Discussion :

[agloups]

Bonjour !

Je souhaite créer une procédure qui calcule une approximation de la dérivée seconde (qui soit suffisamment "bonne" aux bords de l'intervalle) d'une fonction argument, dont on connaît les valeurs f_k en une subdivision régulière de [0,1] x_k.

Jusqu'ici, j'avais utilisé une des méthodes classiques d'approximation d'une dérivée seconde (schéma (u[x + dx] - 2u[x] + u[x - dx]) / dx*dx ).
J'utilise ensuite cette procédure dans un programme itératif qui compose les "dérivations secondes". Toutefois, si les valeurs aux bords sont mauvaises, vu qu'il y a un grand nombre de compositions, cela se propage rapidement aux autres valeurs et mes résultats sont faussés.

Auriez-vous une idée d'une méthode d'approximation d'une dérivée seconde qui soit "fiable" aux bords ?

J'avais pensé à la décomposition du laplacien 1D sur les fonctions propres (x->sin(nPIx)), ou alors à un spline cubique puis dérivation analytique, mais ça me parait un peu tiré par les cheveux pour un problème plutôt simple.

Merci d'avance pour vos réponse

[Ehouarn]

Bonjour,

Jusqu'ici, j'avais utilisé une des méthodes classiques d'approximation d'une dérivée seconde (schéma (u[x + dx] - 2u[x] + u[x - dx]) / dx*dx ).
J'utilise ensuite cette procédure dans un programme itératif qui compose les "dérivations secondes". Toutefois, si les valeurs aux bords sont mauvaises, vu qu'il y a un grand nombre de compositions, cela se propage rapidement aux autres valeurs et mes résultats sont faussés.

Auriez-vous une idée d'une méthode d'approximation d'une dérivée seconde qui soit "fiable" aux bords ?

Tu ne dis pas comment tu gères les points au bord; il faut a priori utiliser une approximation du même ordre que sur le reste du domaine, donc une approximation décentrée. Mais vu que tu utilises des approximations d'ordre 2, et que tu travailles sur les dérivées secondes, tu travailles sur une fonction construite comme étant constante par morceaux.
C'est peut-être ce qui pose problème à ta résolution itérative? Mais sans en savoir plus sur le problème et la méthode de résolution, ce n'est que spéculation. D'ailleurs, je ne vois pas où interviendrait une résolution itérative; connaissant les valeurs f_k aux points x_k, et se donnant un degré d'approximation, on en déduit immédiatement les valeurs des dérivées en ces mêmes points (à l'aide des stencils de dérivation correspondants).

[agloups]

Merci pour ta réponse.
J'utilisais la matrice tridiagonale (-1,2,-1) pour faire le calcul, donc les approximations aux bords étaient (2*u(0) - u(1))/(dx*dx) et ( 2u(n) - u(n-1) )/dx*dx.
Ensuite la méthode itérative intervient pour trouver le point fixe d'une fonction F: L²(0,1) -> L²(0,1) dont l'expression fait intervenir l'opérateur de dérivation seconde.
Plus précisément, on cherche quelque chose de la forme:
u \in L²(0,1) telle que :
u = d²u/dx² + f(u) + K
où f: L²(0,1) -> L²(0,1) non linéaire, K fonction de L²(0,1).
Et pour cela j'utilise le théorème du point-fixe de Banach: si on définit la suite de L² suivante:
u_(n+1) = d²u_n/dx² + f(u_n) + K
alors u_n converge vers u.

[pseudocode]

J'avais pensé à la décomposition du laplacien 1D sur les fonctions propres (x->sin(nPIx)), ou alors à un spline cubique puis dérivation analytique, mais ça me parait un peu tiré par les cheveux pour un problème plutôt simple.

Très bonne idée.

Differentiation and Numerical Integral of the Cubic Spline Interpolation

[Ehouarn]

Bonjour,

J'utilisais la matrice tridiagonale (-1,2,-1) pour faire le calcul, donc les approximations aux bords étaient (2*u(0) - u(1))/(dx*dx) et ( 2u(n) - u(n-1) )/dx*dx.

Ces approximations ne te donnent pas une évaluation de la dérivée seconde en 0 et n; ce sont plutôt:
u"(0)=(u(0)-2u(1)+u(2))/(dx*dx)
u"(n)=(u(n-2)-2u(n-1)+u(n))/(dx*dx)
qu'il faut utiliser.
Ou, ce qui est équivalent, calculer u"(i) pour i de 1 à n-1 avec le stencil centré habituel, et prendre ensuite u"(0)=u"(1) et u"(n)=u"(n-1).

Mais vu l'importance d'une bonne évaluation de la dérivée seconde que semble demander l'algo de résolution, il est possible qu'une approximation d'ordre 2 ne suffise pas.
Dans ce cas il faudrait passer à des approximations d'ordre plus élevée (3 ou 4).
Je ne suis pas convaincu par l'idée d'employer un spline, vu qu'on y postule une valeur de dérivée première (ou seconde) aux bornes de l'intervalle, ou une périodicité de la fonction. Autant prendre une approximation (d'ordre suffisant) ne reposant que sur les valeurs de la fonction.