Discussion :

[tbc92]

C'est effectivement la question que je me suis posée, et en fait la courbe n'est pas en cloche. La concentration la plus forte est aux alentours de 0.21 : pic assez pointu autour de 0.21, et un autre sommet plus arrondi autour de 0.26 si je me souviens bien. On est en fait plutôt dans une courbe type 'Poisson' : cloche nettement déséquilibrée.

Une autre question intéressante serait de recenser les X pour lesquels l'équations a/bc+d/ef+g/hi=X aurait au moins 2, voire 3 solutions.

[Flodelarab]

Une autre question intéressante serait de recenser les X pour lesquels l'équations a/bc+d/ef+g/hi=X aurait au moins 2, voire 3 solutions.

Mais ! C'est ce que j'ai fait, message #10.
Je n'ai juste pas voulu griller la surprise du maximum.
Vous comprenez que c'est plus que 6...
Il y a 6 objectifs avec 5 solutions
Il y a 1 objectif avec 6 solutions
il y a 1 objectif avec ...

Il serait intéressant de tracer l'histogramme

C'est franchement pas difficile.
Sauf que je n'ai pas compris ce que tu mets en abscisse et en ordonnée.
Si tu mets le nombre de solutions, tu vas avoir des barres horizontales égale à 0 1 2 3 ... pas très intéressantes.
Je ne sais pas trop comment tu calcules ta densité linéique. Par moyenne locale ? Cela n'a pas trop de sens.

[wiwaxia]

La question de l'existence de multiplets, dont quelques uns ont été débusqués

C'est quand même extra-ordinaire qu'une seule combinaison corresponde à l'unité.
Alors que 3 correspondent à 0.95:

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1
2
3
6/14 + 7/35 + 9/28 = 0.95
6/24 + 7/35 + 9/18 = 0.95
7/42 + 8/15 + 9/36 = 0.95

Ou 6 pour 0.0611111
Ou plus ... pour ...

semble plus difficile.

# alex_fomine paraît motivé et désireux de se remettre au Turbo Pascal:

... Je suis un amateur trop vieux et trop loins du temps de l'apprentissage.. L'exercice est un défi lancé par un ami. auquel j'ai pensé longuement pour trouver rigoureusement une solution.
mais je n'ai pas réussi. voila pourquoi je voudrai renouer avec mon vieux Turbo7 et chercher une solution ...

... C'est vrai que j'ai du mal à me rappeler de l'algorithmique et de la syntaxe Pascal après tant d'années d'éloignement et 'd'abstinence informatique' ...
... Même si je serai très reconnaissant si vous pouvez me donner le listing en entier, optimisé et prêt à l’exécution ...

Une fois n'est pas coutume, comme il ne s'agit pas d'un devoir, je poste le texte source.

Il contient tout un lot d'instructions simples, et son étude attentive lui permettra de se remettre le pied à l'étrier.
Raison supplémentaire: il y a dans les indications données auparavant une erreur sournoise propre à décourager un débutant - nul n'est assuré de la fiabilité d'un programme, tant que son exécution n'a pas été testée.

C'est du Virtual Pascal, mais cela doit pouvoir se compiler sans ennui en Turbo.
Les instructions de confort, normalement présentes dans une unité encombrante, ont été ici rassemblées dans un fichier inclus.
Formule_Comb_9ch_Bis.pas
Le second fichier a été refusé pour des raisons inconnues:

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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 TYPE Z_08 = ShortInt; Z_16 = SmallInt; Z_32 = LongInt;
      Reel = Extended; Bool = Boolean;
 
 PROCEDURE E(Code: Word);     // Couleurs / Effacement de l'‚cran *)
   VAR Ef, Cf, Ct: Byte;
   BEGIN
     Ef:= Code DIV 100; Ct:= Code MOD 100;  TextColor(Ct);
     Cf:= Ef MOD 10;    TextBackGround(Cf); IF Ef>Cf THEN ClrScr
   END;
 
 PROCEDURE Wt(x, y: Byte; Texte: String);              // Ecriture d'un texte
   BEGIN
     GotoXY(x, y); Write(Texte)
   END;
 
 PROCEDURE We(x, y: Byte; k: LongInt; u: Byte);        // Ecriture d'un entier
   BEGIN
     GotoXY(x, y); Write(k:u)
   END;
 
 PROCEDURE Wr(x, y: Byte; r: Reel; m: Word);           // Ecriture d'un réel
   CONST C = 100;
   VAR u, v: Byte;
   BEGIN
     GotoXY(x, y);
     IF m<C THEN BEGIN
                   u:= m MOD C; Write(r:u)
                 END
            ELSE BEGIN
                   u:= m DIV C; v:= m MOD C;
                   Write(r:u:v)
                 END
   END;

[wiwaxia]

...

Il serait intéressant de tracer l'histogramme

C'est franchement pas difficile.
Sauf que je n'ai pas compris ce que tu mets en abscisse et en ordonnée.
Si tu mets le nombre de solutions, tu vas avoir des barres horizontales égale à 0 1 2 3 ... pas très intéressantes ...

Pas difficile, en effet: il suffit pour cela de découper le domaine des valeurs observées (Smin = 0.06829 ; Smax = 1.16448) en millièmes par exemple, et de dénombrer les résultat situés dans chacune des tranches: [n ; n+1[;
l'abscisse variera donc de 68 à 1165 .

... Je ne sais pas trop comment tu calcules ta densité linéique. Par moyenne locale ? Cela n'a pas trop de sens.

Soit un domaine centré sur une valeur donnée (V₀); [V₀ - h ; V₀ + h[;
la densité locale d'une distribution au voisinage de cette dernière est le quotient du nombre de valeurs présentes dans l'intervalle considéré, par la largeur de celui-ci: d(V₀) = N / (2*h) .
Cela suppose (h) petit devant la largeur totale - sans que l'on puisse le diminuer indéfiniment, puisqu'on travaille sur un ensemble fini de valeurs.

La densité moyenne de l'ensemble se déduit du nombre total de valeurs, et de la largeur totale de l'intervalle:
d_moy = N_tot/(V_max - V_min) = 60480/(1.16448 - 0.06829) = 55173 .
Il faut donc s'attendre, pour l'histogramme, à des ordonnées ~ 55 (en moyenne), et à des valeurs beaucoup plus élevées au voisinage du maximum.

[Flodelarab]

Regroupés par 10000, 1000, 100, 10:

[wiwaxia]

Les nuages de points ont un bel aspect, surtout le 3^me ... mais je ne comprends pas ce que représente le dernier.

Regroupés par 10000, 1000, 100, 10: ...

Que veux-tu dire par là ?

[Flodelarab]

Je me suis précipité. L'expression n'est pas bonne.

Il s'agit d'un regroupement par troncature de la valeur multipliée par 10, 100, 1000, 10000.

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

a[int(valeur_de_la_somme*10)]++;

Dans une console Linux (bash):

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1
2
$ liste_des_possibilites.bash  | awk '{a[int($7*10000)]++;} END{for (j=0;j<12000;j++) print j,int(a[j]);}' > sommun_10000.txt
$ gnuplot -p -e 'set sample 10000;' -e 'plot "sommun_10000.txt"'

[wiwaxia]

... Il s'agit d'un regroupement par troncature de la valeur multipliée par 10, 100, 1000, 10000.

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

a[int(valeur_de_la_somme*10)]++;

...

Là, d'accord.
Les stries horizontales du dernier diagramme sont un artefact dû à la différence d'échelle des coordonnées, ainsi qu'à la grande dispersion des résultats. Il vaut mieux s'en tenir à un facteur plus raisonnable (1000 ou 500), afin que les tranches soient plus fortement peuplées.

[wiwaxia]

C'est quand même extra-ordinaire qu'une seule combinaison corresponde à l'unité.
Alors que 3 correspondent à 0.95:

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1
2
3
6/14 + 7/35 + 9/28 = 0.95
6/24 + 7/35 + 9/18 = 0.95
7/42 + 8/15 + 9/36 = 0.95

Ou 6 pour 0.0611111

Ou plus ... pour ...

J'ai écrit une variante du programme permettant l'inventaire des égalités; elles sont en réalité assez nombreuses, et je me suis retrouvé submergé par le nombre de réponses (2100 du type S_k = S_k', dans l'ordre d'énumération: k < k').
Les multiplets les plus importants correspondent à 0.75 (7 arrangements) et 0.611111... = 11/18 (6 arrangements):

[Flodelarab]

Les multiplets les plus importants correspondent à 0.75 (7 arrangements)

Ah ben bravo ! C'est bien la peine que je ménage le suspens !

elles sont en réalité assez nombreuses

Ben. 60480. Je l'ai dit dès le début.

(2100 du type Sk = Sk', dans l'ordre d'énumération: k < k').

Là, par contre, je ne comprends pas.

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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5
6
7
8
1 x 52622
2 x 3407
3 x 279
4 x 41
5 x 6
6 x 1
7 x 1
Total 60480

C'est quoi 2100 ?

[tbc92]

ce que j'ai compris :
On a 7 combinaisons qui donnent 0.75. Nommons ces 7 combinaisons A B C D E F G.

On a donc A==B A==C A==D ...etc F==G : 21 pseudo-égalités (je parle de pseudo-égalité et pas d'égalité ; les combinaisons 3 2 4 7 5 6 9 1 8 et 3 5 6 8 1 4 9 7 2 ne sont pas égales, mais elles sont pseudo-égales car 3/24+7/56+9/18=3/56+8/14+9/72=0.75)

Et le 2100, ce serait (si j'ai bien compris) le nombre de pseudo-égalités.

[wiwaxia]

Il y a par exemple 5 arrangements conduisant à la valeur S = 0.45:

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1
2
3
4
5
6
 
0.45 = (3/15) + (6/48) + (9/72)
     = (3/18) + (6/72) + (9/45)
     = (3/15) + (7/42) + (8/96)
     = (3/15) + (7/92) + (8/46)
     = (3/15) + (8/64) + (9/72)

de sorte que cette valeur apparaît 10 fois ((5*4)/2) dans l'inventaire programmé, selon l'ordre défini auparavant:



2100 égalités figurent ainsi dans la liste obtenue ⁽¹⁾, dans laquelle les multiplets sont surreprésentés, puisque (m) valeurs identiques figurent dans m(m - 1)/2 couples ordonnés (S_h = S_h'): 1 pour m = 2 , 3 pour m = 3 , 6 pour m = 4 , etc).
Je ne m'attendais pas du tout à une telle prolifération, d'où quelques difficultés pour la sortie des résultats.

L'algorithme s'alourdit, et je me suis contenté d'une version un peu fruste.

⁽¹⁾: (i) représente l'indice de la tranche de l'histogramme , en millièmes (0.45 = 450/1000), (j) et (k) désignent les rangs des termes calculés dans le domaine correspondant [0.450 ; 0.451[ .