Discussion :

[chouchouu]

Bonjour,

je cherche à verifier si un point A(Xa,Ya,Za) est à l’intérieur d'un pyramide dont je connait les coordonnées de ses sommet ou en dehors de ce pyramide.
Le pyramide a une base rectangulaire dont les sommet de cette dernière sont a(x1,y1,z1), b(x2,y2,z2), c(x3,y3,z3) et d(x4,y4,z4). et le sommet de pyramide B(Xb,Yb,Zb).

[Flodelarab]

Bonjour

A est dans la pyramide si et seulement si:

• A et B sont du même côté du plan abcd
• A, d et c sont du même côté du plan Bab
• A, a et d sont du même côté du plan Bbc
• A, a et b sont du même côté du plan Bcd
• A, b et c sont du même côté du plan Bda

Il te reste à déterminer la distance algébrique (signée) d'un point à un plan.

[chouchouu]

Je vous remercie pour votre réponse,

Je demande si la s'il vous plait si cette idée est correcte:
- Si on remplace les coordonnées d'un point A dans l'équation cartésienne d'un plan B est si le résultat est < 0 alors est ce que on peut dire que le point est situé au dessous du plan, et si le resultat est positive alors le point est au dessus du plan ?

Merci bien,

[AdmChiMay]

Bonjour,

L'idée est bonne, à condition que tu aies la bonne équation/orientation du plan.

Tu possèdes trois points dans l'espace, donc tu peux définir un repère avec deux vecteurs et le troisième par produit vectoriel (là pour le coup, on se fiche que le repère soit orthonormé ou non). Par contre, selon l'ordre dans lequel tu a pris tes points pour définir tes 2 premiers vecteurs, le troisième vecteur calculé pointera d'un côté ou l'autre du plan. Et donc plus tard, le signe de l'équation en dépend.
A toi de regarder comment fonctionne le produit vectoriel pour bien choisir l'ordre des points pour le calcul.

[chouchouu]

Bonjour,

L'idée est bonne, à condition que tu aies la bonne équation/orientation du plan.

Tu possèdes trois points dans l'espace, donc tu peux définir un repère avec deux vecteurs et le troisième par produit vectoriel (là pour le coup, on se fiche que le repère soit orthonormé ou non). Par contre, selon l'ordre dans lequel tu a pris tes points pour définir tes 2 premiers vecteurs, le troisième vecteur calculé pointera d'un côté ou l'autre du plan. Et donc plus tard, le signe de l'équation en dépend.
A toi de regarder comment fonctionne le produit vectoriel pour bien choisir l'ordre des points pour le calcul.

Je vous remercie pour votre réponse, j'ai essayé de trouvé les coordonnées du vecteur normal au plan par la methode classique de scalaire, sauf que j'aurais un système de 2 équation avec 3 inconnues, là sans prenons compte de l'orientation du vecteur n(a,b,c) je peux prendre n'importe quelle valeur pour le 'a' par exemple et en fonction de cette valeur je calcul le 'b' et le 'c'.

mais la je vais savoir dans quelle sens va s'orienté mon vecteur normal.
Si par exemple je veux que mon vecteur s'oriente vers l'intérieur de mon pyramide : est ce que le fait de prendre par exemple a=Xc (où le point c(Xc,Yc,Zc) soit le centre de gravité de mon pyramide) suffira pour garantir que mon vecteur normal soit vers l’intérieur du pyramide ? )

[Flodelarab]

Oulala. Je n'aime pas voir, dans ta réponse, le mot "scalaire".

Pour être sûr, rappelons 3 produits possibles qui concernent les vecteurs :

• La multiplication par une constante
  
• Le produit scalaire (qui donne une constante)
  si les droites (ab) et (bc) sont perpendiculaires
• Le produit vectoriel (qui donne un vecteur)
  

Celui qui donne le vecteur normal est le produit vectoriel. Pas le produit scalaire.

[wiwaxia]

Bonjour,

Le polyèdre envisagé est simple, mais l'énoncé ne l'est pas du tout: on serait en effet en droit d'attendre:
a) la base confinée dans le plan (xOy), ce qui se traduirait par: Z₁ = Z₂ = Z₃ = Z₄ = 0 ;
b) le rectangle construit sur les deux axes, ses sommets vérifiant par exemple: X1 = Y1 = 0 = Y2 = X4 , X2 = X3 et Y3 = Y4 .
Comme il n'en est rien, il faut renoncer à la solution de bon sens évoquée par chouchouu, et utilisant les équations cartésiennes des diverses faces.

Si on remplace les coordonnées d'un point A dans l'équation cartésienne d'un plan B et si le résultat est < 0 alors est ce qu'on peut dire que le point est situé au-dessous du plan, et si le résultat est positif alors le point est au-dessus du plan ?

L'énoncé implique que les quatre sommets (a, b, c, d) de la base sont effectivement coplanaires et vérifient la relation géométrique: ac = ab + ad .

Une réponse rapide est cependant envisageable en tenant compte des deux propriétés suivantes:
1°) Le polyèdre ayant le bon goût d'être convexe, l'isobarycentre (G) de ses sommets se situe à l'intérieur de la portion d'espace délimitée par l'ensemble de ses faces; on dispose donc d'un point de référence, dont la position à partir du sommet (B) de la pyramide se calcule facilement par la relation:
BG = (1/5)(Ba + Bb + Bc + Bd) .
2°) Deux points (M) et (N) se situent du même côté d'un plan (IJK) si et seulement si les déterminants qui leur sont associés:
D_IJKM = (IJ, IK, IM) = ((IJ×IK).IM) et D_IJKN = (IJ, IK, IN) = ((IJ×IK).IN) sont de même signe;
en introduisant le vecteur normal au triangle (IJK) N_IJK = (IJ×IK) la condition précédente devient: (N_IJK.IM) * (N_IJK.IN) > 0 ,
sans que l'on ait à se soucier de l'orientation intrinsèque du vecteur normal, donc de l'ordre des sommets choisis dans l'expression du produit vectoriel.

La pyramide comporte 5 faces, donc 5 conditions devront être simultanément vérifiées pour qu'un point (A) soit situé à l'intérieur; soit en notation abrégée, les yeux fermés (ou presque):
C₁) N_ab = (Ba×Bb) ; (N_ab.BG) * (N_ab.BA) > 0 ;

C₂) N_bc = (Bb×Bc) ; (N_bc.BG) * (N_bc.BA) > 0 ;

C₃) N_cd = (Bc×Bd) ; (N_cd.BG) * (N_cd.BA) > 0 ;

C₄) N_da = (Bd×Ba) ; (N_da.BG) * (N_da.BA) > 0 ;

C₅) N_abd = (ab×ad) ; (N_abd.aG) * (N_abd.aA) > 0 ;

Une condition supplémentaire appliquée au 3^me sommet (c) de la base: N_cbd = (cb×cd) ; (N_cbd.cG) * (N_cbd.cA) > 0
conduirait à un résultat identique à celui de (C₅) parce que les triangles (abd) et (cbd) sont coplanaires, leurs normales colinéaires (N_abd = - N_cbd), de sorte que leur côté commun - la diagonale (bd) - n'est pas une arête.