Discussion :

[treeselectif]

Bonjour,

J'aimerai savoir s'il y'à des règles générales lorsqu'on réalise des produits de vecteur, de matrice ou de scalaire entre eux?

Si on considère le vecteur "X" de taille (1 x N), "Y" un scalaire et "I" une matrice (N x N).

Peut-on réaliser par exemple ce genre de produit sur matlab ?

exemple 1 : X^H.X

exemple 2 : y(X.X^H + yl)

exemple 3 : X^H.X(X.X^H)^-1 + y(X^H + X^H .X.X^H )

exemple 4 : X^H .X +2y + X.X^H.y

exemple 5 : X^H.X.X^H.X.X^H.X

[dourouc05]

Reviens aux fondamentaux des opérations, tu verras que les conditions sur les dimensions sont assez normales. L'ordre dans la multiplication est très important (sauf avec des scalaires).

La multiplication par un scalaire est toujours possible. Le produit scalaire (entre deux vecteurs) n'est possible que s'ils ont le même nombre d'éléments : 1xN puis Nx1. Le produit dyadique (toujours entre deux vecteurs), même chose, en inversant les deux vecteurs : Nx1 et 1xN, ça donne une matrice NxN. Le produit vectoriel n'est pas défini dans toutes les dimensions. Le produit vecteur-matrice ne peut se faire qu'entre un vecteur 1xN et une matrice NxM (l'ordre est important) ; un produit matrice-vecteur, qu'entre une matrice MxN et un vecteur Nx1.

Pour généraliser, pour des vecteurs et des matrices, tu peux toujours effectuer un produit si les dimensions sont compatibles : (MxN) (NxO), peu importe M et O. Ainsi, le nombre de lignes du premier élément doit correspondre au nombre de colonnes du deuxième. Toujours de manière générale, toutes ces opérations sont des spécialisations du produit matriciel, qui s'effectue "ligne par colonne", un petit moyen mnémotechnique pour régler ces cas (https://fr.wikipedia.org/wiki/Produi...ciel_ordinaire).

Enfin, ne te stresse pas trop non plus : peu importe le nombre d'années de pratique, ça arrive toujours d'avoir un problème de dimensions pour une multiplication .

[treeselectif]

Bonjour,

Merci d'avoir répondu.

Je me permets de re-résumer, ton explication pour savoir si j'ai bien compris.
- le produit d'un vecteur colonne (1 x N) et d'un vecteur ligne (N x 1 ) = matrice
- le produit d'une matrice (N x N) et d'un scalaire donnera toujours une matrice = matrice
- le produit d'un vecteur (1 x N) et d'une matrice (N x M) = matrice
- le produit d'une matrice (N x N) et un vecteur (Nx1) = matrice

Que donne dans ces cas la :

- le produit d'un scalaire et d'un vecteur ligne ?
- le produit d'un scalaire et d'un vecteur colonne ?
- la somme d'un vecteur et d'un scalaire ou la somme d'une matrice et d'un scalaire ?

[tbc92]

2 règles générales :
- Le produit d'un scalaire par un Truc-quelconque ne change pas la nature du Truc-quelconque. Application : Un scalaire multiplié par un vecteur ligne, ça donne un vecteur ligne. Et dans le cas d'un scalaire, Scalaire x Truc, ou Truc x Scalaire, ça donne le même résultat. (alors que si on veut multiplier un vecteur par une matrice par exemple, l'ordre est important)
- Pour les sommes, on ne peut pas additionner 2 éléments s'ils ne sont pas de même nature. Application; on ne peut pas additionner un scalaire avec un vecteur, ou un vecteur avec une matrice...

[dourouc05]

Je me permets de re-résumer, ton explication pour savoir si j'ai bien compris.
- le produit d'un vecteur colonne (1 x N) et d'un vecteur ligne (N x 1 ) = matrice
- le produit d'une matrice (N x N) et d'un scalaire donnera toujours une matrice = matrice
- le produit d'un vecteur (1 x N) et d'une matrice (N x M) = matrice
- le produit d'une matrice (N x N) et un vecteur (Nx1) = matrice

Pas vraiment. Quand tu regardes les dimensions, le produit (MxN) (NxO) donnera une matrice MxN (matrice étant un terme plus générique que vecteur ou scalaire). Ainsi, un produit entre une matrice et un vecteur ne donnera jamais une matrice.

Ensuite, il existe des opérations un peu différentes, moins usuelles, comme le produit de Hadamard (produit élément par élément) : appliqué à deux vecteurs (deux lignes ou deux colonnes), il donne un vecteur de même dimension, ce qu'il est impossible de faire avec les multiplications "normales". Avec MATLAB, si tu additionnes un scalaire à une matrice, tu effectueras cette opération sur tous les éléments (https://nl.mathworks.com/help/matlab/ref/plus.html). Maintenant, ces opérations ne sont pas du tout habituelles et utilisent des notations différentes (sauf côté programmation, en général, mais ça dépend des langages).

[wiwaxia]

Bonjour,

... Quand tu regardes les dimensions, le produit (MxN) (NxO) donnera une matrice MxN (matrice étant un terme plus générique que vecteur ou scalaire). Ainsi, un produit entre une matrice et un vecteur ne donnera jamais une matrice ...

Scilab (comme probablement son double payant Matlab) considère toutes données numériques comme des matrices: en ce sens, le produit évoqué conduit encore à une matrice, uniligne (vecteur ligne) ou unicolonne (vecteur colonne); pour reprendre la notation utilisée:
Mat(M, N)*Vect_Col(N) = (M, N)*(N,1) = (M, 1) = Vect_Col(M)
Vect_Lig(N)*Mat(N, O) = (1, N)*(N, O) = (1, O) = Vect_Lig(O)

Et dans le droit fil de cette logique, tout scalaire est une matrice réduite à une seul élément; d'où la définition du produit scalaire de deux vecteurs, et du carré de leur norme euclidienne, qui font intervenir la transposition:
Ps(Vect1, Vect2) = Vect_Lig1(N)│Vect_Lig2(N) = (1, N)*^t(1, N) = (1, N)*(N, 1) = (1, 1)
Ps(Vect1, Vect2) = Vect_Col1(M)│Vect_Col2(M) = ^t(M, 1)*(M, 1) = (1, M)*(M, 1) = (1, 1)
Norm²(Vect_Lig[N)) = (1, N)*^t(1, N) = (1, N)*(N, 1) = (1, 1)
de même que la norme euclidienne d'une matrice:
Norm²(Mat(M, N)) = Tr(Mat(M, N)*^tMat(M, N) = Tr((M, N)*(N, M)) = Tr((M, M)) = (1, 1) .