Discussion :

[wiwaxia]

Bonsoir,
@tbc92
La généralisation de la définition de l'ellipse à un nombre quelconque de points est en soi intéressante

Pour le cas n°3, le point recherché est forcément un des sommets.
Pour s'en convaincre :
- Si on a un seul point, les "courbes-de-niveau" sont des cercles
- Si on a 2 points, les "courbes-de-niveau" sont des ellipses
- Si on a 3 points ou plus, les "courbes-de-niveau" sont des espèces d'ovoïdes. ( courbes quadratiques concaves...)
Et du coup, on voit bien que la courbe de niveau la plus éloignée passe par un des sommets.

cependant je ne crois pas que les courbes obtenues soient des quadriques; en effet, si l'élimination des radicaux ne pose aucun problème dans le cas du cercle et de l'ellipse, par une ou deux élévations au carré :
L = d₁ _____________________________ L² = d₁²
L = d₁ + d₂ _________________________ (L² - d₁² - d₂²)² = 4 * (d₁²) * (d₂²)
il n'en va plus de même à partir de trois termes, parce qu'il n'est plus possible de réduire le nombre de radicaux présents; il suffit de regarder ce que donne un traitement analogue de la relation : L = d₁ + d₂ + d₃ ).
Il ne s'agit plus alors de courbes algébriques.
Un document contenant d'assez belles représentations de ces courbes peut être téléchargé depuis ce site.
Elles sont toujours convexes, à moins qu'il intervienne des coefficients de signes opposés (par une extension moins intuitive de la définition de l'hyperbole:
L = │d₁ - d₂│ .

https://fr.wikipedia.org/wiki/Point_de_Fermat

http://www.mathcurve.com/surfaces/quadric/quadric.shtml

[tbc92]

Merci Wixavia pour ces liens.
Et j'ai toujours confondu concave et convexe. J'aurais dû rester très vague, et parler de patatoïde convexe.

Ca fait quand même bien de se dire que ces courriers qu'on échange pourraient être comparés aux courriers que Fermat et Torricelli s'envoyaient.

[wiwaxia]

Ma profonde et éternelle gratitude tbc92, pour cette flatteuse comparaison.

... Ca fait quand même bien de se dire que ces courriers qu'on échange pourraient être comparés aux courriers que Fermat et Torricelli s'envoyaient.

Je ne manquerai pas de te renvoyer prochainement l'ascenseur, par une discrète référence à Gauss, Euler ou Poincaré. Avec modération toutefois, compte tenu du nombre limité des célébrités dans ce domaine.

Les derniers échanges énuméraient deux sortes de solutions, selon que le point cherché faisait ou non partie du nuage, passons.
Mais quelques propositions de souviron34 m'ont laissé perplexe.

• Calculer la triangulation de Delaunay
• Explorer chacun des triangles extérieurs et trouver celui ayant les plus longs côtés ET le plus équilatéral.
• Trouver le cercle circonscrit de ce triangle, et le point serait le symétrique du pied de la médiane sur ce cercle

1°)

... trouver celui ayant les plus longs côtés ET le plus équilatéral ...

Comment établir la préséance entre deux triangles (T, T') réduits à des triplets de longueurs ?
En comparant leur périmètre (p'>p) ? ou leur aire (S'>S) accessible par la formule de Héron (*), ou celle du cercle inscrit, centré à l'intersection des 3 bissectrices ? Ou encore par un algorithme défini sur les séquences ordonnées ((a>=b>=c), (a'>=b'>=c')) , du type:
(T' > T) ssi (a' > a) OU ((a' = a) ET ((b' > b) OU ((b' = b) ET (c' > c)))) ?
(*) Souvenir folklorique de la classe de Première. Il y a des choses qui marquent.

2°)

... le plus équilatéral

Il y a donc des triangles plus équilatéraux que d'autres (là, cela prend un tour orwellien ...); un critère de quasi-équilatéralité (aucune référence sur le Web) pourrait être:
e = │a - b│/c + │b - c│/a + │c - a│/b, grandeur sans dimension par définition comprise entre 0 (tr. équilatéral) et 3 (tr. isocèle plat).
Laissons de côté les éventuels exposants, et un autre critère utilisant l'aire et le périmètre (**).
(**) Pas si difficile que cela, en y réfléchissant: S = p²*2^1/2/36 dans le cas d'un triangle équilatéral, et le rapport f = 648*S²/p⁴ serait alors égal à l'unité - sa valeur maximale.

3°)

... celui ayant les plus longs côtés ET le plus équilatéral ...

Quelle issue décider lorsque les critères sont contradictoires ? L'opérateur logique ne convient pas, parce que l'algorithme doit conduire à un choix positif. Par exemple, lequel faut-il retenir des trois triangles suivants, dont les sommets admettent pour coordonnées A(0, 0), B(2*k, 0) et C(k, Round(k*3^1/2), lorsque l'on a:
k = 15 _ y_B = 26 _ p = 090.033 _ e = 0.00111 _ _ _ (e = e_min) Forme la plus proche de celle du triangle équilatéral
k = 16 _ y_B = 28 _ p = 096.498 _ e = 0.0154
k = 17 _ y_B = 29 _ p = 101.231 _ e = 0.0229_ _ _ _ (p = p_max) Périmètre maximal

4°)

[*]Trouver le cercle circonscrit de ce triangle, et le point serait le symétrique du pied de la médiane sur ce cercle

Là, je n'ai rien compris. L'épuisement, sans doute.

• Calculer le barycentre
• Trouver le cercle circonscrit englobant tous les points
• Trouver le point le plus proche de la circonférence de ce cercle
• Le point serait le symétrique du barycentre sur ce rayon

1°) Il ne peut s'agir que du plus petit cercle englobant le nuage de points, dont la recherche est difficile ... admettons l'obstacle franchi.
2°) Ce cercle est par définition construit sur 2 ou 3 points: lequel choisira-t-on ? Le plus éloigné du barycentre ?
3°) Symétrique par rapport à quoi ? (G) n'est pas aligné avec le centre du cercle, et le point de sa circonférence; et quand les points sont nombreux, la position de (G) dépend très peu des points extrêmes sur lesquels le cercle est construit.
# Je me laisse peut-être emporter par la mauvaise foi, parce que toute difficulté disparaîtrait au prix d'un changement minime, mais dédisif:

Trouver le plus petit cercle circonscrit englobant tous les points et centré en G

Il s'agirait alors du cercle passant par le point (M_m) du nuage le plus éloigné de (G), de rayon R = GM_m = Max(GM_k); en l'absence d'autres points (M_i) situés à la même distance, la position du point cherché serait donnée par: GP = 2 * GM_m . Le résultat est immédiat, mais je ne vois pas ce qu'il pourrait avoir de remarquable.

Cordialement, W

https://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%...cercle_minimum
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/BS..._13__198_0.pdf
http://www.personal.kent.edu/~rmuham.../centercli.htm
http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides4b.pdf
http://mathworld.wolfram.com/Minimal...ingCircle.html

Héron d'Alexandrie
https://fr.wikipedia.org/wiki/H%C3%A9ron_d'Alexandrie
https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_H%C3%A9ron
http://villemin.gerard.free.fr/GeomL...eron.htm#heron
http://debart.pagesperso-orange.fr/g..._metrique.html

[souviron34]

Salut wiwaxia...

Alors je vais répondre à tes "interrogations"

Mais "don't play dumb, please"...

1°)

... trouver celui ayant les plus longs côtés ET le plus équilatéral ...

Comment établir la préséance entre deux triangles (T, T') réduits à des triplets de longueurs ?

2°)

... le plus équilatéral

Il y a donc des triangles plus équilatéraux que d'autres (là, cela prend un tour orwellien ...); un critère de quasi-équilatéralité (aucune référence sur le Web) pourrait être:

Je reprend la définition de la triangulation de Delaunay :

https://en.wikipedia.org/wiki/Delaunay_triangulation

Delaunay triangulations maximize the minimum angle of all the angles of the triangles in the triangulation; they tend to avoid skinny triangles.

On fabrique donc des triangles "les plus équilateraux possibles"

Ensuite "tend to avoid" n'est pas "avoid"..


On peut donc parfaitement "comparer les équilarités" des triangles de bordure, et par exemple les classer par "somme des angles intérieurs" et "somme des longueurs des côtés".

Par exemple dans l'exemple ci-dessous :



Entre les triangles 1, 2 et 3, c'est le triangle 2 le plus équilatéral. Mais le 4 le serait plus sur la totalité. des triangles de bordure. Cependant ses côtés sont plus courts.. On choisirait donc le 2.

3°)

... celui ayant les plus longs côtés ET le plus équilatéral ...

Quelle issue décider lorsque les critères sont contradictoires ?

Par exemple un tri du style :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
si la difference entre les 3 angles < 5 degres
   si somme des cotes (i) > somme des cotes (j)
        i avant j
   sinon 
   si somme des cotes (i) < somme des cotes (j)
        j avant i
   sinon 
   si difference (i) > difference (j)
        j avant i
   sinon 
   si difference (i) < difference (j)
        i avant j
   fin si
fin si

4°)

[*]Trouver le cercle circonscrit de ce triangle, et le point serait le symétrique du pied de la médiane sur ce cercle

Là, je n'ai rien compris. L'épuisement, sans doute.

Comme dans l'image ci-dessous :

1°) Il ne peut s'agir que du plus petit cercle englobant le nuage de points, dont la recherche est difficile ... admettons l'obstacle franchi.
2°) Ce cercle est par définition construit sur 2 ou 3 points: lequel choisira-t-on ? Le plus éloigné du barycentre ?

Comme dans les 2 images ci-dessous :



Le premier serait sans doute construit en partant du point le plus en bas, et en cherchant le cercle circonscrit passant par les points du réseau au fur et à mesure, le second centré sur le barycentre et tel que aucun des points ne figure à l'extérieur.

3°) Symétrique par rapport à quoi ? (G) n'est pas aligné avec le centre du cercle, et le point de sa circonférence; et quand les points sont nombreux, la position de (G) dépend très peu des points extrêmes sur lesquels le cercle est construit.
# Je me laisse peut-être emporter par la mauvaise foi, parce que toute difficulté disparaîtrait au prix d'un changement minime, mais dédisif:

Dans le cas de figure du cercle centré sur le barycentre de la seconde image, le point de contact (dernier point du réseau figurant à l'intérieur du cercle), on prolonge le rayon G (barycentre) et ce point (P), d'une distance égale à au double de ce rayon (GP).

Dans l'autre cas, on pourrait calculer le point opposé diametrétralement au point de départ.. et prolonger du diamétre...

Le résultat est immédiat, mais je ne vois pas ce qu'il pourrait avoir de remarquable.

Si on le prend comme étant le double du rayon, on sait par construction qu'il est le premier point qui est à la fois ET le point le plus éloigné de la moyenne du nuage ET le point le plus éloigné de tous les points du nuage.

M'enfin.. C'etait juste une pensée..

[tbc92]

CQFD ? non, pas sûr.

Un process doit créer 2 triangles à partir d'un quadrilatère. Et il doit faire en sorte que ces triangles soient le plus équilatéraux possibles.
Ca, c'est la formulation en français, traduisons cela en mathématiques.

On va donc définir une fonction F1() qui va mesurer si un triangle est parfaitement équilatéral F1(Triangle)= 1 ou pas équilatéral du tout F1(triangle)= 0.
Et déjà pour définir cette fonction, on a pas mal de marge de manoeuvre. Pour un triangle dont les angles sont de 50° 60° et 70°, on peut estimer que F1() = 0.9 ou encore F1() = 0.5

Ensuite , à partir de F1(Premier triangle) et F1(2eme triangle), on va vouloir synthétiser ces 2 notes en une note finale. Et là aussi on a le choix.
On peut dire F2 = max(F1) ou F2 = min(F1) ou F2 = Moyenne(F1) ... ou plein d'autres fonctions toutes aussi valables. Comment choisir entre ces fonctions ?

Revenons à la formulation en français. On voulait que les triangles soient le plus équilatéraux possibles. Si on le reformule, ça ne veut surtout pas dire qu'on veut le plus grand nombre possible de triangles parfaitement équilatéraux. Mais ça veut plutôt dire que Min(F1) doit être le plus élevé possible.

Et donc, c'est normal qu'on renonce à tel triangle parfaitement équilatéral

[wiwaxia]

Il faudrait peut-être s'informer avec attention de ce qui a été exprimé, ainsi que du contenu du texte de référence, cité en deux versions.
: Sinon l'échange dérive vers cela ...

[wiwaxia]

@souviron34
Bonjour,

Tu as apporté une réponse claire, précise dans l'argumentation et bien documentée. Merci du soin que tu as apporté à sa longue rédaction.
Ma demande, bien que d'une ironie un peu (trop) appuyée, n'en était pas moins réelle, après lecture du précédent message, que je trouvais trop rapide et superficiel; je me doutais bien qu'il existait des critères de choix, sur lesquels tu ne voulais pas t'attarder.
Mais l'énormité qui m'a fait réagir- et que tu renouvelles toutefois avec une diplomatique paire de guillemets:

On fabrique donc des triangles "les plus équilatéraux possibles"

c'est l'évocation d'une qualité qui, en raison même de sa précision absolue, ne tolère ni comparaison ni superlatif: un triangle est ou n'est pas équilatéral, c'est tout. On pourrait dire la même chose d'une figure carrée, ou d'un polyèdre cubique.
Curieusement, il paraissait évident à chacun de nous qu'il existait des critères de forme, et celui que tu as donné (alpha_min maximal) est effectivement le plus simple.
Passons sur ce que l'on peut considérer comme un raccourci de langage désinvolte; je n'ai trouvé aucun terme en français désignant la proximité de forme d'un triangle vis-à-vis la limite idéale de l'équilatéralité; tout au plus rencontre-t-on en anglais l'adjectif "quasi-equilateral" au sujet du pavage de la sphère, et de la construction des dômes.

Venons-en justement aux deux versions de l'article de Wikipedia, en anglais d'abord:

Delaunay triangulations maximize the minimum angle of all the angles of the triangles in the triangulation; they tend to avoid skinny triangles.

puis en français

Les triangulations de Delaunay maximisent le plus petit angle de l'ensemble des angles des triangles, évitant ainsi les triangles « allongés ».

Passons sur l'emploi du terme "skinny" (= maigre, mince) et sa connotation déplacée (= maigrichon, maigrelet); il y avait peut-être mieux.
La traduction donnée ("allongé") est simple et sans ambigüité; "mince" conviendrait aussi. Mais quels termes disponibles en français pour désigner son contraire ? Tous se réfèrent à l'anatomie animale ou humaine: courtaud / trapu / massif / rablé ...
et présentent des connotations de taille, force ou caractère qui rendent leur usage inapproprié.
Et si l'on se résout à jargonner en grec, il y a le couple antinomique (dolichomorphe / brachymorphe) qui ne déchaîne pas un enthousiasme irrésistible.

C'est justement là que, sous la contrainte des limites du langage, un faux pas a été commis
souviron34, tu as eu la malheureuse idée de vouloir traduire

they tend to avoid skinny triangles

par la conjugaison inexacte de deux contraires

On fabrique donc des triangles "les plus équilatéraux possibles"

alors qu'il eût fallu dire

On fabrique donc des triangles "les plus épais possibles"

- ou quelque chose d'analogue (voir ce qui précède); ou mieux encore, pour suivre la traduction déjà donnée:

On tend à favoriser l'apparition de larges triangles

Le diable est dans le détail.
Le procédé de Delaunay évite la formation des triangles les plus allongés, mais ne favorise pas pour autant les triangles les plus proches de l'équilatéralité, parce qu'il s'applique à un quadrilatère dont il sélectionne l'une des diagonales

Regardons ce qui se passe dans le cas de 4 points cocycliques (ou presque).

1 - Le procédé de Delaunay est indifférent à la présence d'un triangle équilatéral.
Soit (ABC) un triangle équilatéral inscrit dans un cercle de rayon (R), centré à l'origine d'un repère orthonormé (xOy), et dont le diamètre (BD) est placé sur le second axe (y'y); les points admettent pour coordonnées: B(0, R) , A(R*3^(1/2)/2 , -R/2) , C(-R*3^(1/2)/2 , -R/2) et D(0 , -R) .
La figure contient deux triangles rectangles en (A) et (C), ce qui donne: a + c = 180°;
on trouve par ailleurs un angle de 60° en (B) et de 120° en (D), ce qui donne encore: b + d = 180°;
les sommes des angles correspondants aux sommets opposés sont ainsi égales: a + c = b + d , et il n'est pas possible de départager les deux diagonales (AC et BD); il y a dans ce cas 2 solutions.

2 - Le procédé de Delaunay peut conduire à l'élimination d'un triangle équilatéral.
Envisageons maintenant un petit déplacement (e<<R) du point (D) en direction de l'origine (O), qui l'amène à la nouvelle position (D₁) de coordonnées (0, -R + e); le cercle circonscrit aux trois points inférieurs (A, C, D₁) est désormais centré en un nouveau point O₁(0, y₁) toujours situé sur (y'y) mais d'ordonnée positive y₁ = e*(2*R - e)/(R - 2*e) ; il présente un rayon plus élevé R₁ = (R² - R*e + e²)/(R - 2*e) et rencontre l'axe (y'y) en un second point (B₁) situé au-dessus de (B), d'ordonnée y_B1 = R*(R + e)/(R - 2*e); le décalage vertical entre les deux points augmente avec(e): BB₁ = ((3*R*e/(R - 2*e))*u_y

Le sommet (B) se retrouvant à l'intérieur du cercle circonscrit aux 3 autres points, on doit renoncer à la triangulation établie sur la diagonale (AC); le triangle équilatéral (ABC, a_min = 60°) et son adjacent isocèle (ACD₁, a_min ~ 30°) disparaissent donc au profit des deux triangles quasi-rectangles (BAD₁) et (BCD₁), pour lesquels a_min = 30° , et dont les cercles circonscrits sont centrés en deux points (O'_a , O'_c) symétriques l'un de l'autre par rapport à (y'y) et de coordonnées u = ± e/2 et v = e/(2*3^1/2) .

CQFD

PS: J'ai repris la disposition des points sur l'image (dont la séquence ne respectait pas l'ordre alphabétique) et les calculs qui l'accompagnent, afin de supprimer des difficultés inutiles. D'où un décalage horaire du message, dont j'ai été contraint de supprimer la première version.