Discussion :

[theophilusse]

Bonsoir,

J'aimerais savoir comment obtenir 't' de l'équation de la ligne (p = org + t*dir) à partir de l'équation d'une figure géométrique.

Par exemple, sur cette page, on a deux équations qu'on ~met ensemble~ et il en sort une troisième équation qui me donne t.
Grâce à celle ci, j'ai les boules! Mais pour les cônes ? Ou les cylindres?... Comment je trouve mon thé?

Je suis un peu largué en maths.
Merci d'avance !

[anapurna]

salut

c'est une résolution d’équation du premier degré
tu as donc un fonction de droite du type :

Code :

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 y= ax+b

est tu cherche "a" le coefficient directeur de cette droite

Code :

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=> y-b = ax => (y-b)/x = a donc a = (y-b)/x

ce qui donne donc pour ta formule

Code :

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p = org + t*dir) => t = (p-org)/dir

[wiwaxia]

Bonjour,

Il y a effectivement de quoi être largué, si l'on n'a pas vu qu'en notation anglo-saxonne, les vecteurs sont représentés en caractères gras pour des raisons typographiques, ce qui oblige à redoubler d'attention lors de la lecture des calculs.
C'est ce que je fais aussi sur ce forum, faute d'autres moyens disponibles et suffisamment souples.
Il faut ainsi lire, dans la page de Wikipedia dont tu as donné le lien:

étant donné un repère orthonormé (O₀xyz) - non cité
# x: point quelconque de l'espace = O₀M = (x, y, z) # coordonnées cartésiennes
# c: centre de la sphère = O₀C = (x_C, y_C, z_C)
# Equation de la sphère: CM = r , soit encore: ║CM║ = r , avec: CM = O₀M - O₀C = (x - x_C, y - y_C, z - z_C) , ce qui donne finalement:
(x - x_C)² + (y - y_C)² + (z - z_C)² = r² ;

# o: point de départ sur la droite = O₀O = (x_O, y_O, z_O)
# l: vecteur unitaire = (l_x, l_y, l_z) avec: l_x² + l_y² + l_z² = 1
# Equation vectorielle de la droite: OM = d*l , soit encore: O₀M - O₀O = d*l = x - o
ce qui conduit aux équations paramétriques: (x - x_O, y - y_O, z - z_O) = (d * l_x, d * l_y, d * l_z)

Il faut convenir que la présentation du texte initial est assez raide, voire déplaisante.
Cela bien compris, tes calculs devraient avancer beaucoup plus vite.
Détail très important: pour améliorer la clarté et la lisibilité du texte, écrire impérativement les vecteurs en matrices colonnes (ce qui n'était pas possible ici).

Je n'ai pas vu d'où vient ton équation (p = org + t*dir) , mais la transcription est défectueuse parce que (t) représente un vecteur, et qu'il devrait y en avoir d'autres.

[theophilusse]

Bonjour,

Tout d'abord, merci pour vos réponses !

-> anapurna
OK pour cette équation je vois le principe général, mais pour celle-ci (celle du cône, trouvée là - page 4) par exemple :

Code :

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pow(cos(a), 2) * pow(((Q - P) - (V * (Q - P) * V)) , 2) - pow(sin(a) , 2) * pow((V * (Q - P)) , 2) == 0

Comment je m'y prend pour sortir mon Q (qui correspond au point d'intersection si j'ai bien compris) ?
Je commence par 'sortir' (Q - P)?... Je fais quoi du reste, quand tout est 'encapsulé'?

Existe t-il un algorithme/façon de faire qui s'appliquerait à toutes les sauces?
Merci pour votre patience...

PS : désolé si c'est pas présenté de façon claire, suivez plutôt le lien vers le PDF.

[Flodelarab]

Bonjour

C'est ce que je fais aussi sur ce forum, faute d'autres moyens disponibles et suffisamment souples.

Oserai-je rappeler que LaTeX est installé sur ce forum, ce qui permet des trucs comme cela ?

[wiwaxia]

Bonjour,

... OK pour cette équation je vois le principe général, mais pour celle-ci (celle du cône, trouvée là - page 4) par exemple :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

pow(cos(a), 2) * pow(((Q - P) - (V * (Q - P) * V)) , 2) - pow(sin(a) , 2) * pow((V * (Q - P)) , 2) == 0

Comment je m'y prend pour sortir mon Q (qui correspond au point d'intersection si j'ai bien compris) ?
Je commence par 'sortir' (Q - P)?... Je fais quoi du reste, quand tout est 'encapsulé'? ....

Pas de chance, tu es tombé sur un texte encore pire, dont la typographie ne distingue pas les vecteurs des scalaires il faut alors suivre son flair ... On peut se sortir de ce jeu de piste en observant bien la figure, pour identifier les objet représentés.

Traduire:
# x² + y² = y²*tan(a)² ou cos(a)²*(x² + y²) - sin(a)²*y² = 0 (relation initiale erronée)
# p_a: sommet du cône = OP
# v_a: vecteur unitaire porté par l'axe orienté du cône = (v_ax, v_ay, v_az) avec v_ax² + v_ay² + v_az² = 1
# q: point de la surface = OM = OP + PH + HM où (H) est la projection orthogonale de (M) sur l'axe du cône; le triangle (PHM) est rectangle en (H) et vérifie les relations:
PM² = PH² + HM² ; HM = PH * tan(a) (et les deux autres, impliquant sin(a) et cos(a))
# (H) est localisable sur l'axe à l'aide du réel (t): PH = v_a*t , ce qui donne PH² = ║v_a║²*t² = t²
# On peut de même utiliser un autre vecteur unitaire (v_b), normal au précédent, dirigé de (H) vers (M) et vérifiant: HM = v_b*t' , ce qui donne HM² = ║v_b║²*t'² = t'² , PM² = t² + t'² et t'² = t²*tan(a)²
# (v_a, q) représente probablement un produit vectoriel, puisqu'il en faut un pour définir le trièdre local de sommet (P) associé au cône (la notation est vraiment désinvolte !)
(v_a, q) = v_a×OM = v_a×OP + v_a×PH + v_a×HM = v_a×p_a + v_a×v_a*t + v_a×v_b*t'
En tenant compte de ce que: v_a×v_a = 0 et
v_a×v_b = v_c , troisième vecteur unitaire orthogonal aux deux précédents et orienté de telle sorte que (v_a, v_b, v_c) soit direct, on obtient en reprenant la notation du commentaire:
(v_a, q) = (v_a, p_a) + v_c*t' , soit encore: (v_a, q - p_a) = v_c*t' et (v_a, q - p_a)×v_a = (v_c*t')×v_a = (v_c×v_a)*t' = v_b*t' = HM
En tenant compte aussi (voir plus haut) de ce que: promis, c'est bientôt terminé
q - p_a = PH + HM il vient: q - p_a - (v_a, q - p_a),v_a = PH

On obtient finalement en passant aux carrés scalaires (carrés des normes):
(v_a, q - p_a)² = HM² = t'² = t²*tan(a)²
(q - p_a - (v_a, q - p_a),v_a)² = PH² = t² , et

t²*cos(a)² = (q - p_a - (v_a, q - p_a),v_a)² *cos(a)² = (v_a, q - p_a)²*sin(a)²

La dernière égalité n'est autre que l'équation cartésienne de la surface considérée, mise sous forme vectorielle; équation du second degré qui peut se ramener à F(x, y, z) = 0, et contient les éléments de définition du cône: sommet (p_a), axe (v_a) et demi-ouverture (a).

Un logiciel d'image 3D traite en interne une telle équation. Si maintenant tu envisages une résolution manuelle, il est hors de question d'extraire le vecteur position (q), objet géométrique impliqué dans deux produits vectoriels et deux produits scalaires ! On peut seulement envisager de localiser le (ou les) éventuel(s) point(s) d'intersection de la surface avec un "rayon" (demi-droite paramétrée) issue d'une source (S).

Merci de me signaler les coquilles la typographie et le calcul ne font pas bon ménage.

@F** Mais oui, il faut oser ! On a lu bien pire il y a peu ... et tous les avis sont les bienvenus.

[theophilusse]

Merci Wiwaxia pour tes explications, je vais essayer de mettre ça en place.

Problème résolu jusqu'à preuve du contraire!