLineOrientation = (tdgcVERTICAL_LINE, tdgcHORIZONTAL_LINE);
// Arc de courbe de Bézier
// On stocke les tangentes ET les points de contrôle
 
type TDGCBezierArc = record
  PT1    : TDGCPoint2D; // extremité courbe 1
  TangP1 : TDGCPoint2D; // Tangente en P1
  //PC1    : TDGCPoint2D; // Point de contrôle PC2
  PT2    : TDGCPoint2D; // extremité courbe 2
  TangP2 : TDGCPoint2D; // Tangente en P2
  //PC2    : TDGCPoint2D; // Point de contrôle PC2
end;
 
 
// pour les pointeurs sur fonctions de conversion
type TFunctionGetCoordsMonde = function(const PP: TPoint): TDGCPoint2D of object;
type TFunctionGetCoordsPlan  = function(const PM: TDGCPoint2D): TPoint of object;
//******************************************************************************
implementation
uses
  DGCDummyUnit; // pour limiter le bug de 'Fin de code source non trouvée
 
 
 
{ TDGCDessinObjet }
 
function TDGCDessinObjet.GetDescroDessinObjet(): string;
var
  LS: TStringList;
begin
  LS := TStringList.Create;
  try
    LS.Clear;
    LS.Add('tdoNONE');
    LS.Add('tdoENTITY_SEGMENT');
    LS.Add('tdoENTITY_INFINITE_LINE');
    LS.Add('tdoENTITY_RECTANGLE');
    LS.Add('tdoENTITY_ELLIPSE');
    LS.Add('tdoENTITY_TRIANGLE');
    LS.Add('tdoENTITY_POLYLINE');
    LS.Add('tdoENTITY_POLYGONE');
    LS.Add('tdoENTITY_CURVE');
    LS.Add('tdoENTITY_TEXT');
    LS.Add('tdoCMD_SET_PEN');
    LS.Add('tdoCMD_SET_BRUSH');
    LS.Add('tdoCMD_SET_FONT');
    LS.Add('tdoCMD_SVG_BEGIN_GROUPE');
    LS.Add('tdoCMD_SVG_END_GROUPE');
 
    Result := LS.Strings[Ord(self.TypeDessinObjet)];
  finally
    FreeAndNil(LS) ;
  end;
end;
 
end.

et le fichier principal: DGCClassSectionOfBeam

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unit DGCClassSectionOfBeam;
// Calcul de caractéristiques de sections droites d'une poutre:
// - aire
// - centre de gravité
// - limites
// - moments quadratiques
// - produits de surface
// - directions principales
{$mode delphiunicode}
interface
 
uses
  Classes, SysUtils, math,
  DGCTypes;
 
type
 
{ TDGCSectionOfBeam }
 
 TDGCSectionOfBeam = class(TList)
  private
    FBounds    : TDGCBoundingBox;
    FPerimetre : double;
    FArea      : double;
    FCentroid  : TDGCPoint2D;
    FInertiaOx : double;
    FInertiaOy : double;
    FInertiaOxy: double;
    FInertiaPolar: double;
    FAnglePrincipalInertie: double;
    FMainInertia_I  : double;
    FMainInertia_II : double;
    procedure CalcPerimeter();
    procedure CalcArea();
    procedure CalcCentroid();
    procedure ClearListe();
    procedure CalcInertias();
  public
    function  Initialiser(): boolean;
    procedure Finaliser();
    function  GetNbVertex(): integer;
    function  AddVertex(const V: TDGCPoint2D): boolean; overload;
    function  AddVertex(const VX, VY: double): boolean; overload;
    procedure CalcBounds();
    function  GetBounds(): TDGCBoundingBox;
    function  GetVertex(const Idx: integer): TDGCPoint2D;
    function  RemoveVertex(const Idx: integer): boolean;
    procedure CalcCaracteristiques();
 
    property  Area: double read FArea;
    property  Perimeter: double read FPerimetre;
    property  Centroid: TDGCPoint2D read FCentroid;
    property  InertiaXGX: double read FInertiaOx;
    property  InertiaYGY: double read FInertiaOy;
    property  InertiaXY: double read FInertiaOxy;
    property  InertiaPolar: double read FInertiaPolar;
    property  MainAngleInertia: double read FAnglePrincipalInertie;
    property  MainInertia_I  : double read FMainInertia_I;
    property  MainInertia_II : double read FMainInertia_II;
end;
 
implementation
uses
  DGCDummyUnit;
 
// Classes utilitaires: Liste des vertex
function TDGCSectionOfBeam.GetNbVertex(): integer;
begin
  Result := self.Count;
end;
 
procedure TDGCSectionOfBeam.ClearListe();
var
  i, Nb: Integer;
begin
  Nb := self.Count;
  if (0 = Nb) then Exit;
  for i := 0 to Nb - 1 do
  begin
    try
      Dispose(self.Items[i]);
    except
    end;
  end;
  self.Clear();
end;
 
 
function TDGCSectionOfBeam.Initialiser(): boolean;
begin
  result := false;
  try
    FArea       := 0.00;
    FPerimetre  := 0.00;
    FCentroid.X := 0.00;
    FCentroid.Y := 0.00;
    FInertiaOx  := 0.00;
    FInertiaOy  := 0.00;
    FInertiaOxy := 0.00;
    FAnglePrincipalInertie := 0.00;
    FMainInertia_I  := 0.00;
    FMainInertia_II := 0.00;
 
    self.ClearListe();
    result      := true;
  except
  end;
end;
 
procedure TDGCSectionOfBeam.CalcPerimeter();
var
  i, j, n: Integer;
  V1, V2: TDGCPoint2D;
begin
  FPerimetre := 0.00;
  n     := GetNbVertex();
  for i := 0 to n - 1 do
  begin
    j := Ifthen(n = (i+1), 0, i+1);
    V1 := GetVertex(i);
    V2 := GetVertex(j);
    FPerimetre += hypot(V2.X - V1.X, V2.Y - V1.Y);
  end;
end;
 
procedure TDGCSectionOfBeam.CalcArea();
var
  n, i, j: Integer;
  V1, V2: TDGCPoint2D;
begin
  FArea := 0.00;
  n     := GetNbVertex();
  for i := 0 to n - 1 do
  begin
    j := Ifthen(n = (i+1), 0, i+1);
    V1 := GetVertex(i);
    V2 := GetVertex(j);
    FArea += V1.X * V2.Y - V2.X * V1.Y;
  end;
  FArea:= 0.5 * Abs(FArea);
end;
//centre de gravité
procedure TDGCSectionOfBeam.CalcCentroid();
var
  Q6A: Double;
  n, i, j: Integer;
  V1, V2: TDGCPoint2D;
begin
  if (IsZero(FArea)) then exit;
  Q6A := 1 / (6 * FArea);
  FCentroid.X := 0.00;
  FCentroid.Y := 0.00;
  n := GetNbVertex();
  for i := 0 to n - 1 do
  begin
    j  := Ifthen(n = (i+1), 0, i+1);
    V1 := GetVertex(i);
    V2 := GetVertex(j);
    FCentroid.X += (V1.X + V2.X) * (V1.X * V2.Y - V2.X * V1.Y);
    FCentroid.Y += (V1.Y + V2.Y) * (V1.X * V2.Y - V2.X * V1.Y);
  end;
  FCentroid.X := Q6A * FCentroid.X;
  FCentroid.Y := Q6A * FCentroid.Y;
end;
// calcul des moments quadratiques
procedure TDGCSectionOfBeam.CalcInertias();
var
  V1, V2: TDGCPoint2D;
  WU: Double;
  n, i, j: Integer;
  Q1, Q2 : double;
begin
  if (IsZero(FArea)) then exit;
  FInertiaOx  := 0.00;
  FInertiaOy  := 0.00;
  FInertiaOxy := 0.00;
  n := GetNbVertex();
  for i := 0 to n - 1 do
  begin
    j := Ifthen(n = (i+1), 0, i+1);
    V1 := GetVertex(i);
    V2 := GetVertex(j);
    WU := (V1.X * V2.Y - V2.X * V1.Y);
    FInertiaOy  += WU * (V1.X ** 2 +  V1.X * V2.X + V2.X ** 2);
    FInertiaOx  += WU * (V1.Y ** 2 +  V1.Y * V2.Y + V2.Y ** 2);
    FInertiaOxy += WU *     (V1.X * V2.Y +
                         2 * V1.X * V1.Y +
                         2 * V2.X * V2.Y +
                             V2.X * V1.Y);
  end;
  // moments IxOx et IyOy par rapport au repère général
  FInertiaOx  := (FInertiaOx  / 12); //- FArea * sqr(FCentroid.Y);
  FInertiaOy  := (FInertiaOy  / 12); //- FArea * sqr(FCentroid.X);
  // produit de surface
  FInertiaOxy := (FInertiaOxy / 24);
  // transport des moments vers le centroide
  // IxOx = IxGx + S.Yg ** 2, avec S: aire de la section et Yg ordonnée du CDG
  // IxGx = IxOx + S.Xg ** 2, avec S: aire de la section et Xg abscisse du CDG
  // IxGy = IxOy + S.Xg.Yg
  FInertiaOx  := FInertiaOx  - FArea * FCentroid.Y ** 2;
  FInertiaOy  := FInertiaOy  - FArea * FCentroid.X ** 2;
  FInertiaOxy := FInertiaOxy - FArea * (FCentroid.X * FCentroid.Y);
  // moment quadratique polaire: Io = IxGx + IyGy
  FInertiaPolar := FInertiaOx + FInertiaOy;
  // Moments d'inertie principaux, axes principaux
  // cf cours https://campus.mines-douai.fr/pluginfile.php/9832/mod_resource/content/0/Chapitre4_webLatex/co/C3_MomentsPrincipaux.html
  WU := FInertiaOy - FInertiaOx;
  FAnglePrincipalInertie := ifthen (IsZero(WU), 0.00, 0.50 * ArcTan(2 * FInertiaOxy / WU));
 
  Q1 := 0.50 * (FInertiaOx + FInertiaOy);
  Q2 := sqrt((0.50 * (FInertiaOx - FInertiaOy)) ** 2 + FInertiaOxy ** 2);
 
  FMainInertia_I   := Q1 - Q2;
  FMainInertia_II  := Q1 + Q2;
end;
 
procedure TDGCSectionOfBeam.CalcCaracteristiques();
begin
  CalcBounds();
  CalcPerimeter();
  CalcArea();
  CalcCentroid();
  CalcInertias();
end;
 
procedure TDGCSectionOfBeam.Finaliser();
begin
  self.ClearListe();
end;
function  TDGCSectionOfBeam.AddVertex(const V: TDGCPoint2D): boolean; overload;
var
  pS : ^TDGCPoint2D;
begin
  result := false;
  try
    New(pS);
    pS^ := V;
    self.Add(pS);
    Result := True;
  except
  end;
end;
function  TDGCSectionOfBeam.AddVertex(const VX, VY: double): boolean; overload;
var
  EWE: TDGCPoint2D;
begin
  EWE.X := VX; EWE.Y := VY;
  Result := AddVertex(EWE);
end;
 
procedure TDGCSectionOfBeam.CalcBounds();
const INFINITEE = 1E30;
var
  i, Nb: Integer;
  EWE: TDGCPoint2D;
begin
  FBounds.X1 :=  INFINITEE;
  FBounds.Y1 :=  INFINITEE;
  FBounds.X2 := -INFINITEE;
  FBounds.Y2 := -INFINITEE;
  Nb := GetNbVertex();
  if (0 = Nb) then exit;
  for i := 0 to Nb - 1 do
  begin
    EWE := getVertex(i);
    if (EWE.X < FBounds.X1) then FBounds.X1 := EWE.X;
    if (EWE.Y < FBounds.Y1) then FBounds.Y1 := EWE.Y;
    if (EWE.X > FBounds.X2) then FBounds.X2 := EWE.X;
    if (EWE.Y > FBounds.Y2) then FBounds.Y2 := EWE.Y;
  end;
end;
 
function TDGCSectionOfBeam.GetBounds(): TDGCBoundingBox;
begin
  result := FBounds;
end;
 
 
function TDGCSectionOfBeam.GetVertex(const Idx: integer): TDGCPoint2D;
var
  pS : ^TDGCPoint2D;
begin
  pS := self.Items[Idx];
  Result := pS^;
end;
 
function TDGCSectionOfBeam.RemoveVertex(const Idx: integer): boolean;
begin
  Result := False;
  try
    Dispose(self.Items[Idx]);
  finally
    self.Delete(Idx);
    Result := True;
  end;
end;
end.

Exemple d'utilisation:

Code :

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procedure TCdrCalculette.Button1Click(Sender: TObject);
const
  //TX = -50; TY = -100;
  TX = 0; TY = 0;
 
var
  MySection: TDGCSectionOfBeam;
  BB: TDGCBoundingBox;
  Nb, i, QIdxStyleSheet: Integer;
  MySommet: TDGCPoint2D;
begin
  MySection := TDGCSectionOfBeam.Create;
  try
    if (MySection.Initialiser()) then
    begin
      MySection.AddVertex(  0,   0);
      MySection.AddVertex(320,   0);
      MySection.AddVertex(320,  20);
      MySection.AddVertex( 60,  20);
      MySection.AddVertex( 60, 280);
      MySection.AddVertex(110, 280);
      MySection.AddVertex(110, 300);
      MySection.AddVertex(  0, 300);
      MySection.AddVertex(  0, 280);
      MySection.AddVertex( 50, 280);
      MySection.AddVertex( 50,  20);
      MySection.AddVertex(  0,  20);
      //*)
      MySection.CalcBounds();
      // centre de gravité, inerties, aires, etc ...
      MySection.CalcCaracteristiques();
      ListerCaracteristiquesSections(MySection);
      // dessiner la section
      DessinerSection(MySection);
      DessinerCercleDeMohr(MySection);
      MySection.Finaliser();
    end;
  finally
    FreeAndNil(MySection);
  end;
end;           
 
//...
  lbCentroidX.Caption       := FormatterNombreOOo(S.Centroid.X, 3);
  lbCentroidY.Caption       := FormatterNombreOOo(S.Centroid.Y, 3);
  lbAire.Caption            := FormatterNombreOOo(S.Area, 3);
  lbPerimetre.Caption       := FormatterNombreOOo(S.Perimeter, 3);
  lbIxGx.Caption            := FormatterNombreOOo(S.InertiaXGX, 3);
  lbIyGy.Caption            := FormatterNombreOOo(S.InertiaYGY, 3);
  lbIxy.Caption             := FormatterNombreOOo(S.InertiaXY, 3);
  lbAnglePrincipal.Caption  := FormatterNombreOOo(radtodeg(S.MainAngleInertia), 3);
  lbInertieI.Caption        := FormatterNombreOOo(S.MainInertia_I, 3);
  lbInertieII.Caption       := FormatterNombreOOo(S.MainInertia_II, 3);

Pour attribution CC0.

**Gouyon** · 04/08/2020, 15h19

Merci de partager ce genre d'outil. Je n'y connait strictement rien en calcul de poutre mais je vais en donner l'informatuion à un collègue ingénieur mécanicien.

TDGCSectionOfBeam : une classe pour le calcul des caractéristiques d'une section droite de poutre

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