Discussion :

[fab74]

Bonjour ,

j'ai 2 exercices ou je dois démontrer une tautologie que je n'arrive pas à résoudre .

exercice 1 :

Démontrer que ( p ⇔ q ) ⇒ ( p ⇒ q ) est une tautologie

• (p ∧ q) ∨ (∼p ∧ ∼q) ⇒ ( p ⇒ q ) EQUIVALENCE de ⇔
• (p ∧ q) ∨ (∼p ∧ ∼q) ⇒ ( ∼p ∨ q ) EQUIVALENCE de ⇒
• ∼((p ∧ q) ∨ (∼p ∧ ∼q)) ∨ ( ∼p ∨ q ) EQUIVALENCE de ⇒
• (∼(p ∧ q) ∧ ∼(∼p ∨ ∼q)) ∨ ( ∼p ∨ q ) LOI DE MORGAN
• (∼(p ∧ q) ∧ (∼∼p ∧ ∼∼q)) ∨ ( ∼p ∨ q ) LOI DE MORGAN
• (∼(p ∧ q) ∧ (p ∧ q)) ∨ ( ∼p ∨ q ) DOUBLE NEGATION
• 0 ∨ ( ∼p ∨ q ) TIERS EXCLU
et là je bloque


exercice 2:

Démontrer que (( p ⇒ q ) ∧ ( q ⇒ r )) ⇒ ( p ⇒ r) est une tautologie

• ∼(( ∼p ∨ q ) ∧ ( ∼q ∨ r )) ∨ ( ∼p ∨ r) EQUIVALENCE de ⇒
• ∼∼p ∧ ∼q ∨ ∼∼q ∧ ∼r ∨ ( ∼p ∨ r) LOI DE MORGAN
• p ∧ ∼q ∨ q ∧ ∼r ∨ ( ∼p ∨ r) DOUBLE NEGATION
et là je bloque

si quelqu'un pourrait m'aider ?
Merci

[Flodelarab]

Bonjour

A la 4ème ligne de la première démonstration, il y a une faute : Le signe d'opération du milieu change sans raison.
C'est pour cela que, plus tard, tu tombes sur 0 et que tu crois que ça simplifie

Dans la deuxième démonstration, il faut utiliser la distributivité de ∧sur v et/ou de v sur ∧.
La disparition des parenthèses, c'est une maladresse ou un choix délibéré ?

[fab74]

Bonjour ,

Merci pour ta réponse.

effectivement il y avait bien une erreur à la ligne 4 :

• (∼(p ∧ q) ∧ ∼(∼p ∧ ∼q)) ∨ ( ∼p ∨ q ) LOI DE MORGAN

Voilà comment je continue après mais hélas je bloque à nouveau :

• (∼(p ∧ q) ∧ (∼∼p ∨ ∼∼q)) ∨ ( ∼p ∨ q ) LOI DE MORGAN
• (∼(p ∧ q) ∧ (p ∨ q)) ∨ ( ∼p ∨ q ) DOUBLE NEGATION
• ((∼p ∨ ∼q) ∧ (p ∨ q)) ∨ ( ∼p ∨ q ) LOI DE MORGAN

Aurais tu un autre indice à me donner ?

pour l'exercice 2 j'ai pas eu le temps de regarder encore mais les parenthèses c'est bien une maladresse .

je t'en remercie

belle journée

[Flodelarab]

Tu es arrivé au même point pour l'exercice 1 et le 2 : la distribution

Attention, je vais te choquer.

• Dans l'algèbre classique, on peut écrire a(b+c)=ab+ac car la multiplication est distributive sur l'addition. Et pas l'inverse !
• Dans l'algèbre de Boole, a(b+c)=ab+ac et a+bc=(a+b)(a+c), car le "ou" est distributif sur le "et" et le "et" est distributif sur le "ou", puisque tout est "miroir".
  La première expression est identique, mais la seconde est déstabilisante.

Dans ton exercice, tu n'utilises pas les notations additives et multiplicatives, mais v et ∧. Cela évite peut-être l'amalgame.

[fab74]

Bonjour ,

Merci encore pour tes réponse qui m'ont éclairées un peu plus.

Voici comment j'ai résolu l'exercice 1 :

ligne précédente : ((∼p ∨ ∼q) ∧ (p ∨ q)) ∨ (∼p ∨ q )
• ((∼p ∨ q ) ∨ (∼p ∨ ∼q)) ∧ ((∼p ∨ q ) ∨ (p ∨ q)) DISTRIBUTIVITE
• ((∼p ∼p) ∨ (q ∨ ∼q)) ∧ ((∼p ∨ p) ∨ (q ∨ q)) COMMUTATIVITE
• (0 ∨ 1) ∧ (1 ∨ 1) TIERS EXCLU
• 1 ∧ 1
• 1

Avant que je me lance dans l'exercice 2 , peut tu me dire si celui-ci est juste ? j'ai donc distribué la dernière parenthèse sur l'ensemble des 2 premières .
J'ai un gros doute sur (0 ∨ 1) = 1

merci

Bonne journée

[Flodelarab]

J'ai un gros doute sur (0 ∨ 1) = 1

Cette expression est juste.

peut tu me dire si celui-ci est juste ?

Non, il y a une faute.

∼p v ∼p = ∼p (et pas 0)
q ∨ q = q ( et pas 1)

Et comme :
1 v x = 1 (quelque soit x)
0 ∧ x = 0 (quelque soit x) (miroir)

Comme tu as un absorbant, tu ne vois pas l'erreur.
La première distribution est valide.

[fab74]

D’accord , donc les 3 dernières lignes seraient :

• (∼p ∨ 1) ∧ (1 ∨ q) TIERS EXCLU
• 1 ∧ 1
• 1

C’est juste là ?

Merci

[Flodelarab]

Bravo. Tout est bon.

[fab74]

Bonjour,

J'ai fait le 2ème exercice , peut tu me donner également ton avis ?

(6) Démontrer que ( ( p ⇒ q ) ∧ ( q ⇒ r ) ) ⇒ ( p ⇒ r) est une tautologie

• ∼((∼p ∨ q ) ∧ (∼q ∨ r )) ∨ (∼p ∨ r) EQUIVALENCE de ⇒

• ((∼∼p ∧ ∼q) ∨ (∼∼q ∧ ∼r)) ∨ (∼p ∨ r) LOI DE MORGAN

• ((p ∧ ∼q) ∨ (q ∧ ∼r)) ∨ (∼p ∨ r) DOUBLE NEGATION

• ((p ∨ q) ∧ (∼q ∨ q) ∧ (p ∨ ∼r) ∧ (∼q ∨ ∼r)) ∨ (∼p ∨ r) DISTRIBUTIVITE

• ((p ∨ q) ∧ 1 ∧ (p ∨ ∼r) ∧ (∼q ∨ ∼r)) ∨ (∼p ∨ r) TIERS EXCLU

• ((p ∨ q) ∧ (p ∨ ∼r) ∧ (∼q ∨ ∼r)) ∨ (∼p ∨ r) ELEMENT NEUTRE

• ((∼p ∨ r) ∨ (p ∨ q)) ∧ ((∼p ∨ r) ∨ (p ∨ ∼r)) ∧ ((∼p ∨ r) ∨ (∼q ∨ ∼r)) DISTRIBUTIVITE

• ((∼p ∨ p) ∨ (r ∨ q)) ∧ ((∼p ∨ p) ∨ (r ∨ ∼r)) ∧ ((∼p ∨ ∼q) ∨ (r ∨ ∼r)) ASSOCIATIVITE + COMMUTATIVITE

• (1 ∨ r ∨ q) ∧ (1 ∨ 1) ∧ (∼p ∨ ∼q ∨ 1) TIERS EXCLU

• 1 ∧ 1 ∧ 1 ELEMENT NEUTRE

• 1

Merci
Bonne journée

[Flodelarab]

Le calcul est juste.

Sur les justifications :

• Le tiers exclu, c'est "~a v a = 1". Puisque tu mets "ELEMENT NEUTRE", ne préférerais-tu pas mettre "ELEMENT ABSORBANT", de la même façon, quand le 1 écrase tout, dans un "v" ? Car ce n'est pas, à proprement parlé, un "tiers-exclu".
• La commutativité est utilisée un peu partout. Quand "(∼p ∨ r)" est à droite, et qu'il se retrouve à gauche après distribution, tu a commuté sans le dire.

Mais ce sont des détails.

[fab74]

D’accord , j’en prend note .
Merci beaucoup pour ton aide .