Discussion :

[zakuza]

Bonjour, je tente de comprendre un exemple d'un bouquin sur les probabilités, il s'agit de ce livre ci https://www.editions-ellipses.fr/pro...ducts_id=11184

Il s'agit donc d'un exemple et non d'un exercice. Je cale sur une partie de l'explication dont vous me direz ce que vous en pensez .


n machines composées de deux parties appelées respectivement émetteur et récepteur
sont transportées en mettant d'un côté les n émetteurs et de l'autre les n récepteurs.

À l'arrivée, un opérateur ré assemble les émetteurs aux récepteurs sans savoir qu'en fait
chaque couple (émetteur, récépteur) avait été réglé au départ pour fonctionner ensemble
(ils avaient été appariés). On se propose de chercher la probabilité que l'opérateur n'ait
reconstitué aucun des couples initiaux.

Pour effectuer le remontage, l'opérateur va prendre successivement les németteurs ;
numérotons ces n émetteurs de 1 a n selon l'ordre choisi par l'opérateur.

Numérotons les récepteurs pour que le numéro d'un récepteur soit le même que
celui de l'émetteur auquel il était initialement couplé. Notons une éventualité
par le n-uple (i1, i2, ...,ij, ...,in) où ij est le numéro du récepteur initialement
couplé au jème émetteur choisi par l'opérateur.

Face a cet ordre des émetteurs, l'opérateur a n! façons équiprobables d'associer
les n récepteurs. Comme il a une seule façon de choisir les n récepteurs pour reconstituer
les n matériels initiaux, notons au passage que la probabilité de reconstituer les n matériels
initiaux est égale a 1/!n.

Soit Bj l'événement « l'opérateur a couplé l'émetteur j au récepteur initial (ij = j) ».

Par symétrie, une éventualité sur n sera telle que ij = j. Comme toutes les éventualités
sont équiprobables, la probabilité de l'événement Bj est égale a 1/n.

Soit E(n) l'ensemble des éventualités correspondant a l 'événement
<< l'opérateur n'a reconstitué aucune des paires initiales ». Les éventualités étant
toutes équiprobables, il s'agit de trouver la cardinalité de E(n) et de diviser par n!
pour obtenir la probabilité cherchée.



jusqu'ici l'explication est compréhensible. Cette seconde partie "un peu" moins



Pour n > 2, notons E (n,j) l'ensemble des éventualités de E(n) telles que l'opérateur
a connecté le récepteur de l'émetteur j a l'émetteur n.
Remarquons que (E(n,j)) pour j={1,...,(n-1)} est une partition de E(n).

Notons E(n,j,I) l'ensemble des éventualités de E(n,j) telles que l'opérateur a connecté
le récepteur de l'émetteur n a l'émetteur j. Désignons par E(n,j,Î) les autres éventualités de E(n,j) :

E(n,j,Î) = E(n,j)\E(n,j,I).

Ici, on a utilisé une nouvelle notation. De façon générale, la notation A\B qui désigne
les éventualités de l'événement A non comprises dans l'évènement B.
Le nombre d'éventualités de E(n,j,I) correspond au nombre de façons de connecter les
(n-2) émetteurs restants (en écartant les numéros j et n) aux (n-2) récepteurs,
initialement réglés avec ces (n-2) émetteurs, sans reformer aucun couple initial. Ce nombre est égal à |E(n-2)|.
Pour les éventualités de E(n,j,Î), l'émetteur j peut être associé à tout récepteur sauf le récepteur de n (et de j qui par définition est associé à, l'émetteur n). Le nombre d'éventualités est égal à la cardinalité de E(n—1).

On a donc :

|E(n,j,I)| = |E(n - 2)|
|E(n,j,Î)| = |E(n - 1)|

soit

|E(n,j)| = |E(n - 2)| + |E(n - 1)|

à partir de là l'exemple continue à développer la partie récursive. Je ne l'ai pas mis car pour l'instant j'ai déjà du mal à comprendre cette première partie. Les explications sont mot pour mot ce que j'ai dans mon livre j'ai vérifié si il n'avait pas d'erreur de retranscription.

Je ne parviens pas à comprendre la deuxième partie de l'explication. J'ai fait quelques essaies simples avec 3 récepteurs et 3 emetteurs ce qui donne 3! possibilités en tout soit 6 avec 4 récepteurs ont est déjà à 24 et pour comprendre ça devient trop compliqué.

soit (e1,e2,e3) et (r1,r2,r3) , les possibilités sont :

A = (e1,r1) ; (e2,r2) ; (e3,r3)
B = (e1,r1) ; (e2,r3) ; (e3,r2)
C = (e1,r2) ; (e2,r1) ; (e3,r3)
D = (e1,r2) ; (e2,r3) ; (e3,r1)
E = (e1,r3) ; (e2,r2) ; (e3,r1)
F = (e1,r3) ; (e2,r1) ; (e3,r2)

Donc les éventualités ou il ne rassemble aucunes des pièces appariés sont : D et F soit 2/6 , toutes les pièces : A. 1/6.

Dans l'exemple je ne comprend pas à quoi correspondent concrètement les événements E(n,j) E(n,j,I) et E(n,j,Î).

Merci d'avance à ceux et celles qui prendront le temps déjà de lire l'exemple et de m'aider à comprendre si ils y parviennent.

[Flodelarab]

Bonjour

Dans l'exemple je ne comprend pas à quoi correspondent concrètement les événements E(n,j) E(n,j,I) et E(n,j,Î).

Si tu les cherches dans ce que tu as écrit, ce n'est pas fou que tu ne les trouves pas, puisqu'ils n'y sont pas.
Il te manque la deuxième partie de l'expérience où un relou a mélangé les émetteurs/récepteurs.

Au maximum, avec ce que tu as écrit, tu peux désigner un "n".
Mais tu ne peux pas avoir un "j" qui est le remplaçant de "n" puisque tu ne l'as pas tiré.
Donc pas de E(n,j)

Et comme E(n,j) est l'union (sans intersection) de E(n,j,I) et E(n,j,Î) ... pas de suite.

As-tu compris que E(n,j,I) désignait l'attribution de n à j et j à n quelque soit le reste ? En gros, tu as fait de l'échangisme sur 2 couples.

[AbsoluteLogic]

Bonjour,

En effectuant le mélange des émetteurs/récepteurs, on a effectué une permutation. Le fait de ne laisser aucun récepteur avec son émetteur associé est un cas particulier des permutations: c'est les dérangements. J'imagine que l'objectif de l'exercice est de dénombrer ces dérangements (ici |E(n)|): ce problème est assez classique, et est abordé par exemple ici, où l'on donne une autre démonstration (que je dirais encore plus "théorique") du dénombrement des dérangements.

Voilà, maintenant que c'est mis en place, dans ton cas, on essaie de faire la démonstration par récursivité. On veut donc exprimer |E(n)| en fonction des |E(k)|, k<n
C'est pour cela que l'on introduit |E(n,j)|, puisqu'on est en mesure de calculer |E(n)| en fonction des |E(n,j)| (par partition) et les |E(n,j)| en fonction de |E(n-1)| et |E(n-2)|

Donc comme pour la plupart des démonstrations de dénombrement, on fait des distinctions de cas pour E(n) avec les E(n,j), et pour les E(n,j) avec les E(n,j,I) et E(n,j,Î). Il n'ont rien de concret, à part éventuellement le fait que pour E(n,j,I), on peut dire que j et n ont été "échangé" comme l'a dit Flodelarab.

[wiwaxia]

Bonjour,

La documentation concernant la définition et le calcul du nombre de dérangements est abondante:

Problème des rencontres

Formule du crible : Dénombrement des dérangements

Nombre de dérangements

Dérangements et sous-factorielles

Une autre interprétation du nombre de dérangements

Permutations et dérangements de [n]

Nombre de permutations sans points fixes

Sur le calcul des dérangements

[zakuza]

Merci à vous pour vos contributions, je comprend mieux l'explication désormais. Je n'avais pas compris que n était fixe et que seul j changeait entre [1, n-1].

Donc effectivement avec mon exemple le plus simple ou n vaut 3 :

Pour j valant 1 soit E(e3,r1), on retrouve le cas D = (e1, r2) ; (e2, r3) ; (e3, r1)
E(3, 1, I) est le cas ou l'on connecterait le récepteur n à l'émetteur j ( une inversion ) soit le couple (e1, r3) . Ce cas n'existe pas dans E(e3, r1) étant donné qu'il ne resterait que la paire (e2,r2) ce qui ne permettrait pas à l' éventualité de faire parti de E(n). Pour finir E(n,j,Î) est égal à E(n,j) dans ce cas ci.

Pour les cardinalités on a la correspondance entre E(n,j,I) et E(n-2) soit ici E(1) qui est un ensemble vide, vu qu'il n 'y a qu'une façon de de connecter un unique emetteur et récepteur, la bonne ::d .

Mais pour les cas ou n > 3, j'ai fait un test avec n = 4, c'est effectivement comme si on repartait d'un cas avec 2 emetteurs et 2 récepteurs, soit pour n = 4 et j = 1 en éliminant ces indices, on obtient une base (e2,e3)(r2,r3).
Qui donne un seul cas [[e:1, r:4], [e:2, r:3], [e:3, r:2], [e:4, r:1]]

Pour E(n,j,Î) comparé à E(n - 1) soit E(2), si on démarrait avec 2 émetteurs et 2 récepteurs (e1,e2) (r1,r2) on aurait que deux cas au total soit (e1,r2)(e2,r1) ou (e1,r1)(e2,r2). Ici ce serait comme si on démarrait plutôt avec (e1,e2) (r2,r3) donc en éliminant l'émetteur n et le récepteur j, soit les possibilités (e1,r2)(e2,r3) ou (e1,r3)(e2,r2). On n'a qu'un cas ou aucun n'est correct : (e1,r2)(e2,r3) soit le seul parmi E(2).
Dans mon test avec n = 4, E(4,1,Î) correspond au cas de E(4 - 1) en partant avec (e1,e2,e3) (r2,r3,r4) ou e1 n'est pas connecté à r4 .