Discussion :

[fab74]

bonjour,

il y a 2 exercices de démonstration sur l'algèbre de bool que je n'arrive pas à résoudre :

1. a ∧ ~b ∧ ~c ∨ a ∧ b ∧ ~c ∨ a ∧ b ∧ c = a ∧ (b ∨ ~c)

2. a ∨ (a ∧ b ∧ c) ∨ (~a ∧ b ∧ c) ∨ (~a ∧ b) ∨ (a ∧ d) ∨ (a ∧ ~d) = a + b

J'ai essayé pas mal de solution (loi de Morgan , distributivité ...) mais en vain !

Y a t-il quelqu'un qui pourrait m'aider ?

Je ne demande pas la solution mais juste des pistes.

Merci beaucoup.

[dourouc05]

Pour la première formule, il y a déjà un point à préciser : la priorité des opérateurs ET (∧, ·) et OU (∨, +).

En considérant qu'on peut l'écrire comme ceci :

a b̄ c̄ + a b c̄ + a b c
= a b̄ c̄ + a b (c̄ + c)
= a b̄ c̄ + a b
= a (b̄ c̄ + b)
= a (b + c̄)

Pour la dernière étape (b̄ c̄ + b = b + c̄), je n'ai pas trouvé d'autre astuce que la table de vérité pour vérifier que les deux expressions ont bien les mêmes valeurs de vérité (ou alors du Karnaugh).

(Edit) En fait, si : la distributivité de l'addition. Elle fait chier, elle .

b̄ c̄ + b
= (b + b̄) (b + c̄)
= b + c̄

[fab74]

Salut,

Merci beaucoup pour ta réponse.
J'ai compris grâce à toi une chose essentielle : On peut aussi regrouper avec des facteurs commun en algèbre de bool.
C'était vraiment ça qui me manquait.
Du coup ça ma permis également de résoudre le 2ème exercice.
voici la solution que j'ai trouvé:

a ∨ a∧b∧c ∨ ~a∧b∧c ∨ ~a∧b ∨ a∧d ∨ a∧~d
= a ∨ a∧b∧c ∨ a∧d ∨ a∧~d ∨ ~a∧b∧c ∨ ~a∧b
= a∧(a ∨ b∧c ∨ d ∨ ~d) ∨ ~a∧b∧c ∨ ~a∧b
= a∧(a ∨ b∧c ∨ d ∨ ~d) ∨ ~a∧(b∧c ∨ b)
= a∧(a ∨ b∧c) ∨ ~a∧(b∧c ∨ b)
= a∧(a ∨ b∧c) ∨ ~a∧b
= ((a∧a) ∨ (a∧b) ∧ (a∧c)) ∨ ~a∧b
= a ∨ ~a∧b
= (a ∨ ~a)∧(a ∨ b)
= a ∨ b

Il y a peut-être plus court mais pour moi ça marche.

Je te souhaite une très bonne journée.

[Flodelarab]

Bonjour

a ∨ a∧b∧c ∨ ~a∧b∧c ∨ ~a∧b ∨ a∧d ∨ a∧~d

a v ( a ∧ n'importe quoi ) = a
Donc "a" va trucider pas mal de termes.
a v ( ~a ∧ b ) = a v b , (b étant n'importe quoi)
On a supprimé le facteur inversé.

Et on recommence avec b.

E = a ∨ a∧b∧c ∨ ~a∧b∧c ∨ ~a∧b ∨ a∧d ∨ a∧~d
E = a ∨ b∧c ∨ b
E = a v b

3 lignes.