Discussion :

[tjujfu]

Bonjour à tous,

j'ai un problème simple à décrire, mais mes cours de mathématiques sont tellement loin que je ne vois pas comment le résoudre.
J'ai deux cercles, sur une carte, chacun avec des coordonnées GPS et un rayon. Exemple : long=2.25683212280273, lat=48.91945370228, rayon=1km
Je cherche à savoir si l'intersection des aires de ces deux cercles est non nulle. Ie, y'a-t-il des points appartenant aux deux cercles.
A noter que je ne cherche même pas à savoir les coordonnées des points appartenant aux deux, juste s'il y en a.

Quelqu'un pourrait-il m'aider ou m'orienter vers une ressource pouvant m'aider svp ?

Merci d'avance.

[wolinn]

Ton énoncé n'est pas très clair, mais je suppose que tu veux parler de l'intersection de deux disques.
Pour qu'il y ait intersection entre les deux disques, il faut et il suffit que la distance entre les centres soit inférieure à la somme des rayons.
Faire un schéma.

[wiwaxia]

Bonjour,

Avec une telle précision (13 chiffres !) sur les angles (latitude , longitude) la courbure de la surface terrestre nest pas négligeable: d/R_T = 1 / 6371 = 1.57E^-4 d'où: (d/R_T)² = 2.46E^-8 >> 1E^-11 / 45 ~ 2E^-13 .
Et même sur des portions de surface de dimensions suffisamment faibles, la conversion longitude-distance dépend de la latitude.

Il faut donc au minimum recourir à la trigonométrie sphérique.

Des discussions ont été ouvertes sur des sujets voisins, il y a un an ou deux (?)

# PS

... Pour qu'il y ait intersection entre les deux disques, il faut et il suffit que la distance entre les centres soit inférieure à la somme des rayons ... .

Étant bien entendu que le cercle correspond au bord d'une calotte sphérique, et son "rayon" à la longueur de l'arc du grand cercle joignant le pôle de la calotte à un point de son bord.

[wiwaxia]

Voici le lien fourni par tbc92 le 20 février de cette année, sur un autre forum concernant un sujet voisin, et abordant aussi la question de la précision des données.

Je reviendrai sur les calculs, si cela m'est possible.

[wiwaxia]

Dans un repère orthonormé direct lié à la Terre, dont l'origine (O) coïncide avec le centre de cette dernière et (z'z) avec l'axe des pôles, les coordonnées de tout point de sa surface supposée sphérique s'expriment en fonction de la longitude (λ) et de sa latitude (ϕ) par les relations:
x = R*cos(ϕ)*cos(λ) ; y = R*cos(ϕ)*sin(λ) ; z = R*sin(ϕ) .

Les positions de deux points donnés (A, B) sont définies par les vecteurs:

Code :

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     │ R*cos(ϕ<sub>A</sub>)*cos(λ<sub>A</sub>) │        │ R*cos(ϕ<sub>B</sub>)*cos(λ<sub>B</sub>) │
OA = │ R*cos(ϕ<sub>A</sub>)*sin(λ<sub>A</sub>) │ ; OB = │ R*cos(ϕ<sub>B</sub>)*sin(λ<sub>B</sub>) │
     │ R*sin(ϕ<sub>A</sub>)         │        │ R*sin(ϕ<sub>B</sub>)         │

de norme égale au rayon (R) de la Terre.
La distance (d_AB) qui les sépare est la longueur de l'arc d'un grand cercle de la sphère, joignant les points considérés, donc situé dans le plan passant par l'origine, et normal au vecteur N_AB = OA×OB .
En notant u = (OA , OB) l'écart angulaire séparant les directions des deux vecteurs: d_AB = (AB) = R*u .
De l'expression du produit scalaire P_AB = (OA│OB) = (OA*OB)*cos(u) = (x_A*x_B) + (y_A*y_B) + (z_A*z_B) ,
on tire: u = Arccos(P_AB / R²) , ainsi que la distance cherchée: d_AB = R*Arccos(P_AB / R²) .

En conséquence, deux calottes de pôles (A, B) et de rayon curviligne (R_A, R_B) se recouvriront si d_AB < R_A + R_B .

[tjujfu]

Merci à tous !
Vos réponses sont très précises et m ont été incroyablement utiles. Un grand merci