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| \documentclass[a4paper]{article}
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\newframedtheorem{rmq}{Définition.}[section]
\newframedtheorem{prop}{Propriétés}[section]
\begin{document}
\section{Divisibilité dans $\mathbb{Z}$}
\begin{rmq}
Soient $a$ et $b$ deux nombres relatifs.\\
On dit que $a$ divise $b$, et on note $a\vert b$, ou que $b$ est un multiple de $a$, s'il existe un entier relatif $q$ tel que $b=qa$. $q$ est alors appelé le quotient de $b$ par $a$.
\end{rmq}
\begin{prop}
Soient $a$ et $b$ deux nombres relatifs.\\
Si un nombre $c$ divise $a$ et $b$, alors il divise tout nombre de la forme $au+bv$, où $(u;v) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$.\\
En particulier, $c\vert(a-b)$ et $c\vert(a+b)$.
\end{prop}
\begin{proof}
$\left.
\begin{array}{l}
c\vert a \Rightarrow \exists q\in\Z,\ a=qc\\
c\vert b \Rightarrow \exists q'\in\Z,\ b=q'c
\end{array}\right\}\Rightarrow \forall\coord{u}{v}\in\Z\times\Z,\ au+bv=c(qu+q'v)
$. Donc $c\vert(au+bv)$.
\end{proof}
\end{document} |
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